2.1.1 有理数的加法 基础讲义 2025-2026学年 青岛版（2024）数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的加法这一核心知识点，衔接小学非负数加法基础，通过分类归纳（同号、异号、与0相加）梳理知识框架，以生活收支情境和数轴为学习支架，引导学生从具体运算到抽象法则的理解。 该资料以生活收支问题驱动探究，借助数轴直观呈现运算过程培养几何直观（数学眼光），通过归纳推理形成加法法则发展推理意识（数学思维），用助记口诀和步骤化表达强化理解（数学语言）。课中助力教师引导学生主动建构知识，课后练习覆盖各类运算，帮助学生巩固法则应用，查漏补缺。

2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第2章 有理数的运算之2.1.1 有理数的加法 2.1.1 有理数的加法 在小学,我们已经学习了自然数、小数及分数的加法计算。引入负数后,如何进行有理数的加法运算呢？ 导入新课： 两个有理数相加会出现哪些情况呢? 会出现如下9种情况:正+正,正+0,正+负,0+正,0+0,0+负,负+正,负+0,负+负。 归纳：正+正,负+负可归纳为同号两个数相加,正+负,负+正可归纳为异号两数相加;正+0,0+正,负+0,0+负,0+0可归纳为一个有理数和0相加,即同号两数相加,异号两数相加,一个有理数与0相加。 我们已经熟悉正数及0的计算,那么其他情形的有理数相加的结果与两个加数有怎样的关系呢? 观察与发现 活动一:借助数轴讨论同号两数相加的法则 为开展生活垃圾分类工作,小莹所住的小区以有偿的方式对可回收物进行回收.小莹记录了每周投放可回收物、购买文具的收支情况,其中收入为正,支出为负.下表是她近两周的收支情况(单位:元)。 时间 项目 可回收物 文具 第一周 +5 -2 第二周 +3 -6 问题1: 根据上面的内容,你能提出什么问题? (1)这两周投放可回收物的总收入是多少? (2)购买文具的总支出是多少? (3)每周的结余分别是多少? 问题2: 对于问题1中得到的三种情况,你能列出什么式子? 你能求出它们的结果吗? (1) (+5)+(+3); (2) (-2)+(-6); (3) (+5)+(-2),(+3)+(-6)。 第(1)种情况的结果为8。 第一种情况是两个正数相加,其他几种情况就是两个负数相加,一个正数和一个负数相加。 这就是本节课所要研究的问题。 问题3:对于这两周投放可回收物的总收入可算出是+8元,用式子表示为(+5)+(+3)=+8.对于这个运算,你能用数轴表示吗? 这个运算用数轴表示,如图所示： 由此,对于两个正有理数相加,你发现了什么? 提示：从数轴和算式两个方面考虑,可从两个加数的符号、和的符号,表示这两个数及和的点与原点的距离有怎样的关系等方面进行总结。 这个运算用数轴表示,如图所示： 归纳: 在数轴上,表示两个数的和的点到原点的距离是表示两个加数的点到原点的距离的和.两个正数相加,其和仍是一个正数,数字为这两个加数绝对值的和(+5)+(+3)=+(|5|+|3|)=+8. 用语言叙述为: 两个正数相加,取正号,并把绝对值相加。 问题4: 对于前面的问题,购买文具的总支出是多少? 我们列出的算式是(-2)+(-6),这个算式该如何计算? 归纳: 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加. 类比两个正数相加的情况,得出(-2)+(-6)=-(|2|+|6|)=-8。 这个运算用数轴表示,如图所示： 用语言叙述为:两个负数相加,取负号,并把绝对值相加。 活动二:利用类比的思想探讨异号两数相加的法则 问题1 :你能计算前面问题中得出的(+5)+(-2)吗? 提示:可模仿上面解决同号两数相加的方法,画出数轴,把算式表示在数轴上,从加数的符号、和的符号、和的绝对值与两加数绝对值之间的关系分析. 这个运算用数轴表示,如右图所示： 由数轴可得(+5)+(-2)=+(|5|-|2|)=+3. 用语言叙述为:+5与-2相加,和为正数,其绝对值为+5的绝对值减去-2的绝对值. (+3)+(-6)是否也能这样计算? 类比(+5)+(-2)的计算方法,这个运算用数轴表示,如图所示： 由数轴得出 (+3)+(-6)=-(|-6|-|+3|)=-3.即 +3与-6的和是一个负数,和的绝对值为-6的绝对值减去+3的绝对值。 问题2 : 问题1是异号两数相加,根据前面的学习,你能得出异号两数相加的法则吗? 归纳: 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 问题3 : 如果小莹第三周收入和支出均为6元,那么这周的结余是多少? 如何列式计算呢? 这周结余0元.用算式表示为(+6)+(-6)=0。 观察两个加数的特点及和与加数的关系,你能得出一般性结论吗？ 归纳: 互为相反数的两个数相加得0。 问题4 : 如果小莹第三周收入8元,支出0元,那么这周的结余是多少? 如果小莹第三周支出8元,收入0元,那么这周的结余是多少? 如何列式计算呢? 这周结余分别是8元和-8元.分别用算式表示为 (+8)+0=+8,(-8)+0=-8。 观察两个算式加数的特点及和与加数的关系,你能得出一般性结论吗？ 归纳:一个数与0相加,仍得这个数。 知识点 有理数加法法则 将前面所得几种情况汇总,可得出完整的有理数加法法则: 1. 有理数加法法则 同号相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 异号相加 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0 与0相加 一个数与0相加，仍得这个数 注意： 两数相加，当后一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来。 例1 计算： （1）（-5）+（-9）； （2）（+11）+（-12.1）； （3）（-2.4）+（+2.4）； （4）（-3.8）+0。 · 2. 有理数加法的运算步骤 (1)判断类型(确定用哪个法则); (2)确定符号; (3)确定数值(是绝对值相加,还是绝对值相减). 助记 同号相加一边倒； 异号相加“大”减“小”， 符号跟着“大”的跑， 绝对值相等零正好； 与零相加变不了。 例2 计算： （1）（-7）+（-3）； （2）（+4）+（-6）； （3）（-1）+4； （4）（-2）+2； （5）（-3.2）+0。 解：（1）（-7）+（-3）=-（7+3）=-10；（同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加） （2）（+4）+（-6）=-（6-4）=-2；（异号两数相加，取绝对值大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值） （3）（-1）+4=（-）+4=+（4-）=；（写结果时“+”可以省略不写） （4）（-2）+2=0；（互为相反数的两数相加得0） （5）（-3.2）+0=-3.2。（一个数与0相加仍得这个数） 易错警示：对有理数加法法则不理解致错 异号两数相加，和的符号为绝对值较大的加数的符号，而不是首个加数的符号； 绝对值不是两加数绝对值的和，而是大的绝对值减去小的绝对值，如本题（2）中要注意计算结果。 练习（p29） 1. 计算： （1）（-3）+（-5）；（2）（-3）+5； （3）3+（-5）；（4）（-5）+ 5； （5）（-5）+ 15； （6）（-5）+ 25；（7）6+（-5）；（8）6+（-6）；（9）6+（-7）。 解： （1）（-3）+（-5）=-（3+5）=-8。 (2) （-3）+（5）=+（5-3）=2。 (3) 3+（-5）=-（5-3）=-2。 (4) （-5）+ 5=0。 (5) （-5）+ 15=+（15-5）=10。 (6) （-5）+ 25=+（25-5）=20。 (7) 6+（-5）=+（6-5）=1。 (8) 6+（-6）=0。 (9) 6+（-7）=-（7-6）=-1。 2. 计算： （1）（-18）+（-32）； （2）（-15.3）+（+14.9）； （3）（-）+（+）。 解：（1）（-18）+（-32）=-（18+32）=-50。 （2）（-15.3）+（+14.9）=-（15.3-14.9）=-0.4。 （3）（-）+（+）=（-）+（+）=-（ -）=- = - 。 3. 列式计算： （1） 比-30大18的数； (2) -的相反数与-的和。 解：（1）（-30）+18=-（30-18）=-12。 （2）-（-）+（-）= +（-）=+（ - ）= 重点内容总结 取相同的符号，并把绝对值相加 同号两数相加 有 理 数 的 加 法 仍得这个数 同0相加 和为0 取绝对值较大的加数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 绝对值相等 绝对值不相等 异号两数相加 1 学科网（北京）股份有限公司 $