精品解析：江苏省苏州中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

江苏省苏州中学2025-2026学年度第一学期质量评估 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题纸上. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B. 数列的第项为 C. 数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D. 数列0，2，4，6，可记为 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的定义和概念逐项判断即可. 【详解】选项A：数列除了递增数列和递减数列，还有常数列（所有项都相等）、摆动数列（项的大小交替变化）等， 所以一个数列不是递增数列，不一定就是递减数列，A说法错误； 选项B：对于数列，它的第项为，B说法正确； 选项C：数列是按一定顺序排列的一列数，数列1，0，，，和数列，，0，1排列顺序不同， 所以这两个数列不是相同数列，C说法错误； 选项D：数列0，2，4，6，的通项公式为， 而表示的数列为2，4，6，8，，首项不同，D说法错误. 故选：B 2. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的性质分析运算即可得解. 【详解】解：∵数列是等差数列，且， ∴，可得，则. ∵数列是等比数列，∴，又由题意， ∴，∴， ∴， ∴. 故选：D． 3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】设，则， 因为为等比数列，所以仍成等比数列. 易知， 所以,故. 故选:A. 4. 已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，设，，求出即可得解. 【详解】， 令，则， 所以，， 所以， 故选：B 5. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】利用 与 的关系可得是以3为首项，2为公差的等差数列；进而根据等差求和公式即可. 【详解】因为为数列的前项积，所以可得， 因为，所以， 即，所以， 又，得，所以， 故是以3为首项，2为公差的等差数列； ， 故选：A 6. 数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ） A. 第7项 B. 第9项 C. 第11项 D. 第12项 【答案】B 【解析】 【分析】利用累加法得到，即可得到，然后列不等式求即可. 【详解】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样成立），故， 令，即， 解得，，故，即第九项最大. 故选：B. 7. 已知数列满足，是数列的前项和，若已知，那么的值为（ ） A. 322 B. 295 C. 293 D. 270 【答案】A 【解析】 【分析】由递推公式分析可知数列的前项是首项为，公比为的等比数列，从第项开始是首项为，公差为的等差数列，根据等比数列和等差数列求和公式可求出结果. 【详解】∵，由可知，数列的前项是首项为，公比为的等比数列， 故为奇数，为奇数，所以从第项开始是首项为，公差为的等差数列， 所以. 故选：A 8. 已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对n分奇数与偶数讨论，求出数列与数列的公共项，利用裂项相消法求和. 【详解】因为数列是正奇数数列，对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数；当为偶数时，设，则，为偶数，所以， ， 所以， 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列递增数列 B. C. D. 数列中最大项为第6项 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式得到关于d的不等式组进行求解，即可判断AC；利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质计算判定B；利用单调性判定D. 【详解】等差数列的公差为d，前n项和为，， 对于A、C，显然，， 则，，又，则，解得 所以等差数列是递减数列，A错误，C正确； 对于B，由，得，B正确； 对于D，由等差数列是递减数列，得数列中最大项为第1项，D错误. 故选：BC 10. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前n项和为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的特征得出数列为，，，，，，，再利用数列的周期性可得出选项A和C的正误，利用波那契数列的特征，可判断出选项B和D的正误. 【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出，数列为依次连续两个奇数和一个偶数， 所以数列为，，，，，，，则数列为周期数列，且周期为， 选项项A，因为，故选项A正确； 选项B，因为，故选项B正确； 选项C，因为，，且，，， 所以或，故选项C错误； 选项D，因 ，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 在数列中，若对于任意，都有，则（ ） A. 当或时，数列为常数列 B. 当时，数列为递减数列，且 C. 当时，数列为递增数列 D. 当时，数列为单调数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接代入计算判断A；由题知，，再依次讨论BC选项即可判断；根据无法确定符号判断D. 【详解】解：对于A选项，由得， 所以，当时，，是常数列； 当时，是常数列，故A选项正确； 对于B选项，， 因为， 所以，当时，，即， 同理可得，， 所以，即， 所以数列为递减数列，且，故B选项正确； 对于C选项，当时，由得，即 由得， 所以，， 同理可得， 所以，即， 所以，数列为递增数列，故C选项正确； 对于D选项，当时，由，即， 由得，符号不确定， 所以符号不确定， 所以，当时，数列的单调性无法确定，故错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则__________. 【答案】860 【解析】 【分析】设，求出的通项公式，利用等差数列求和公式得到，进而得到. 【详解】设，由题意知，为公差为3的等差数列， 则，故， 故， 故. 故答案为：860 13. 数列满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】当时求出，当时，得到，作差即可得到，再检验时否满足，即可得解. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 则得：， 所以， 当时，不成立，所以． 故答案为：. 14. 已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是________，若，且，则整数_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意得出，由化简可解得，可得出的取值范围；当时，计算得出，可求得，由可求得的取值范围，进而可求得整数的值. 【详解】因为数列各项都是正数，且，即， 解得，由于，所以， 由于数列是递增数列，则， 可得，化简可得，解得， 由得的取值范围是； 因为 等式两边取倒数可得，所以， 当时，， 所以 ， 因为，所以， 由上分析可知，所以， 因此整数. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，得到； （2）设，的前项和为，求出，当时，；当时，，从而得到答案. 【小问1详解】 ，故， 又，故， 所以； 【小问2详解】 其中， 设，的前项和为，其中， 故 当时，，故； 当时，， 故， 综上，. 16. 已知数列是公比为4的等比数列，且满足，，成等比数列.为数列的前项和，且是1和的等差中项. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列是由数列中的项依次剔除的项后剩下的部分组成，求数列的前100项和. 【答案】（1）, （2）11302 【解析】 【分析】（1）根据数列是公比为4的等比数列，满足，，成等比数列，得到，根据题意得到，计算， （2）设，得到，数列的前105项中有5项需要剔除，计算得到答案. 【小问1详解】 数列是公比为4的等比数列，则，即， 即是公差为2的等差数列. ，，成等比数列，故，即，解得. 故. 是和的等差中项，则， 当时，，解得； 当时，，，两式相减得到，即， 故是首项为1公比为2的等比数列，，验证时满足. 故. 【小问2详解】 令，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故数列的前105项中有5项需要剔除，分别为. 故数列的前100项和为. 17. 已知数列{}中，，且.其中， （1）求数列{}的通项公式； （2）设，求数列{}的前n项和. 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）法一：由题设得，累加法得，即得通项公式；法二：由题设得，递推至第一项，即得通项公式； （2）由（1）得，进而有，最后应用错位相减法及等比数列前n项和公式求. 【小问1详解】 （法一）由题意知，，则， 累加得：且，又，故， 而符合上式，故. （法二）由题意知，则， 所以则. 【小问2详解】 由（1），故， 于是， 则， 相减得：， 故. 18. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，的值； （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数定义直接计算即可； （2）①利用错位相减法求和，即可得出结果； ②由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以， 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以. 【小问2详解】 ①所有不超过正整数的正整数有个， 其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即， 所以， 所以 两式相减得 所以； ②由①可知，所以 ， 所以由 得 恒成立， 令 ，则 ， 所以可得 ； 当 时，即， 所以的最大值为， 故. 19. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可. （3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可. 【小问1详解】 ，，当时，， 两式相减得，即， 则有，当时，，则，即， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，，则，数列是等差数列， 于是，解得，则， 所以的前项和 . 【小问3详解】 由（1）知，， 由成等差数列，得，整理得， 由，得，又，，不等式成立， 因此，即，令，则 从而，显然，即， 所以存在，使得成等差数列. 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州中学2025-2026学年度第一学期质量评估 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题纸上. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B. 数列的第项为 C. 数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D. 数列0，2，4，6，可记为 2. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 17 4. 已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（ ） A B. C. D. 6. 数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ） A. 第7项 B. 第9项 C. 第11项 D. 第12项 7. 已知数列满足，是数列的前项和，若已知，那么的值为（ ） A. 322 B. 295 C. 293 D. 270 8. 已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 数列中最大项为第6项 10. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前n项和为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 11. 在数列中，若对于任意，都有，则（ ） A. 当或时，数列为常数列 B. 当时，数列为递减数列，且 C. 当时，数列递增数列 D. 当时，数列为单调数列 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则__________. 13. 数列满足，则________. 14. 已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则取值范围是________，若，且，则整数_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知数列是公比为4的等比数列，且满足，，成等比数列.为数列的前项和，且是1和的等差中项. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列是由数列中的项依次剔除的项后剩下的部分组成，求数列的前100项和. 17 已知数列{}中，，且.其中， （1）求数列{}的通项公式； （2）设，求数列{}的前n项和. 18. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. （1）求，的值； （2）已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知数列前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $