精品解析：四川省德阳市第二中学校教育集团2023-—2024学年九年级上学期期中联考数学试题（甲卷）

德阳二中教育集团初2024届初三上期期中素质测试 数学试卷（甲卷） 一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分，每个小题只有一个正确选项） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的有（ ） （1）长度相等的弧是等弧； （2）三点确定一个圆； （3）平分弦的直径垂直于弦； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 我校生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程有一个解为，则为 A. B. 1 C. D. 0 5. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，把点P(－5，3)向右平移8个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( ) A. (3，-3) B. (-3，3) C. (3，3)或(-3，-3) D. (3,－3)或(-3，3) 7. 已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b2，③2a+b=0，④a－b+c>2，其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（ ） A. 16 B. 11 C. 7 D. 4 10. 如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ） A. 2r， B. 0， C. 2r， D. 0， 11. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（　　） A. B. C. D.  12. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________． 14. 如图，正方形 在第一象限内，点 、 坐标分别为，，若直线 把正方形 分成面积相等的两部分，则的值是______． 15. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象的交点A、B的坐标分别为、，当时，x的取值范围是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点 (点A在直线上)出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t秒，则当______时，与坐标轴相切． 17. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_． 18. 如图，在中，是直径，点D是上一点，点C是的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交于点，连接，关于下列结论：①；②；③；④点P是的外心，其中结论正确的是________（只需填写序号）． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 21. 在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标． （2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′B'C′． （3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长． 22. 如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点． (1)求证：AB与⊙O相切； (2)若AB＝4，求线段GF的长． 23. 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE． （1）求证：DE⊥AG； （2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2． ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数； ②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由． 24. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种有机产品，该产品的成本为每盒30元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每涨价1元，每天少销售10盒． （1）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式； （2）当每盒售价订为多少元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是多少？ （3）现在该企业打算回报社会，每销售1盒捐赠a元给村级经济合作社，物价部门要求该产品销售定价不得超过每盒75元，该企业在严格执行物价部门的定价前提下欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，求a的取值范围． 25. 如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为． （1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； （2）若点D是该二次函数图象上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）如图2，P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳二中教育集团初2024届初三上期期中素质测试 数学试卷（甲卷） 一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分，每个小题只有一个正确选项） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 2. 下列说法中，正确的有（ ） （1）长度相等的弧是等弧； （2）三点确定一个圆； （3）平分弦的直径垂直于弦； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握相关定义以及性质是解本题的关键． 根据等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系相关知识点判断即可． 【详解】解：（1）能够完全重合的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； （3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等，说法正确，符合题意； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则，原说法错误，不符合题意； 因此正确的只有1个， 故选：D． 3. 我校生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设全组有x名同学，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设全组有x名同学， 依题意得：， 故选B． 4. 若一元二次方程有一个解为，则为 A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义，把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程求得的值；注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解为0， ∴且， 解得． 故选：C． 5. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，把点P(－5，3)向右平移8个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( ) A. (3，-3) B. (-3，3) C. (3，3)或(-3，-3) D. (3,－3)或(-3，3) 【答案】D 【解析】 【分析】先根据把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P1，可得点P1的坐标为：（3，3），然后分两种情况，即可求解 【详解】解：∵把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P1， ∴点P1的坐标为：（3，3）， 如图所示： 将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则其坐标为：（﹣3，3）， 将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P3，则其坐标为：（3，﹣3）， 故符合题意的点的坐标为：（3，﹣3）或（﹣3，3）． 故选：D 【点睛】此题主要考查了坐标与图形——平移和旋转的变化，正确利用图形分类讨论是解题关键． 7. 已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握并灵活运用垂径定理和勾股定理是解题的关键． 根据垂径定理和勾股定理，分别计算位于点的两侧时的长即可． 【详解】解：根据题意，作图1和图2，连接． 如图1、是直径，， ， 圆的半径为， 在中利用勾股定理，得， ， 在中利用勾股定理，得； 如图2、， ， 在中利用勾股定理，得． 综上，的长为或． 故选：C． 8. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b2，③2a+b=0，④a－b+c>2，其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0， ∴abc＞0，所以①正确，符合题意； ②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac <b2，所以②正确，符合题意； ③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误，不符合题意； ④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确，符合题意． 故选C． 9. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（ ） A. 16 B. 11 C. 7 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题，由题意可得，，，求出，再结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值随着的增大而增大， ∴当时，的值最小为， 故选：A． 10. 如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ） A. 2r， B. 0， C. 2r， D. 0， 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 11. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（　　） A. B. C. D.  【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况：（1）当0≤x≤时，（2）当＜x≤2时，（3）当2＜x≤4时，根据勾股定理列出函数解析式，判断其图象即可求出结果． 【详解】解：（1）当0≤x≤时， 如图1，过M作ME⊥BC与E， ∵M为AB的中点，AB=2， ∴BM=1， ∵∠B=60°， ∴BE=，ME=，PE﹣x， 在Rt△BME中，由勾股定理得：MP2=ME2+PE2， ∴y= =x2﹣x+1； （2）当＜x≤2时， 如图2，过M作ME⊥BC与E， 由（1）知BM=1，∠B=60°， ∴BE=，ME=，PE=x﹣， ∴MP2=ME2+PE2， ∴y= =x2﹣x+1； （3）当2＜x≤4时， 如图3，连结MC， ∵BM=1，BC=AB=2，∠B=60°， ∴∠BMC=90°，MC=， ∵AB∥DC， ∴∠MCD=∠BMC=90°， ∴MP2=MC2+PC2， ∴y==x2﹣4x+7；综合（1）（2）（3），只有B选项符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象． 12. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键，根据二次函数性质可得出点  的坐标， 求得直线  为 ，联立方程求得  的坐标，即可求得  的坐标，同理求得  的坐标，即可求得  的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点  的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为， ∴直线为， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴ …， 故选：B． 二、填空（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________． 【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分） 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2． 故答案为y=2（x+1）2﹣2． 考点：二次函数图象与几何变换． 14. 如图，正方形 在第一象限内，点 、 坐标分别为，，若直线 把正方形 分成面积相等的两部分，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】正方形 的各边都相等，点 、 坐标分别为，，如图所示（见详解）可求出点 、 的坐标，再将点 、 的坐标代入直线方程 即可求出答案． 【详解】解：∵正方形 ，点 、 坐标分别为，， ∴ ， ∴点 、 坐标分别为，，且正方形 的面积是 平方单位， 直线 过线段 交于点 、过 交于点 ，且设 ， ， ∴ ，解方程组得， ， 如图所示， ， ， ， 梯形 的面积是正方形 的一半，即梯形的面积是 平方单位， ∴ ， ∴ ，且 ， ∴ ， ，即 ， ，代入直线 得， ∴ ， 故答案是： ． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，根据题意绘制函数图像，结合图形、数据分析一次函数图形与正方形的交点，将交点坐标代入一次函数解析式即可求出答案． 15. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象的交点A、B的坐标分别为、，当时，x的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据两函数的图象和、的坐标得出即可． 【详解】解：因为二次函数的图象与一次函数的图象的交点A、B的坐标分别为、， 所以当时，x的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式、二次函数与一次函数的图象和性质等知识点，能根据图象得出正确的信息是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点 (点A在直线上)出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t秒，则当______时，与坐标轴相切． 【答案】2或6或10 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．设与坐标轴的切点D，根据已知条件得到，推出是等腰直角三角形，，①当与x轴相切时，②如图，与x轴和y轴都相切时，③仅与y轴相切，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】解：设与坐标轴的切点为D， ∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，点， 时，时，时，，， ， ，， 是等腰直角三角形，， ①当与x轴相切时， ∵点D是切点，的半径是2， 轴，， 是等腰直角三角形， ， ， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与x轴和y轴都相切时， ， ， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； ③如图，仅与y轴相切于点H，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； 综上所述，则当或6秒或10秒时，与坐标轴相切， 故答案为：2或6或10． 17. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_． 【答案】． 【解析】 【分析】根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积，本题得以解决． 【详解】联立得， 解得，或， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ，得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 将代入直线中，得， ∵直线与轴的夹角是， ∴点到直线的距离是：， ∴的面积是：， 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18. 如图，在中，是直径，点D是上一点，点C是的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交于点，连接，关于下列结论：①；②；③；④点P是的外心，其中结论正确的是________（只需填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①利用圆周角定理的推论和弧之间的关系即可判断；②连接，利用等腰三角形的性质得出，再根据即可得出，由此可判断②的正误；③首先利用垂径定理证明，则有，④进而利用圆周角定理的推论和等量代换得出，则，P点为斜边中点，则可判断④的正误． 【详解】解：①∵点是的中点，  ，  ． ∵与不一定相等， ∴与不一定相等，故①错误； ②如图， 连接，则  ，  ． ， ， ，故②正确； ③于点， ∴F为中点， ∴ ． ∵点是的中点，  ， ， ， ，故③正确； ∵为圆的直径，  ， ， ， ， ， ∴P点为斜边中点， ∴点是的外心，故④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题是圆的综合题，其中涉及切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形外接圆等，熟练掌握性质及定理是解题的关键． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 20. 已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 【答案】（1）答案见解析；（2） ． 【解析】 【分析】（1）应用根的判别式直接判断就可以. （2）先根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积再用勾股定理求出k，继而求得周长 【详解】（1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3 ， ∵ ∴ 即 ∴无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根. （2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根 ∴根据韦达定理可知 ∴， 解得. 当时， 周长 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 21. 在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标． （2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′B'C′． （3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长． 【答案】（1）如图，A点坐标为（﹣2，3）； （2）如图，△A′B′C′为所作； （3）点A所经过的路径长＝. 【解析】 【分析】（1）利用B、C点的坐标建立直角坐标系，然后写出A点坐标； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B'C′； （3）先利用勾股定理计算出OA，然后利用弧长公式计算点A所经过的路径长． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，OA＝， 所以点A所经过的路径长＝． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式． 22. 如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点． (1)求证：AB与⊙O相切； (2)若AB＝4，求线段GF的长． 【答案】（1）如图， ∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠ADO＝∠AMO＝90°. ∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC， ∴∠DAO＝∠MAO，∴OM＝OD． ∴AB与⊙O相切； （2）2 【解析】 【分析】（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD 即可； （2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，由垂径定理得出NG＝NF＝ GF，证出四边形OMBN是矩形，在 利用三角函数求得OM和 BM的长，则BN 和ON 即可求得，在 中利用勾股定理求得 ，即可得出 GF的长． 【详解】 如图，过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF， 则NG＝NF＝GF ∵O是BC的中点， ∴OB＝2 在Rt△OBM中，∠MBO＝60°， ∴∠BOM＝30°，∴BM＝BO＝1， ∴OM＝ ∵BE⊥AB，∴四边形OMBN是矩形， ∴ON＝BM＝1.∵OF＝OM＝， 由勾股定理得NF＝＝， ∴GF＝2NF＝2 23. 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE． （1）求证：DE⊥AG； （2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2． ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数； ②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）30°或150°，的长最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可； （2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°； ②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°． 【详解】解：（1）如图1，延长ED交AG于点H， ∵点O是正方形ABCD两对角线的交点， ∴OA=OD，OA⊥OD， ∵OG=OE， 在△AOG和△DOE中， ， ∴△AOG≌△DOE， ∴∠AGO=∠DEO， ∵∠AGO+∠GAO=90°， ∴∠GAO+∠DEO=90°， ∴∠AHE=90°， 即DE⊥AG； （2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况： (Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时， ∵OA=OD=OG=OG′， ∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==， ∴∠AG′O=30°， ∵OA⊥OD，OA⊥AG′， ∴OD∥AG′， ∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘， 即α=30°； (Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时， 同理可求∠BOG′=30°， ∴α=180°−30°=150°． 综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°． ②如图3，当旋转到A． O、F′在一条直线上时，AF′的长最大， ∵正方形ABCD的边长为1， ∴OA=OD=OC=OB=， ∵OG=2OD， ∴OG′=OG=， ∴OF′=2， ∴AF′=AO+OF′=+2， ∵∠COE′=45°， ∴此时α=315°． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质，注意特殊角的三角函数值的应用． 24. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种有机产品，该产品的成本为每盒30元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每涨价1元，每天少销售10盒． （1）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式； （2）当每盒售价订为多少元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是多少？ （3）现在该企业打算回报社会，每销售1盒捐赠a元给村级经济合作社，物价部门要求该产品销售定价不得超过每盒75元，该企业在严格执行物价部门的定价前提下欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）w＝-10x2＋1400x-33000； （2）每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元； （3）9<a＜30． 【解析】 【分析】（1）根据利润＝（售价-进价）×销量，即可得到w关于x的函数解析式； （2）把（1）中的函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质，即可得出答案； （3）根据题意，仿照（1）列出函数关系式，求出对称轴，再根据二次函数的性质分析，即可得到a的取值范围． 【小问1详解】 解：当售价为x元时，上涨（x-60）元， 销量为500-10（x-60）＝-10x+1100， ∴ w＝（x-30）（-10x+1100） ＝-10x2＋1400x-33000， 故w关于x的函数解析式是w＝-10x2＋1400x-33000； 【小问2详解】 解：w＝-10x2＋1400x-33000 ＝-10（x-70）2+16000 ∵-10＜0 ∴抛物线开口向下，函数有最大值 即当x＝70时，w有最大值，最大值是16000， 故每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元． 【小问3详解】 解：由题意得 w＝（x-30-a）（-10x+1100） ＝-10x2＋（1400+10a）x-（33000+1100a） 其中60≤x≤75， ∵-10＜0 ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 抛物线的对称轴是x＝， ∵每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大， ∴当60≤x≤75时，w随着x的增大而增大， ∴ >74.5 即a>9， 又∵x-30-a＞0， ∴ a＜x-30，其中60≤x≤75， ∴ a＜60-30，即a＜30时，a＜x-30恒成立， ∴ 9<a＜30 ∴a的取值范围是9<a＜30． 【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，熟练应用二次函数求最值是解决问题的关键． 25. 如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为． （1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； （2）若点D是该二次函数图象上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）如图2，P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，抛物线的解析式为 （2）点的坐标为或 （3）存在，点R的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先求出B、C两点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式即可得解； （2）连接，求出，作轴于，设，则，，结合计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，求出，分两种情况：当是等腰直角的直角边时；当是等腰直角的斜边时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，，解得， ∴，， 设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可得：，， ∴， ∵， ∴， 作轴于， 设，则，， ∴， 解得：或（与点重合，不符合题意）或， 当时，，即， 当时，，即； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q， ∴设，则点的纵坐标为， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， 当是等腰直角的直角边时，则， 解得：， 此时当为直角边时，的坐标为， 当为直角边时，的坐标为； 当是等腰直角的斜边时，， 解得：， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上，点R的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—角度问题，二次函数综合—特殊三角形问题，一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $