精品解析：河南省焦作市山阳区河南理工大学附属中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学上学期第一次学业测评 （总分：120分，时间：100分钟） 一、单选题（共10小题，共30分） 1. 矩形ABCD中，已知AB＝5，AD＝12，则AC长为（　　） A. 9 B. 13 C. 17 D. 20 2. 方程的解是（ ） A. B. ， C. ， D. 3. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 4. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 9. 某超市一月份的营业额为50万元，到三月底营业额累计为500万元．如果设平均每月的增长率为，依题意得，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，BC＝13cm，则FC的长度是____． 12. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，若设道路的宽为xm，则所列的方程为______． 13. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形． 14. 为实数，则的最小值是______． 15. 如图，点E是边长为12的正方形ABCD边BC上的一点，BE=5．点F在该正方形的边上运动，当BF=AE时，设线段AE与线段BF相交于点H，则BH的长等于___． 三、解答题（组）（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点． （1）求证：． （2）连接、，证明：四边形为矩形． 18. 一次学术研讨会上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了次手，这次会议到会的人数是多少？ 19. 如图，在中，AD是的中线，过点A作与AB的平行线DE交于点与AC相交于点O，连接EC． 求证：； 当满足条件______时，四边形ADCE是菱形，请补充条件并证明． 20. 儿童商场购进一批服装，进价为30 元/件．销售时标价为60元/件，商场现决定对这批服装开展促销活动，每件降价x元后．销售量为（20＋4x）件，在促销期间，若要每天获得 1200元的利润，则每件应降价多少元？ 21. 有一个面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为，求鸡场的长与宽各为多少？ 22. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　　　　点，按顺时针方向旋转　　　　度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积． 23. 综合与实践 问题初探： 如图1，四边形是正方形，点E，F分别是边上的动点，若点E运动到的中点处，点F运动到的中点处，连接、． （1）请写出与的数量和位置关系_______________________； 猜想证明： （2）如图2，在点E，F运动过程中，若，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）在图1的基础上，连接AG，得到图3，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学业测评 （总分：120分，时间：100分钟） 一、单选题（共10小题，共30分） 1. 矩形ABCD中，已知AB＝5，AD＝12，则AC长为（　　） A. 9 B. 13 C. 17 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理可求出BD长，由矩形的性质可得AC=BD=13． 【详解】如图，矩形ABCD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=12，∴13，∴AC=BD=13． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求出DB的长是解答本题的关键． 2. 方程的解是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，每个因式为0，求出方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程的解：，． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法，其解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，采用因式分解法求解速度较快是解题关键． 3. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH＝EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证． 【详解】解：菱形，理由为： 如图所示， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF为△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC， ∴EF∥HG，且EF=HG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵EH=BD，AC=BD， ∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形， 故选B． 【点睛】此题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 4. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解： ． 故选A． 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键． 5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA=2，则AC=2OA=4，又BD=AC，故可求． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴OC=OA，BD=AC 又∵OA=2， ∴AC=OA+OC=2OA=4 ∴BD=AC=4 故选A． 【点睛】本题考查矩形的对角线的性质．熟练掌握矩形对角线相等且互相平分是解题的关键. 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4， ∴AB=， ∵D是AB边的中点， ∴CD=， 故选C． 【点睛】本题主要考查勾股定理以及直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 8. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估计一元二次方程根的方法，根据和时的代数式的值，即可得到答案． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， ∴的一个解x的取值范围为， 故选C． 9. 某超市一月份的营业额为50万元，到三月底营业额累计为500万元．如果设平均每月的增长率为，依题意得，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=500，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设平均每月的增长率为x，根据题意：二月份的月营业额为50×（1+x）， 三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x， 为50×（1+x）×（1+x），则列出的方程是：50+50（1+x）+50（1+x）2=500． 故选：D． 【点睛】本题考查了增长率问题，关键是知道一月份的钱数和增长两个月后三月份的钱数，列出方程． 10. 对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，BC＝13cm，则FC的长度是____． 【答案】8cm##8厘米 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得AF＝AD＝13cm，在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF＝5cm，即可求解． 【详解】解：根据题意得：△ADE≌△AFE， ∴AF＝AD＝13cm， 在Rt△ABF中，AF＝13cm，AB＝12cm， ∴BF＝＝5cm， ∴FC＝BC﹣BF＝8cm． 故答案为 8cm． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 12. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，若设道路的宽为xm，则所列的方程为______． 【答案】（32-2x）（20-x）=570 【解析】 【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程． 【详解】设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570， 故答案是：（32-2x）（20-x）=570． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列出方程． 13. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形． 【答案】(或，答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：； 故答案为：(或，答案不唯一）． 14. 为实数，则的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的应用，主要应用有：用配方法分解因式；用配方法化简求值；用配方法确定代数式的最值；用配方法证明等式；用配方法解方程有关问题；用配方法求函数最值；利用完全平方公式把含有x的项化成平方的形式，再进一步求解． 【详解】解：原式， 因为， 所以， 则代数式的最小值是5， 故答案是：5． 15. 如图，点E是边长为12的正方形ABCD边BC上的一点，BE=5．点F在该正方形的边上运动，当BF=AE时，设线段AE与线段BF相交于点H，则BH的长等于___． 【答案】或． 【解析】 【详解】试题分析：分两种情况讨论：①当点F在AD上时，易证四边形ABEF是矩形，AE=BF=13，BH=BF=； ②当F在BC上时，易证△ABE≌△BCF，则∠FBE=∠BAE，而∠BAE+∠BEA=90°，则∠FBE+∠BEA=90°，即BH⊥AE，在△ABE中，利用等面积法有，解得：BH=. 故答案为或． 考点：1．正方形的性质；2．分类讨论． 三、解答题（组）（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）利用因式分解法即可解答； （2）一元二次方程根的判别式以及求根公式，即可解答。 【小问1详解】 解： 或 ， ． 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴， ． 17. 如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点． （1）求证：． （2）连接、，证明：四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点E时的中点，， ∴， ∴； （2） 证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）证明是的中位线，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可证明； （2）先证明是的中位线，得到，再由线段中点的定义得到，进而证明四边形是平行四边形，由，即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 一次学术研讨会上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了次手，这次会议到会的人数是多少？ 【答案】人 【解析】 【分析】设这次会议到会的人数是人，根据每两个参加会议的人都相互握了一次手且共握了次手，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这次会议到会的人数是人， 依题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：这次会议到会的人数是人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 如图，在中，AD是的中线，过点A作与AB的平行线DE交于点与AC相交于点O，连接EC． 求证：； 当满足条件______时，四边形ADCE是菱形，请补充条件并证明． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABDE是平行四边形，进而可得再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，进而可得AD∥EC； （2）添加，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得 然后证明可得四边形是菱形． 试题解析： (1)∵AE∥BC,AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE=BD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∴AE=DC， ∵AE∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴AD∥EC； (2)添加 ∵AD是△ABC的中线， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是菱形. 20. 儿童商场购进一批服装，进价为30 元/件．销售时标价为60元/件，商场现决定对这批服装开展促销活动，每件降价x元后．销售量为（20＋4x）件，在促销期间，若要每天获得 1200元的利润，则每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价10元或15元． 【解析】 【分析】根据利润=销售量×（售价-进价）列出方程解答即可． 【详解】解：根据题意，得 (20+4x)(60-x-30)=1200， 解得x1=10，x2=15， 经检验，x1=10，x2=15是原方程的解，并且都符合题意． 答：每件应降价10元或15元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 21. 有一个面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为，求鸡场的长与宽各为多少？ 【答案】鸡场的长与宽各为米，米． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设鸡场的宽为x米，则长为米，根据长方形面积计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设鸡场的宽为x米，则长为米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴鸡场的长与宽各为米，米． 22. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　　　　点，按顺时针方向旋转　　　　度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°． 又∵点F是CB延长线上的点， ∴∠ABF=90°． 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）A；90；（3）50 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF. （2）由△ADE≌△ABF，得到∠BAF=∠DAE，而∠DAE+∠EBF=90°，证得∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°． （3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到； 故答案为A；90． （3）∵BC=8， ∴AD=8， 在Rt△ADE中，DE=6，AD=8， ∴， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE=AF，∠EAF=90°． ∴△AEF的面积=AE2=×100=50（平方单位）． 23. 综合与实践 问题初探： 如图1，四边形是正方形，点E，F分别是边上的动点，若点E运动到的中点处，点F运动到的中点处，连接、． （1）请写出与的数量和位置关系_______________________； 猜想证明： （2）如图2，在点E，F运动过程中，若，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）在图1的基础上，连接AG，得到图3，求证：． 【答案】（1）， 证明：∵四边形是正方形 ， 在和中 故答案为：， （2） 成立，理由： ∵四边形是正方形 ， 即 在和中 （3） 证明：延长和交于点， 点是的中点， ∴ 在和中 在中 ． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，再证明，可证得，； （2）由可得，再证明，可证得，； （3）延长和交于点，可证明，得，再证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $