精品解析：福建省连城县第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

连城一中2025-2026学年上期高三年级月考1数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人 黄健辉 审题人 谢云兰 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数（，且）恒过点（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 已知命题：，则（ ） A. 是真命题， B. 是真命题， C. 是假命题， D. 是假命题， 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象( ) A 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度 8. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则是第一象限角 C. 若，且，则 D. 若圆心角为扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 11. 已知函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 为上的减函数 D. 无最值 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则= ________. 13. 函数值域为________. 14 若，则函数______． 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且． （1）求的值； （2）将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值． 16. 已知奇函数在处取得极大值2. （1）求解析式； （2）求在上的最值. 17. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求证：； （2）试求二面角的余弦值. 18. 已知函数，而函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称. （1）写出g(x)的解析式. （2）若时，总有恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知函数，． （1）求在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）求的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城一中2025-2026学年上期高三年级月考1数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人 黄健辉 审题人 谢云兰 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程求得集合，利用交集的意义求解即可. 【详解】由，可得，解得或或， 所以，又，所以. 故选：B. 2. 已知为第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为第三象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：B. 3. 函数（，且）恒过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用即可求解. 【详解】令，则，解得， 则函数（，且）恒过点． 故选：C. 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再求得的值即可 【详解】已知函数， 所以 则. 故选：D. 5. 已知命题：，则（ ） A. 是真命题， B. 是真命题， C. 是假命题， D. 是假命题， 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解. 【详解】由，得或，则当时，，故是假命题，. 故选：C 6. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件求出，再利用倍角公式化简可得结果. 【详解】等式两边平方可得，，即.. 故选：C 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象( ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得：,利用图像平移的规则求解即可. 【详解】由题可得：,所以只需将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 故选：A 8. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察图象，可知，，，对选项一一排除得到答案. 【详解】从图象上看，可知， 对于A选项：，排除A选项； 对于B选项：； 对于C选项： ； 对于D选项：； 从图象上看，可知， 对于B选项：； 对于C选项：，排除C选项； 对于D选项：； 从图象上看，可知， 对于B选项：，排除B选项； 对于D选项：，从而得到D选项正确. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对数运算计算判断A；利用诱导公式计算判断B；利用二次根式化简判断C；利用辅助角公式计算判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则是第一象限角 C. 若，且，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由终边上一点即可求其余弦值，即可对A判断；由角为锐角，则可对B判断；若，则，再结合题意求得，从而可对C判断；利用弧长及扇形面积公式即可求解D. 【详解】A：若终边上一点的坐标为，则，故A错误； B：若角为锐角，则是第一象限角，故B正确； C：若，则，又因为且，所以， 解得，则，故C正确； D：圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 为上的减函数 D. 无最值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，由可知，所以，即其定义域为，A正确； 对于B项，，显然， 所以为奇函数，B正确； 对于C项，由A项结论可知显然错误； 对于D项，由指数函数的性质知：当时， ，所以， 则，故D正确； 故选：ABD 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则= ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得. 故答案为： 13. 函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】函数的定义域为R，结合指数函数性质可知8x>0恒成立，则真数8x+1>1恒成立，再结合对数函数性质即可求得本题值域． 【详解】根据对数函数的定义可知,真数8x+1>0恒成立，解得x∈R. 因此，该函数的定义域为R， 原函数是由对数函数y=log2t和t=8x+1复合的复合函数. 由复合函数的单调性定义(同增异减)知道，原函数在定义域R上是单调递增的. 根据指数函数的性质可知, 8x>0,所以, 8x+1>1， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题考查复合函数的值域，先求中间函数的值域，再求目标函数的值域，属于基础题. 14. 若，则函数______． 【答案】 【解析】 【分析】利用配凑法求解函数的解析式即可. 【详解】函数，又的值域为. 所以， 故答案为：. 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且． （1）求的值； （2）将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件明确是第几象限角，进而求出，利用诱导公式化简代入求值； （2）利用差角公式和二倍角公式求值. 【小问1详解】 由于终边经过点，且，所以是第二象限角，故，. 由诱导公式得， 故原式的值为. 【小问2详解】 由题可知，因此， 由二倍角公式得，，. 代入得，. 故的值为. 16. 已知奇函数在处取得极大值2. （1）求的解析式； （2）求在上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为52，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性可得，再由在上取得极大值2可求得，可得解析式； （2）由（1）中解析式求导可得其在上的单调性，得出极值并比较端点处的函数值即可求出其最值. 【小问1详解】 易知函数的定义域为， 因为是奇函数，所以，则. 由，得. 因为在上取得极大值2， 所以解得 经经检验当时，在处取得极大值2， 故. 【小问2详解】 由（1）可知，， 当时，单调递增； 当和时，单调递减； 即函数在处取得极小值，在处取得极大值； 又因为， 所以在上的最大值为52，最小值为. 17. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.请用空间向量的知识解答下列问题： （1）求证：； （2）试求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）求出平面的法向量，得到二面角的余弦值. 【小问1详解】 该三棱柱是直三棱柱，且， 两两互相垂直，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， ， . 【小问2详解】 ， ， 易知是平面的一个法向量，设平面的法向量为， 则，取，则， 故， ， 二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为. 18. 已知函数，而函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称. （1）写出g(x)的解析式. （2）若时，总有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据图象关于原点对称求出解析式g（x）＝﹣f（﹣x）； （2）将问题转化为求函数f（x）+g（x）的最大值． 【详解】（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于原点中心对称， ∴g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣loga（﹣x+1）， 即g（x）＝loga，x＜1； 即. （2）记u（x）＝f（x）+g（x）＝loga（1+x）+logaloga，x∈[0，1）， ∵f（x）+g（x）≤m恒成立，∴m≥[loga]max， 而u（x）＝logaloga（﹣1）， 当a∈（0，1），x∈[0，1）时，u（x）单调递减， 所以，u（x）max＝u（0）＝loga1＝0， 因此，m≥0． 【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质，考查了对数复合函数的单调性及应用其求函数最值的方法，属于中档题． 19. 已知函数，． （1）求在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）求的零点个数． 【答案】（1） （2）见详细解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据导数求出切线的斜率，结合点斜式方程即可求解； （2）令，求导研究的单调性，同时结合即可求证； （3）令，求导研究零点及正负分布，得到的单调性，同时结合即可求解出的零点个数． 【小问1详解】 将代入可得，又， ，所以切线方程为，即． 【小问2详解】 当时，，即证明当时，， 令，，则， 因为，有，所以当时，在上单调递减， 所以当时，，也即． 【小问3详解】 ，令，再求导得， 因为，有，且，故，即在上单调递减， 又因为时，，，且单调递减， 可知上有且仅有一个零点，其中， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 又因为，则，且时，，时，， 所以有2个零点， 综上，的零点个数为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $