第1章反比例函数 单元自主达标测试题 2025-2026学年湘教版（2012）九年级数学上册

2025-2026学年湘教版（2012）九年级数学上册《第1章反比例函数》 单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列四个点不在反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．反比例函数与一次函数的图象交于点，利用图象的对称性可知它们的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 4．已知点A在反比例函数的图象上，点A关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 5．如图，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别落在轴、轴上，点坐标为，反比例函数与分别交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，二氧化碳气体的密度（单位：）也随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，函数图象如图所示，当时，．根据图象可知，下列说法不正确的是（   ） A．与的函数表达式是 B．随的增大而减小 C．当时， D．若时， 8．如图，点是反比例函数的图像上一点，直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点，动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若和是反比例函数图象上的两点，则 ． 10．直线与双曲线交于、两点，则的值为 ． 11．若点A在反比例函数上，点A关于y轴的对称点B在反比例函数上，则的值为 ． 12．已知函数与的图象的一个交点坐标是，则的值为 ． 13．如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 14．如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，连接交轴于点，且，若，则 ． 15．如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ． 16．在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 mL． 三、解答题（满分72分个） 17．已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 18．人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 19．已知反比例函数． (1)若函数的图像经过点，求的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当，且时，直接写出x的取值范围． (3)设函数，若，当，函数的最小值为，函数的最大值为m，求m与k的值． 20．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 21．如图，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数图象上，是第四象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，连接分别与轴，轴交于点，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 22．学校为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 ，待加热到 ，饮水机 自动停止加热，水温开始下降，水温 与通电时间 x（分）的关系如图所示（图 中的曲线是双曲线的一部分），解答下列问题： (1)当 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)求图中 a 值 (3)一天早上 ，王老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能 喝到不超过的温开水，应在什么时间段内接水？ 23．如图，已知点，，的边与y轴交于点，且E为的中点，反比例函数的图象同时经过C、D两点． (1)求k的值和点C的坐标； (2)已知点，过点P作平行于x轴的直线，与反比例函数图象交于点M，与直线交于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点M，C之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 参考答案 1．解：由得，， A.，该点在反比例函数图象上，不符合题意； B. ，该点在反比例函数图象上，不符合题意； C. ，该点在反比例函数图象上，不符合题意； D. ，该点不在反比例函数图象上，符合题意； 故选：D． 2．解：反比例函数的图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，如图所示， ∴， 故选：D ． 3．B 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题．根据题意可知反比例函数与一次函数的图象都关于直线对称，进而求出反比例函数与一次函数的图象交点关于点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象关于直线对称， ∴联立，解得， ∴反比例函数与一次函数的图象交点关于点对称， 设它们的另一个交点是， ∴， ∴， ∴另一个交点坐标为． 故选B． 4．B 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标与反比例函数的关系列出等式． 先设出点的坐标，根据反比例函数的性质表示出，再根据关于轴对称的点的坐标特征得到对称点坐标，进而表示出，最后结合求解． 【详解】解：设点A坐标为，则， 点A关于y轴对称后的坐标为，代入第二个反比例函数得， 由，得： ，则， ， 因此，，对应选项B． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，根据反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质逐一判断即可，掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解题的关键． 【详解】解：、由根据图象可知，，由函数图象可知，不符合题意； 、由根据图象可知，，由函数图象可知，不符合题意； 、由根据图象可知，，由函数图象可知，符合题意； 、由根据图象可知，，由函数图象可知，不符合题意； 故选：． 6．B 【分析】本题考查了坐标与图形，求反比例函数图象的解析式，根据矩形的性质和点坐标求出点的坐标，进而即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，点坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：． 7．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解决本题的关键是根据图象上的数据得到反比例函数的解析式，利用反比例函数的图象与性质进行判断． 【详解】解：设， 当时，， ， 解得：， 与的函数表达式是， 故A选项正确； 由函数图象可知：随的增大而减小， 故B选项正确； 当时，可得：， 解得：， 故C选项正确； 由函数图象可知：随的增大而减小， 若时，， 故D选项错误． 故选：D ． 8．C 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，通过解方程组找到交点坐标，利用三角形的性质确定点即可． 【详解】连接并向两端延长 把代入，得 直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点 解得：或 B在点第四象限 设的解析式为： 把代入得： 解得： 的解析式为： 设直线交轴于点 当时， 解得： （三点共线时，取等号） 当运动到时，线段与线段之差达到最大，点的坐标为 故选：C． 9． 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数图象与性质，由是反比例函数图象上的点，可得反比例函数为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴反比例函数为， ∵是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：． 故答案为： 10．16 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是把两个函数关系式联立成方程组并能正确求解．由题意得出，，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵、在双曲线上， ∴，且A和B关于原点对称． ∴，， ∴， 故答案为：16． 11．0 【分析】设点A坐标为（a，b），则B为（-a，b），将A、B点坐标代入解析式，求出的值即可． 【详解】解：设点A坐标为（a，b），则B为（-a，b）， 则，， 则=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称，反比例函数解析式等知识点，选择适当的方法表示是解决问题的关键． 12． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数与的图象的一个交点坐标是，得出，，再把要求的式子进行变形，然后代值计算即可． 【详解】解：∵函数与的图象的一个交点坐标是， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：． 13． 【分析】过点C作轴于点E，先求出反比例函数的解析式为，可得，然后结合行四边形的面积是24，可得，再求出直线的解析式为，设点C的坐标为，点B的纵坐标为，，可得点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∵平行四边形的面积是24， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C的坐标为，点B的纵坐标为，， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得：或（舍去）， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴点B的坐标为． 故答案为： 14．/ 【分析】本题考查了反比例函数的图形及性质，三角形的中线平分面积，反比例函数比例系数k的几何意义等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 过点C作轴于H点，证明，可得到，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，过点C作轴于H点， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 15．12 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的横坐标相同，设，，则，根据的面积为6，得出，求得答案即可． 【详解】解：∵轴， 、的横坐标相同， 设，，则， ， ∵的面积为6， ∴， ． 故答案为：． 16．20 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及从图象中获取信息、待定系数法确定函数关系式，数形结合，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． 根据题意压强p与汽缸内气体体积V成反比例函数，设，代入点可得，再求两种气压下对应气体体积即可求解． 【详解】由图可知，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）成反比例函数关系， 设， ∵函数图象过点， ∴，解得， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ， 气体体积压缩了L． 故答案为：20． 17．(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设y与x的函数关系式为，将代入即可； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）得， 将代入，得：， 解得． 18．(1)； (2)度． 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键． （1）设，运用待定系数法即可求解； （2）把代入函数解析式求函数值即可． 【详解】（1）解：∵视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数， ∴设， ∵当车速为时，视野为度， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴当车速为时视野的度数为度． 19．(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与不等式、反比例函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入求得k的值即可解答； （2）根据反比例函数的性质确定不等式的解集即可． （3）由题意可得：函数， 的图像在第一、三象限，然后根据反比例函数的性质用m表示出、的最小值和最大值，然后组成方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴． （2）解：∵，， ∴点在函数的图象上，且当时，且y随x的增大而减小；当时，且y随x的增大而减小； ∴当，且时，x的取值范围为或． （3）解：∵，函数， 的图象在第一、三象限， ∴当时，函数有最小值，即； 当时，函数有最大值m，即； 所以，解得． 20．(1)a的值为8 (2)的取值范围为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用（包括解析式求解、图象与不等式关系）、线段比例的坐标转化（利用共线点坐标比例关系）．解题的关键是：（1）利用反比例函数过已知点求参数，进而求未知点纵坐标；（2）结合两函数交点横坐标与图象位置判断不等式解；（3）通过“共线于原点的点横纵坐标成比例”转化线段比例，结合反比例函数性质求点坐标． （1）将代入反比例函数求，再将代入反比例函数求； （2）根据两交点、的横坐标，观察图象确定反比例函数在一次函数上方时的范围； （3）先求一次函数解析式，设，由得，结合、、共线得的横纵坐标为的，代入反比例函数求，进而得坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 又∵点在的图象上， ∴将代入，得． ∴a的值为8． （2）解：由（1）知两函数交点为、，观察图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围为或． （3）解：∵一次函数过、， ∴代入得， 用第一个方程减第二个方程：，即， 解得， 将代入，得，即， 解得， ∴一次函数解析式为， 设点的坐标为（，因在线段上）， ∵，且、、在同一直线上， ∴，即， ∵点在上，且为原点， ∴的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的（共线于原点的点，坐标成比例）， ∴的坐标为， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 化简右边：，方程变为， 两边同乘去分母：， 即， 两边除以得， 因式分解：， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时，均在线段上， 故点的坐标为或． 21．(1)，反比例函数的表达式为 (2)的值为定值，定值是 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，设出直线的含参表达式，联立求出交点的坐标是解题的关键． （1）将点代入中可求出的值，则可知点的坐标，将点代入中，即可求出反比例函数的表达式； （2）由一次函数和反比例函数的表达式可得点的坐标，由点在反比例函数图象上，可得点的坐标，设点，直线的表达式为， 将点，代入，可得直线的表达式，分别令，，可得点，点的坐标，同理可得点，点的坐标，进而可得，，最后计算即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， ∴将点代入中，得， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：的值是定值，理由如下： 直线与反比例函数交于，两点， 令，解得，， 把代入得，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， 设点，直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，得，即， 令，得，即， 设直线的表达式为， 将点，代入上式， 得， 解得， 直线的表达式为， 令，得，即， 令，得，即， ∴，， ∴， ∴的值为定值，定值是8． 22．(1) (2) (3)他应在时间段内接水 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用； （1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得与的关系式； （2）将代入，即可得到的值； （3）要想喝到不超过的开水，加20分钟即可接水，一直到； 【详解】（1）解：当时，设与的关系式为， 将，代入得：， 解得：， ∴当时，与的关系式为， （2）解：当时，设与的函数关系式为：， 将代入，得： 解得：， ∴当时，与的函数关系式为：； 将代入，得：； （3）解：依题意，得：， 解得：． ∵， ∴， ∴他应在时间段内接水． 23．(1)， (2)①2；②或 【分析】（1）先根据线段中点，结合点，，求得，再根据平行四边形的性质可得出可用平移得到，利用平移的性质可求得，再根据点在反比例函数的图象上求得反比例函数解析式； （2）①当时，先求得直线的解析式，再结合图形找出区域内的整点； ②结合图象，分，两种情况，找出整点． 【详解】（1）解：设点的坐标为，点， ∵E为AD的中点，， ∴，，解得：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴可用平移得到， ∵，， ∴点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点， ∴点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）①当时， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ， 而， ∴是在区域W内的整点， 同理可得是在区域W内的整点，共2个； ②当时，与①同理可验证在区域W内有和，共2个整点； 当时，与①同理可验证在区域W内有和，共2个整点； 学科网（北京）股份有限公司 $