精品解析：天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校2025-2026学年高二上学期第一次（10月）月考数学试题

北京师范大学天津生态城附属学校 2025-2026学年度高二年级第一学期第一次月考 数学试卷 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2、答Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评． 第Ⅰ卷（选择题，满分60分） 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知空间向量，若，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 3. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A. B. C. D. 5. 已知过点的直线的斜率为，则等于 A. 10 B. 180 C. 6 D. 6 6. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. D. 与相交但不垂直 7. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线过第一、三、四象限，则实数满足（ ） A. B. C. D. 9. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 若直线与平行，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 11. 已知点，，若直线与线段AB有公共点，则实数m的取值范围（ ） A. B. 或 C. 或 D. 12. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时过点P且垂直于直线l的直线方程分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 第Ⅱ卷（满分90分） 二、填空题：本题共8小题，共40分． 13. 已知，，则______． 14. 点到直线的距离为______． 15. 已知两点、，则直线的斜截式方程是 __． 16. 已知经过、两点的直线l的方向向量为，则实数a的值为______． 17. 已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为______． 18. 已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是______ 19. 不论为何实数，直线恒过定点_________. 20. 已知直线和垂直且，则的最小值为_____. 三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.已知直线， （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线； （3）经过直线与的交点，并且在两个坐标轴上的截距相等的直线. 22. 分别求满足下列条件的圆的标准方程： （1）经过点，圆心在轴上； （2）经过直线与的交点，圆心为点. 23. 在棱长为2的正方体中，E为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点A到平面的距离． 24. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学天津生态城附属学校 2025-2026学年度高二年级第一学期第一次月考 数学试卷 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2、答Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评． 第Ⅰ卷（选择题，满分60分） 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】 利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可. 【详解】因为直线的斜率为，所以. 故选：C. 2. 已知空间向量，若，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：A 3. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 4. 如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果. 详解：由题意可得 ，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 5. 已知过点的直线的斜率为，则等于 A. 10 B. 180 C. 6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线MN的斜率求出a的值，再利用两点间的距离公式计算的值. 【详解】过点，的直线斜率为， 解得， . 所以D选项是正确的. 【点睛】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题. 6. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. D. 与相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】通过判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，可得结论 【详解】因为，， 所以， 所以∥， 因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以， 故选：B 7. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 8. 若直线过第一、三、四象限，则实数满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形知． 【详解】直线过第一、三、四象限，如图所示， 则． 即且． 故选：C． 9. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得 则点C到直线AB的距离为 故选：A 10. 若直线与平行，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线一般方程的平行公式，求解得，再利用平行线的距离公式，即得解 【详解】由题意，直线与平行， 故 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，舍去. 故 此时与间的距离 故选：C 11. 已知点，，若直线与线段AB有公共点，则实数m的取值范围（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程知直线过定点，求出的斜率，结合图象得直线的斜率满足的关系，从而得的范围. 【详解】直线过定点，，， 由于，所以直线的斜率满足或，所以或. 故选：C 12. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时过点P且垂直于直线l的直线方程分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】C 【解析】 【分析】如果直接用点到直线距离公式，求出距离与之间的关系再求最值，计算会相当繁琐；所以先考虑直线过的定点，再从几何的角度求得距离最大值，进而求出直线方程. 【详解】直线变形得. 当时，方程成立；此时，因此直线过定点. 结合图象可知，随着直线绕点旋转，点到的距离也会变化，但距离都会小于等于. 所以点到直线的距离最大为. 此时过点且垂直于直线的直线即为直线. 直线的方程为，即. 故选： 第Ⅱ卷（满分90分） 二、填空题：本题共8小题，共40分． 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算求解. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 14. 点到直线的距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 15. 已知两点、，则直线的斜截式方程是 __． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【详解】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 16. 已知经过、两点的直线l的方向向量为，则实数a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出，进而根据已知条件、结合向量共线列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又直线l的方向向量为， 所以，与共线， 所以有，解得. 故答案为：. 17. 已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆M的一般式方程为：，将点代入即可求解. 【详解】解：设圆M的一般式方程为：， 因为圆M经过点，，， 所以，解得， 得圆M的一般式方程为：， 故圆M的标准方程为：. 故答案为： 18. 已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是______ 【答案】 【解析】 【分析】由两直线垂直，可求出a的值，又垂足为两直线交点，列方程组求解可得b，c的值，从而即可得答案. 【详解】因为两直线互相垂直，所以，解得， 又垂足既在前一条直线上，也在后一条直线上， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 19. 不论为何实数，直线恒过定点_________. 【答案】 【解析】 【分析】直线方程转化为，再根据直线系方程求解即可. 【详解】解：将直线方程转化为， 所以直线过直线与的交点， 所以，联立方程，解得 所以，直线恒过定点 故答案为： 20. 已知直线和垂直且，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，故， 因为，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.已知直线， （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线； （3）经过直线与的交点，并且在两个坐标轴上的截距相等的直线. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设出与直线平行的一般式方程，将点代入即可求解； （2）设出与直线垂直的一般式方程，将点代入即可求解； （3）求出直线与的交点，并考虑直线过原点与不过原点两种情况. 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为：, 将点代入该直线可得, 故与直线平行的直线方程为：; 【小问2详解】 设与直线垂直的直线方程为：, 将点代入该直线可得, 故与直线垂直的直线方程为：; 【小问3详解】 联立,有,解得,即交点坐标为. ①当直线过原点，显然满足条件，此时直线方程为； ②当直线不过原点，可设截距式,代入点,可得,此时直线方程为： . 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为：或. 22. 分别求满足下列条件的圆的标准方程： （1）经过点，圆心在轴上； （2）经过直线与的交点，圆心为点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将两点坐标代入求解即可； （2）联立两直线方程，求出交点坐标，进而求出圆的半径，即可求解. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由题意得：解得：， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 联立与， 解得：，所以交点为， 则圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 23. 在棱长为2的正方体中，E为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点A到平面的距离． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，后求出关键点坐标，后借助向量夹角公式求出，进而得出异面直线与所成角的余弦值. （2）利用空间向量研究线面夹角计算即可； （3）利用空间向量计算点到面的距离即可. 【小问1详解】 如图，正方体中, 为的中点，连接交于O，连接， 根据正方体的性质，知道垂直于上下底面，且，则两两垂直. 则可以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系. 由于棱长为2，则面对角线为. 因此涉及的关键点坐标为， 则. 则， 则异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由上易知， 设平面的一个法向量为， 则，令， 即， 设直线与平面所成角为， 则； 【小问3详解】 根据（2）知平面的一个法向量， 而，所以点A到平面的距离. 24. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】24. 证明如下： 因为平面，平面，平面，所以，，又因为， 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得 ，，，，， 所以，，. 因为，.所以， 又，平面，平面. ∴平面. 25. ； 26. . 【解析】 【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证； （2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案； （3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量，由（1）可知， 设平面的法向量 因为，. 所以，即， 不妨设，得. ， 又由图示知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （3）设，即.所以，即. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，即. 【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取. 1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。 2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标. 3、求：求出两个面的法向量. 4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值； 5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $