2.3.1 乘方（第2课时 有理数的混合运算）（分层作业）数学人教版2024七年级上册

2.3.1乘方（第2课时 有理数的混合运算） （分层作业） 1．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于2，则m﹣2（a+b）2+（cd）3的值是（　　） A．﹣1或3 B．1或3 C．1或﹣3 D．﹣1或﹣3 2．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　） 甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0． 乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0． 丙：（36﹣12）361216． 丁：（﹣3）23＝9÷1＝9． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．按如图所示的程序输入﹣4进行计算，则输出结果为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．要使算式﹣34□（23﹣（﹣2）3）的计算结果最大，在“□”里填入的运算符号应是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 5．小明买了一瓶水，喝掉了一部分后还有剩余（如图所示），已知这个瓶子的内直径是8cm．根据图中标出的数据，小明用算式“3.14×（8÷2）2×（10+6）”计算的是（　　） A．喝掉的水的体积 B．瓶子的容积 C．剩余的水的体积 D．喝掉的水和剩余的水相差的体积 6．数学活动课上，嘉嘉同学设计了一个运算程序，当输入任意有理数对（a，b）时，会得到一个新的有理数a2﹣2b﹣1．例如：输入数对（3，﹣2）时，就会得到32﹣2×（﹣2）﹣1＝12．现输入有理数对（﹣3，﹣2），则得到的有理数为（　　） A．﹣14 B．﹣6 C．4 D．12 7．计算： 　 　 ． 8．计算：（1）（﹣2）2；（2）﹣22×[5﹣（﹣1）2024]+|﹣1+5|； （3）；（4） 9．按下列所示的程序计算，若开始输入x＝1，则最后输出的结果是（　　） A．15 B．25 C．235 D．255 10．如图是由一些小三角形和小正方形组成的美丽图案，由图形组成规律可知第⑨个图形中小三角形和小正方形共有（　　）个． A．91 B．99 C．101 D．121 11．自定义运算：a☆b例如：2☆（﹣4）＝2×2﹣（﹣4）＝8，若m，n在数轴上的位置如图所示，且（m+n）☆（m﹣n）＝7，则6n﹣2m+2021的值等于（　　） A．2028 B．2035 C．2028或2035 D．2021或2014 12．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是1，n是有理数且既不是正数也不是负数，则2a+b+1+m2﹣（cd）3+n（a+b+2cd）的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 13．根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数＝3×72+2×71+6＝147+14+6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是　 　 天． 14．规定一种新的运算：a*b＝ab﹣a﹣b2．例如3*（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2＝﹣31．请用上面规定计算下列各式： （1）1*5； （2）（﹣5）*[3*（﹣1）]． 15．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示． （1）接力中，计算错误的学生是 　 　 ； （2）请正确计算老师出示的算式； （3）计算：． 16．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣6，8，﹣10，12… 1，﹣4，9，﹣16，25，﹣36… 1，7，﹣3，11，﹣7，15… 回答下列问题 （1）写出第①行的第7个数：　 　 （2）写出第②行的第7个数：　 　 （3）写出第③行的第7个数：　 　 （4）取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 17．计算：．小明同学的过程如下： 解：， ， ， ． （1）请指出最早开始出错的步骤，并说明错误原因． （2）写出你的解答过程． 18．如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：1+3+32+33+⋯+32024＝（　　） A． B． C． D． 19．观察下列等式： 32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；72﹣52＝8×3；92﹣72＝8×4；… （1）根据上面规律，若a2﹣92＝8×5，172﹣b2＝8×8，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为　 　 ． 20．【问题呈现】我们知道，，那么如何求13+23+33+⋯+n3的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）13+23+33+43+53＝　 　 ； （2）13+23+33+43+⋯+n3＝　 　 ； 【拓展应用】 （3）求113+123+133+⋯+203的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.1乘方（第2课时 有理数的混合运算） （分层作业） 1．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于2，则m﹣2（a+b）2+（cd）3的值是（　　） A．﹣1或3 B．1或3 C．1或﹣3 D．﹣1或﹣3 【解答】解：∵a和b互为相反数， ∴a+b＝0， ∵c和d互为倒数， ∴cd＝1； ∵|m|＝2， ∴m＝2或m＝﹣2； ∵m﹣2（a+b）2+（cd）3＝m﹣2×0+13＝m﹣0+1＝m+1， 当m＝2时，m+1＝2+1＝3， 当m＝﹣2时，m+1＝﹣2+1＝﹣1， ∴m﹣2（a+b）2+（cd）3的值是﹣1或3． 故选：A． 【小结】本题考查了倒数，相反数的定义，绝对值的意义，掌握倒数，相反数，绝对值的定义是解题的关键． 2．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　） 甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0． 乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0． 丙：（36﹣12）361216． 丁：（﹣3）23＝9÷1＝9． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：甲：9﹣32÷8 ＝9﹣9÷8 ＝9 ， 故甲做错了； 乙：24﹣（4×32） ＝24﹣（4×9） ＝24﹣36 ＝﹣12， 故乙做错了； 丙：（36﹣12） ＝（36﹣12） ＝3612 ＝24﹣8 ＝16； 故丙做对了； 丁：（﹣3）23 ＝93 ＝9×3×3 ＝81， 故丁做错了； 综上所述，我认为做对的同学是丙， 故选：C． 【小结】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．按如图所示的程序输入﹣4进行计算，则输出结果为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：当输入﹣4时， （﹣4）2÷（﹣2）+6 ＝16÷（﹣2）+6 ＝16×（）+6 ＝﹣8+6 ＝﹣2＜2； 当输入﹣2时， （﹣2）2÷（﹣2）+6 ＝4÷（﹣2）+6 ＝4×（）+6 ＝﹣2+6 ＝4＞2； 由上可得，输入﹣4进行计算，则输出结果为4， 故选：A． 【小结】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．要使算式﹣34□（23﹣（﹣2）3）的计算结果最大，在“□”里填入的运算符号应是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【解答】解：﹣34÷（23﹣（﹣2）3）＝﹣81÷（8+8）； ﹣34+（23﹣（﹣2）3）＝﹣81+16＝﹣65； ﹣34﹣（23﹣（﹣2）3）＝﹣81﹣16＝﹣97； ﹣34×（23﹣（﹣2）3）＝﹣81×16＝﹣1296， 则要使算式﹣34□（23﹣（﹣2）3）的计算结果最大，在“□”里填入的运算符号应是÷． 故选：D． 【小结】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．小明买了一瓶水，喝掉了一部分后还有剩余（如图所示），已知这个瓶子的内直径是8cm．根据图中标出的数据，小明用算式“3.14×（8÷2）2×（10+6）”计算的是（　　） A．喝掉的水的体积 B．瓶子的容积 C．剩余的水的体积 D．喝掉的水和剩余的水相差的体积 【解答】解：由算式“3.14×（8÷2）2×（10+6）”可知，算式表示的是瓶子的容积， 故选：B． 【小结】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出算式表示的意义． 6．数学活动课上，嘉嘉同学设计了一个运算程序，当输入任意有理数对（a，b）时，会得到一个新的有理数a2﹣2b﹣1．例如：输入数对（3，﹣2）时，就会得到32﹣2×（﹣2）﹣1＝12．现输入有理数对（﹣3，﹣2），则得到的有理数为（　　） A．﹣14 B．﹣6 C．4 D．12 【解答】解：得到的有理数为（﹣3）2﹣2×（﹣2）﹣1＝12， 故选：D． 【小结】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．计算： 　﹣5　 ． 【解答】解： ＝﹣18 ＝﹣1﹣4 ＝﹣（1+4） ＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【小结】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．计算：（1）（﹣2）2；（2）﹣22×[5﹣（﹣1）2024]+|﹣1+5|； （3）；（4） 【解答】解：（1）原式＝4＝4+2＝6； （2）原式＝﹣4×（5﹣1）+4＝﹣4×4+4＝﹣16+4＝﹣12． （3）原式 ． （4）＝﹣1+3﹣3＝﹣1． 【小结】本题考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键在于熟练掌握运算法则． 9．按下列所示的程序计算，若开始输入x＝1，则最后输出的结果是（　　） A．15 B．25 C．235 D．255 【解答】解：x＝1代入x2+2x得3，3＜20， 将x＝3代入x2+2x得15，15＜20， x＝15代入x2+x的255，255＞20，符合题意． 故选：D． 【小结】解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序． 由于代入1计算出的值是3，但3＜20不是要输出的值，这是本题易出错的地方，还应将x＝3代入x2+2x继续计算． 10．如图是由一些小三角形和小正方形组成的美丽图案，由图形组成规律可知第⑨个图形中小三角形和小正方形共有（　　）个． A．91 B．99 C．101 D．121 【解答】解：第1个图形小三角形和小正方形共有2+1×3＝5个， 第2个图形小三角形和小正方形共有2+2×4＝10个， 第3个图形小三角形和小正方形共有2+3×5＝17个， 第4个图形小三角形和小正方形共有2+4×6＝26个， •••， 第n个图形小三角形和小正方形共有2+n（n+2）＝（n2+2n+2）个， 当n＝9时，n2+2n+2＝92+2×9+2＝101个， 故选：C． 【小结】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形变化的规律，利用规律求解即可． 11．自定义运算：a☆b例如：2☆（﹣4）＝2×2﹣（﹣4）＝8，若m，n在数轴上的位置如图所示，且（m+n）☆（m﹣n）＝7，则6n﹣2m+2021的值等于（　　） A．2028 B．2035 C．2028或2035 D．2021或2014 【解答】解：由数轴可得， n＜0＜m， ∴m﹣n＞m+n， ∴（m+n）☆（m﹣n） ＝（m+n）﹣2（m﹣n） ＝m+n﹣2m+2n ＝3n﹣m ＝7， ∴6n﹣2m+2021 ＝2（3n﹣m）+2021 ＝2×7+2021 ＝14+2021 ＝2035． 故选：B． 【小结】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题． 12．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是1，n是有理数且既不是正数也不是负数，则2a+b+1+m2﹣（cd）3+n（a+b+2cd）的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，n是有理数且既不是正数也不是负数， ∴a+b＝0，cd＝1，|m|＝1，n＝0， ∴m2＝1， ∴2a+b+1+m2﹣（cd）3+n（a+b+2cd） ＝20+1+1﹣13+0×（0+2×1） ＝21+1﹣1+0 ＝2+1﹣1+0 ＝2， 故选：D． 【小结】本题有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13．根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数＝3×72+2×71+6＝147+14+6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是　73　 天． 【解答】解：1×72+3×71+3 ＝49+21+3 ＝70+3 ＝73（天）， 即孩子自出生后的天数是73天， 故答案为：73． 【小结】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 14．规定一种新的运算：a*b＝ab﹣a﹣b2．例如3*（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2＝﹣31．请用上面规定计算下列各式： （1）1*5； （2）（﹣5）*[3*（﹣1）]． 【解答】解：（1）1*5＝1×5﹣1﹣52 ＝5﹣1﹣25 ＝﹣21； （2）3*（﹣1）＝3×（﹣1）﹣3﹣（﹣1）2 ＝﹣3﹣3﹣1 ＝﹣7， （﹣5）*[3*（﹣1）]＝（﹣5）*（﹣7） ＝（﹣5）×（﹣7）﹣（﹣5）﹣（﹣7）2 ＝35+5﹣49 ＝﹣9． 【小结】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算方法进行计算． 15．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示． （1）接力中，计算错误的学生是 　小明和小强　 ； （2）请正确计算老师出示的算式； （3）计算：． 【解答】解：（1）接力中，计算错误的学生是小明和小强， 故答案为：小明和小强； （2）﹣42+20÷（﹣4）﹣6×（﹣2）3 ＝﹣16+（﹣5）﹣6×（﹣8） ＝﹣16﹣5+48 ＝﹣21+48 ＝27； （3） ＝﹣1﹣10×2×4+5 ＝﹣1﹣80+5 ＝﹣81+5 ＝﹣76． 【小结】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣6，8，﹣10，12… 1，﹣4，9，﹣16，25，﹣36… 1，7，﹣3，11，﹣7，15… 回答下列问题 （1）写出第①行的第7个数：　﹣14　 （2）写出第②行的第7个数：　49　 （3）写出第③行的第7个数：　﹣11　 （4）取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【解答】解：（1）第①行的第7个数是（﹣1）7×2×7＝﹣14． 故答案为﹣14； （2）第②行的第7个数是（﹣1）7+172＝49． 故答案为49； （3）第③行的第7个数是（﹣1）7×2×7+3＝﹣11． 故答案为﹣11． （4）第①行的第10个数为（﹣1）10×2×10＝20， 第②行的第10个数为（﹣1）10+1102＝﹣100， 第③行的第10个数为（﹣1）10×2×10+3＝23， 则这三个数的和为：20﹣100+23＝﹣57． 【小结】此题考查含乘方的数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． 17．计算：．小明同学的过程如下： 解：， ， ， ． （1）请指出最早开始出错的步骤，并说明错误原因． （2）写出你的解答过程． 【解答】解：（1）由题干中的计算步骤可得最早开始出错的步骤是， 错误原因是（）×8，（）计算错误； （2）原式＝﹣4×（）﹣（）÷8 ＝3 ＝3 ＝3． 【小结】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：1+3+32+33+⋯+32024＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：令S＝1+3+32+33+⋯+32024， 3S＝3+32+33+⋯+32025， 3S﹣S＝32025﹣1， 所以2S＝32025﹣1， 所以S． 故选：A． 【小结】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是按照示例计算即可． 19．观察下列等式： 32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；72﹣52＝8×3；92﹣72＝8×4；… （1）根据上面规律，若a2﹣92＝8×5，172﹣b2＝8×8，则a＝　11　 ，b＝　15　 ． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为　（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n　 ． 【解答】解：（1）∵32﹣12＝8＝8×1； 52﹣32＝16＝8×2： 72﹣52＝24＝8×3； 92﹣72＝32＝8×4 … （1）112﹣92＝8×5，172﹣152＝8×8，所以a＝11，b＝15； （2）第n个等式为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n； 故答案为：11；15；（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n． 【小结】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． 20．【问题呈现】我们知道，，那么如何求13+23+33+⋯+n3的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）13+23+33+43+53＝　225　 ； （2）13+23+33+43+⋯+n3＝　　 ； 【拓展应用】 （3）求113+123+133+⋯+203的值． 【解答】解：（1）13＝12， 13+23＝（1+2）2， 13+23+33＝（1+2+3）2， 13+23+33+43＝（1+2+3+4）2 13+23+33+43+53＝152＝225； 故答案为：225； （2）由（1）发现： 13+23+33+⋯+n3 ＝（1+2+3+⋯+n）2 ； 故答案为：； （2）原式＝13+23+33+⋯+203﹣（13+23+33+⋯+103） ＝（1+2+3+⋯+20）2﹣（1+2+3+⋯+10）2 ＝41075． 【小结】本题考查了有理数的混合运算，以及含乘方的规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$