精品解析：山东省青岛市第十七中学2025-2026学年高二上学期第一次学科能力素养测试数学试题

青岛十七中2024级高二第一学期第一次学科能力素养测试 数学试题 一、单选题 1. 已知直线过点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值建立等式求解即可． 【详解】， 解得， 故选：C． 2. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 3. “直线与直线平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线与直线平行可得或，再根据充分条件和必要条件定义进而可判断. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或． 当时，两直线分别为，，不重合满足题意； 当时，两直线分别为，，不重合满足题意， 故由直线与直线平行可得或， 所以“直线与直线平行”不能推出“”，反之可以. 故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，结合离心率可求渐近线方程. 【详解】由题意知，所以， 所以的渐近线方程为，即为， 故选：A． 5. 已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 6. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 7. 抛物线与直线交于两点，为坐标原点，且满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立抛物线与直线方程得，利用根与系数的关系及垂直的向量表示，得到，即可求解. 【详解】设，， 由，消得到， 则， 因为，则，又，， 所以， 所以，解得， 故选：D. 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 9. 已知两椭圆和，则（ ） A. 两椭圆有相同的焦点 B. 两椭圆的离心率相等 C. 两椭圆有完全相同的顶点 D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】写出椭圆的标准形式，逐项分析即得. 【详解】设椭圆，，，则； 设椭圆，，，则. A（×）椭圆的焦点分别在轴上. B（√）的离心率，的离心率. C（×）椭圆的顶点为，，椭圆的顶点为，. D（√）两椭圆都关于轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心. 故选：BD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，将直线方程整理成以为未知数的方程即可求得定点；对于B，根据截距的定义求解；对于C，将方程化成斜截式方程，求得直线斜率，即可求出其倾斜角；对于D，将经过两点的直线分成三种情况，分别考虑即得结论. 【详解】对于A，因，故该直线经过定点，故A正确； 对于B，在直线方程中，令，可得，即该直线在y轴上的截距为，故B错误； 对于C，由化成斜截式为，可知直线的斜率为， 则直线的倾斜角满足，因，故得，故C错误； 对于D，对于经过任意两个不同点的直线， 若，则直线的斜率不存在，直线方程为，满足； 若，则直线的斜率为0，直线方程为，满足； 若且，则该直线方程为， 去分母后即得方程.综上可知，D正确. 故选：AD. 11. 已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义及函数给定区间上的值域求法，可对A,C,D进行判断，利用数量积的坐标表示及二次函数值域求解可判断B选项. 详解】解：由椭圆，得，，，且，，即. A选项：,当时，取得最大值；当或时，取得最小值1.所以.所以A选项正确. B选项:设为椭圆上一点.由题知. 则, 因为,所以,即.所以B选项错误. C选项：因为为短轴的一个端点，所以或.由椭圆的对称性，不妨设. 设，则. 因为，所以，当时，取得最大值，当时，取得最小值0，所以.所以C选项错误. D选项：设，又，所以，. 又. 又. 所以成立，故D正确. 方法二：因为,所以,所以. 因为即，所以,即. 所以.所以D选项正确. 故选：AD. 三、填空题 12. 已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 13. 设，若点在线段上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围，即可由两点斜率公式求解. 【详解】直线的倾斜角与斜率 如图，，则原问题可转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围． 连接，则， 当的倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率由增大至正无穷； 当的倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率由负无穷增大至．所以3或． 故答案为： 14. 已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，设，则，利用即可求解. 【详解】当直线斜率为正时，如图所示， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为， 设，则， 由抛物线定义可知，，， 所以，， ， 在中，， 则直线 的斜率. 由对称性可知，当直线斜率为负时，. 故答案为： 四、解答题 15. 已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. （1）求直线的方程； （2）求外接圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得点关于直线对称，可得，可得直线方程； （2）由（1）设外接圆方程一般式为：，代入A，B，C三点坐标可得答案. 【小问1详解】 ∵线段的垂直平分线为， ∴可知点关于直线对称. ∵，∴，轴，直线. 【小问2详解】 由（1），，，. 设外接圆方程一般式为：， 则，则. 即圆的标准方程为：. 16. 已知双曲线：的离心率为，且过点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线：与双曲线恒有两个不同的交点，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先根据离心率可以得到a与b关系是，应用此关系将双曲线方程化简，接下来将点P的坐标代入方程，整理后即可得到曲线C的方程； （2）联立直线与双曲线C的方程，消去y项，可以得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程有两个不相等的解，于是可得关于k的不等式组，通过解不等式组求出k的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 所以， 故双曲线方程可化为， 将点代入双曲线的方程， 解得，所以双曲线的方程为； （2）联立直线与双曲线方程， ， 由题意得， ， 解得且， 所以的取值范围为. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 17. 已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求 （1）椭圆的方程； （2）弦的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线过与，得到的关系式，再结合离心率求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两交点坐标的关系式，再用弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由被椭圆截得的弦长为，得，① 又，即，所以.② 联立①②得，所以所求的椭圆的方程为； 【小问2详解】 椭圆的右焦点的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 由韦达定理知，， 从而. 由弦长公式，得， 即弦的长度为. 18. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. （1）求抛物线标准方程； （2）设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，根据点在抛物线上，求得，即可求得抛物线的标准方程； （2）①由，联立方程组得到和，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解； ②联立方程组，得到，，设在第一象限，利用导数的几何意义，分别求得在和处的切线方程，联立方程组，求得，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由题意，可设抛物线标准方程为.， 因为点在抛物线上，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 解：①当时，直线， 联立方程组，整理得， 方程的判别式， 设，，则，， 所以， 又由到直线的距离， 所以的面积； ②联立方程组，整理得， 设，，则且，， 不妨设在第一象限，则在曲线上，则有， 则在处的切线方程为， 又由，可得在处的切线方程为， 同理可得，点在曲线上，则有， 则在处的切线方程为，且； 所以在处的切线方程为， 联立方程组，解得，所以点在定直线上. 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）为坐标原点，设点，过作的垂线交椭圆于两点.求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点得到，根据点在椭圆上符合椭圆方程及，联立解得的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）由垂直得到直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理求得，由三角形面积公式得到面积，由基本不等式得到面积的最大值. 【小问1详解】 由右焦点为，得，所以， 又点在上，所以，即， 联立，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以， 故直线的方程为，即， 联立并整理得， 设，则， 所以， 所以的面积， 令，则，， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛十七中2024级高二第一学期第一次学科能力素养测试 数学试题 一、单选题 1. 已知直线过点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. “直线与直线平行”是“”（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 抛物线与直线交于两点，为坐标原点，且满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 已知两椭圆和，则（ ） A. 两椭圆有相同的焦点 B. 两椭圆的离心率相等 C. 两椭圆有完全相同的顶点 D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 11. 已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（    ） A. B. C D. 三、填空题 12. 已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为______． 13. 设，若点在线段上，则的取值范围是______． 14. 已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为_____. 四、解答题 15. 已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. （1）求直线的方程； （2）求外接圆的标准方程. 16. 已知双曲线：的离心率为，且过点. （1）求双曲线方程； （2）若直线：与双曲线恒有两个不同的交点，，求的取值范围. 17. 已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求 （1）椭圆的方程； （2）弦的长度. 18. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. （1）求抛物线的标准方程； （2）设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）为坐标原点，设点，过作的垂线交椭圆于两点.求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $