精品解析：四川省成都外国语学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

成都外国语学校高2025级十月月考试题 数学 命题人：廖海 审题人：杨欢 考试说明 1.本试卷分第I卷（选择题部分）和第Ⅱ卷（非选择题两部分）； 2.本试卷满分150分，考试时长120分钟； 3.答题前考生务必将自己的姓名，考号准确填写在答题卡填写区，并用2B铅笔准确填涂考号； 4.缺考标志由监考老师填涂，考生禁涂； 5.考试结束考生只交答题卡. 第I卷（选择题部分，共计58分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 我校高个子的同学能组成一个集合 B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C. 数组成的集合中有7个元素 D. 由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 3. 已知命题，则命题是 A. B. C. D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9. 下列集合中表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 10. 实数､满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为20 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题两部分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若关于的不等式的解集为，则_________． 13. 若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________． 14. 命题，，使成立．若为真命题，则实数的取值范围为__________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知全集，，. （1）求，； （2）求，. 16. 解下列关于的不等式： （1） （2） 17. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元． （1）写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式； （2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当时，价值损失的百分率最大． （注：价值损失的百分率100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计） 18. 设命题方程有两个不相等的实数根；命题对所有的，不等式恒成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与一真一假，求实数的取值范围. （3）在命题为真命题的条件下，解关于的不等式 19. （1）正数满足，求的最小值. （2）借助（1）的解题方法，解决下列问题:若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校高2025级十月月考试题 数学 命题人：廖海 审题人：杨欢 考试说明 1.本试卷分第I卷（选择题部分）和第Ⅱ卷（非选择题两部分）； 2.本试卷满分150分，考试时长120分钟； 3.答题前考生务必将自己的姓名，考号准确填写在答题卡填写区，并用2B铅笔准确填涂考号； 4.缺考标志由监考老师填涂，考生禁涂； 5.考试结束考生只交答题卡. 第I卷（选择题部分，共计58分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 2. 下列说法正确的是（　　） A. 我校高个子的同学能组成一个集合 B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C. 数组成的集合中有7个元素 D. 由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合概念逐一判断即可. 【详解】对于A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误； 对于B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确； 对于C，因为，故数组成的集合中只有5个元素，错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，错误. 故选：B 3. 已知命题，则命题是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据命题p：，且全称命题的否是特称命题，将任意的改为存在，将结论改为否定，得到的是，故选B 4. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求变形为，再根据基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 5. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围； 【详解】解：因为，且， 所以； 故选：A 6. 已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】ABC可以通过举出反例，D选项可以通过不等式的基本性质进行求解. 【详解】当时，，而，，而无意义，故ABC错误； 因为，所以，D正确. 故选：D 7. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解. 【详解】正数满足， 由基本不等式得：，解得：， 当且仅当，即时，等号成立，的最大值为。 故选：A 8. 已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据必要不充分条件定义可确定集合的包含关系，分别讨论和的情况即可求得结果. 【详解】是成立的一个必要不充分条件，是的真子集； 当，即时，，满足题意； 当时，需满足，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9. 下列集合中表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 10. 实数､满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理，即可求解. 【详解】由题意，实数､满足，， 根据不等式的性质，可得，所以A正确； 由，可得，所以，所以B不正确； 由不等式的基本性质，可得，所以C正确； 由，可得，可得，所以D不正确. 故选：AC. 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为20 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式将原式转化，再令，通过解不等式求出的范围即可判断A；利用基本不等式将原式转化，设，通过解不等式求出的范围，进而求出的范围即可判断B；将变形为，将选项B中求出的代入求出其最小值，即可判断C；从原式中求出，将变形为，再利用基本不等式求出其最小值，即可判断D. 【详解】因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，整理可得，即. 因为，所以解得，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6，故A正确； 因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，即， 因为，所以解得，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9，故B错误； 因为正实数满足，又由选项B可知， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题两部分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若关于的不等式的解集为，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据关于的不等式的解集为，则，，则 ，，故. 考点：一元二次不等式 13. 若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围. 【详解】关于的不等式的解集为. 当时，原不等式为，该不等式在上恒成立； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 14. 命题，，使成立．若为真命题，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由已知条件将问题转换为，利用基本不等式可求得，分类讨论，构造不等式即可得求出实数a的取值范围. 【详解】因为，， 使成立． 若为真命题，设， 则可将问题转化为，， ，当且仅当， 即时等号成立，故， 的对称轴为，且开口向上， 当，则，函数在上单调递增， 所以，解之可得，此时无解，故舍之 当时，即，， 解之可得，则可得， 当时，，函数在单调递减， ，解之可得，则可得， 综上可知实数的取值范围为. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知全集，，. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件化简集合，利用集合的基本运算得到结果. （2）根据补集的概念计算，利用集合的基本运算得到结果. 【小问1详解】 由题意得，，，， ∴. 【小问2详解】 由题意得，，， ∴，. 16. 解下列关于的不等式： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据分式不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为或； 【小问2详解】 由，得， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 17. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元． （1）写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式； （2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当时，价值损失的百分率最大． （注：价值损失的百分率100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计） 【答案】（1） （2） 证明：若两颗钻石的重量为克拉，则原有价值是， 现有价值是， 价值损失的百分率为 ， 当且仅当时取等号， ∴当时，价值损失的百分率最大. 【解析】 【分析】（1）根据钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，设出关系式，利用克拉时的价值求得的值，由此求得关系式； （2）求得的关系式写出原有价值和现有价值，通过计算价值损失百分率，利用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题意可设价值与重量的关系式为：， ∵3克拉的价值是美元， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 略 18. 设命题方程有两个不相等的实数根；命题对所有的，不等式恒成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与一真一假，求实数的取值范围. （3）在命题为真命题的条件下，解关于的不等式 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 若，不等式无解； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程解的个数可知，由此可解得范围； （2）由，结合二次函数最值可求得为真时的范围，结合（1）中结论可讨论得到结果； （3）分别讨论、和的情况，结合一元二次不等式与一元二次方程的根之间关系可求得结果. 【小问1详解】 命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， ，解得：或， 实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题为真命题，则当时，， ，，则， 解得：，即实数的取值范围为； 当真假时，由得：或，即； 当假真时，由得：，即； 综上所述：若命题与一真一假，则实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知：，由得：； 当时，，解得：，此时不等式解集为； 当时，，的解集为； 当时，若，则，，则不等式无解； 若，则，的解集为； 若，则，的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 若，不等式无解； 当时，不等式的解集为. 19. （1）正数满足，求的最小值. （2）借助（1）的解题方法，解决下列问题:若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1）， （2），取等号的条件为，或，， （3）时，M取得最小值 【解析】 【分析】（1）由条件可得，再利用基本不等式求的最小值，由此可得结论， （2）由（1）的方法可得，再结合比差法和的大小即可， （3）令，，可得，结合（2）的结论求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 因为，，所以，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以当，时，取最小值，最小值为， （2）， 则 ， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以，取等号的条件为，或，， （3）令，， 所以，即， 因为， 所以，，， 所以， 取等号时，，即，，此时， 所以时，M取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $