精品解析：陕西省西安市雁塔区曲江一中2022-—2023学年上学期九年级期末数学模拟试卷

2022-2023学年陕西省西安市雁塔区曲江一中九年级（上）期末数学模拟试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列根式中是最简二次根式的是　　 A. B. C. D. 2. 下列计算中正确的是( ) A. B. C. D. 3. 某种微粒的直径是0.000002967米，数据“0.000002967”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 在矩形中，交于O，的值可以是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点D在边上，且，连接，若，则的长为（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 一次函数和是常数且都不为与一次函数和是常数且都不为的图象如图所示，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和，连接和与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③；④是的中线，其中结论正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 校园歌咏比赛中，29个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）前14名班级获奖，小红知道自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级是否获奖，还需要知道这29个参赛班级成绩的 _____．（从平均数，中位数，众数，方差中选择一个填空） 10. 已知一个正多边形的内角和为1260°，则这个正多边形的每个外角比每个内角小__度． 11. 方程的解是__________． 12. 如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为______． 13. 二次函数的部分对应值如表： x 0 2 y n 若，下列正确的有________（填序号即可）． ①；②；③；④时，的解为． 三．解答题（共13小题，满分81分） 14. 计算： 15. 解不等式组： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图所示，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D．已知点E是AC上一点，且满足CE＝DE．设AD＝2a，BD＝3a（a＞0）． （1）尺规作图：在图中确定点E的位置（要求保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若BC＝10，求DE的长． 18. 如图，在矩形中，点E是边的中点，点F是边上一点，将四边形纸片沿折叠，使点A落在边上的点处，连接．若，求证：． 19. 为响应政府“绿色出行”的号召，张老师上班由自驾车改为骑公共自行车．已知张老师家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．张老师用骑公共自行车方式上班比用自驾车的方式上班多用多少小时？ 20. 如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案． （1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？ （2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率． 21. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点． （1）求k和n的值； （2）若点也在反比例函数图象上，求当时，函数值y的取值范围； （3）直接写出关于x的不等式的解集 ． 22. 为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图． 本次抽样调查的样本容量是 补全条形统计图； 该校共有名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数． 23. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 24. 某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约了10%，因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各多少万元？ （完成下表再解答） 总产值/万元 总支出/万元 差 去年 x y 500 今年 （1＋15%）x （1－10%）y 950 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为点，连接，当与相似时，求点的坐标． 26. 如图1为正方形和正方形，连接． （1）[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； （2）[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； （3）[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年陕西省西安市雁塔区曲江一中九年级（上）期末数学模拟试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列根式中是最简二次根式的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A．=，故此选项错误； B．是最简二次根式，故此选项正确； C．=3，故此选项错误； D．=，故此选项错误； 故选B． 2. 下列计算中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用幂的运算法则即可进行判断． 【详解】A中和不是同底数幂，也不是同类项，不能合并，A错； 同底数幂相除，底数不变，指数相减，B错； 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，C错； 幂的乘方，底数不变，指数相乘，D对 故本题正确选项为D． 【点睛】本题考查了幂的运算法则，掌握相关知识点是解决本类题的关键． 3. 某种微粒的直径是0.000002967米，数据“0.000002967”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选D． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 如图所示的几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，知道俯视图是从物体的上面所观察到的平面图形是解题的关键． 从物体上方观察所得到的平面图形，其中能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示即可得到结果． 【详解】解：从上面看到的图形是一个长方形，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，因此选项D中的图形，符合题意． 故选：D． 5. 在矩形中，交于O，的值可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形的三边关系，由矩形的性质得是解题的关键．根据矩形的性质可得，结合三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，， ∴， ∵， ∴的值可以是， 故选：． 6. 如图，在中，，点D在边上，且，连接，若，则的长为（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】在中，利用锐角三角函数的定义先求出，再利用勾股定理求出，进而求出，即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 7. 一次函数和是常数且都不为与一次函数和是常数且都不为的图象如图所示，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图象，得出，，，的符号，再逐项分析判断即可求解． 【详解】解：一次函数和是常数且都不为的图象过第二、三、四象限， ，， 一次函数和是常数且都不为的图象过第一、二、四象限， ，， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键． 8. 在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和，连接和与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③；④是的中线，其中结论正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形，并熟练运用全等三角形的性质． 利用正方形性质证明，即可判断①；结合全等三角形性质得到，进而即可判断②；过点E作的延长线于P，过点G作于Q，证明，即可判断③；再证明，即可判断④． 【详解】解：在正方形和中，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 设相交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过点E作的延长线于P，过点G作于Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确， 同理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中线，故④正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 校园歌咏比赛中，29个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）前14名班级获奖，小红知道自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级是否获奖，还需要知道这29个参赛班级成绩的 _____．（从平均数，中位数，众数，方差中选择一个填空） 【答案】中位数 【解析】 【分析】根据中位数的意义，即可求解． 【详解】解：∵29个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）前14名班级获奖， ∴要判断自己的班级是否获奖，还需要知道这29个参赛班级成绩的中位数． 故答案为：中位数 【点睛】本题主要考查了中位数，熟练掌握把一组数据按从大到小（或从小到大）的顺序排列，位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数是解题的关键． 10. 已知一个正多边形的内角和为1260°，则这个正多边形的每个外角比每个内角小__度． 【答案】100 【解析】 【分析】首先根据多边形的内角和定理求得多边形的边数，然后求出每个内角和每个外角度数，进而求出答案． 【详解】解：设正多边形的边数为n， ∵正多边形的内角和为1260°． ∴（n﹣2）×180°＝1260°， 解得：n＝9， 每个内角为：1260°÷9＝140°， 正九边形的每个外角为：360÷9＝40°， 140°﹣40°＝100°， ∴这个多边形的每个外角比每个内角小100°， 故答案为：100． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是360°． 11. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过移项将等号右边多项式移到左边，再利用提公因式法因式分解，即可得出方程的根. 【详解】解： 移项得： 提公因式得： 解得：； 故答案为：. 【点睛】本题考查一元二次方程因式分解的解法.在解一元二次方程的时候，一定要先观察方程的形式，如果遇到了相同的因式，先将他们移到方程等号的一侧，看能否利用提公因式解方程，观察以及积累是快速解题的关键. 12. 如图，直线l与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为______． 【答案】﹣ 【解析】 【分析】根据已知的比设，，如图1，过作，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质得：，所以，由，列比例式，可得，，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得的面积为15，如图2，过作轴于，过作轴于，证明，得，设，，表示，，，，根据三角形面积列式可得结论． 【详解】解：， 设，， 如图1，过作，交于， ， 平分， ， ， ， 设，则，， ， ， ，即， ， ， ，， ， ， 的面积为6， 的面积为15， 如图2，过作轴于，过作轴于， ， ， ， ， ， 设，， 直线与反比例函数的图象在第二象限交于、两点， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题以及三角形的面积问题，解题时注意：同高三角形的面积等于对应底边的比，注意设未知数表示线段的长． 13. 二次函数的部分对应值如表： x 0 2 y n 若，下列正确的有________（填序号即可）． ①；②；③；④时，的解为． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质判断式子符号，二次函数坐标特点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质，对称轴，二次函数坐标特点，等逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：①函数的对称轴为直线，即，则， ∵，故在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向上，则， 而，故， 所以①正确； ②∵对称轴在y轴的右侧，， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故②错误； ③当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④当时，即：时，， ∵抛物线经过点，，， ∴， 解得， 可以变形为，即探讨一次函数与二次函数图象的交点情况， 当时，解得， ∴关于x的一元二次方程的解为， ④正确， 故答案为：①③④． 三．解答题（共13小题，满分81分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式、计算乘方、化简绝对值、代入特殊角的三角函数值计算，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和去绝对值等，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键． 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】先对括号进行通分，再根据分式运算进行化简，最后代入m=2求值即可. 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题是对分式化简求值的考查，熟练掌握分式化简知识是解决本题的关键. 17. 如图所示，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D．已知点E是AC上一点，且满足CE＝DE．设AD＝2a，BD＝3a（a＞0）． （1）尺规作图：在图中确定点E的位置（要求保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若BC＝10，求DE的长． 【答案】（1） 如图，点E为所作； （2）4 【解析】 【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠EDC＝∠ACD即可； （2）证明，则可判断△ADE∽△ABC，然后利用相似比可求出DE的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵CE＝DE， ∴∠EDC＝∠ECD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠BCD＝∠EDC， ∴， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， ∴DE＝4． 【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，按要求作出图是解决本题的关键． 18. 如图，在矩形中，点E是边的中点，点F是边上一点，将四边形纸片沿折叠，使点A落在边上的点处，连接．若，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，，根据折叠可得，，，，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形进一步证得是等边三角形，根据三个角都是的三角形是等边三角形证得是等边三角形，可得，再根据证即可 【详解】证明：在矩形中， ，，， 根据折叠，可得，，，， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（HL）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 19. 为响应政府“绿色出行”的号召，张老师上班由自驾车改为骑公共自行车．已知张老师家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．张老师用骑公共自行车方式上班比用自驾车的方式上班多用多少小时？ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设张老师骑公共自行车速度为：x千米每小时，则张老师自驾车速度为：千米每小时；结合骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍，通过列方程并求解，即可得到答案． 【详解】张老师骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米 设张老师骑公共自行车速度为：x千米每小时，则张老师自驾车速度为：千米每小时； ∴张老师用骑公共自行车方式上班用时为：小时；张老师用自驾车的方式上班用时为：小时 ∵骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍 ∴ ∴ ∴ ∵时，分式方程分母均不为0 ∴是分式方程的解 ∴张老师用骑公共自行车方式上班用时为：小时；张老师用自驾车的方式上班用时为：小时 ∴张老师用骑公共自行车方式上班比用自驾车的方式上班多用小时． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，并运用到实际问题中，从而完成求解． 20. 如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案． （1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？ （2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到新图案是轴对称图形的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解:（1）∵正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份， ∴米粒落在阴影部分的概率是 （2）列表如下： A B C D E F A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） （F，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） （F，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） （F，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） （F，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （F，E） F （A，F） （B，F） （C，F） （D，F） （E，F） 由表可知，共有30种等可能结果，其中是轴对称图形的有10种， 故新图案是轴对称图形的概率为 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点． （1）求k和n的值； （2）若点也在反比例函数图象上，求当时，函数值y的取值范围； （3）直接写出关于x的不等式的解集 ． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】此题考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图象求函数值的范围，求不等式的解集： （1）将点的坐标代入一次函数解析式及反比例函数解析式即可求出k和n的值； （2）根据反比例函数的增减性解答； （3）即为反比例函数图象在一次函数图象上方，据此解答． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点B的坐标为． ∵反比例函数的图象过点， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴当时，y随x值增大而减小， ∵时，时， ∴当时，； 【小问3详解】 由图象可知，不等式的解集是或， 故答案为或． 22. 为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图． 本次抽样调查的样本容量是 补全条形统计图； 该校共有名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数． 【答案】（1）100；（2）见解析；（3）450人 【解析】 【分析】（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量； （2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图； （3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可． 【详解】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%=100（人）， 则样本容量是100； 故答案为：100； （2）打乒乓球的人数有：100×35%=35（人）， 踢足球的人数有：100-25-35-15=25（人），补全统计图如下： （3）根据题意得：（人）， 答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有450人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 23. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24. 某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约了10%，因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各多少万元？ （完成下表再解答） 总产值/万元 总支出/万元 差 去年 x y 500 今年 （1＋15%）x （1－10%）y 950 【答案】今年的总产值为2 300万元，总支出为1 350万元 【解析】 【详解】解：根据题意列方程组，得 解得 则（1＋15%）x＝2 300，（1－10%）y＝1 350． 答：今年的总产值为2 300万元，总支出为1 350万元 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为点，连接，当与相似时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）找到点关于对称轴对称的点A，连接交对称轴于一点即为，求所在直线解析式，即可求解； （3）当与相似时，则或，故分分类讨论即可：①若，则，可推出点的纵坐标与点的纵坐标相同，由点为上方抛物线上的动点，得关于的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若，则，，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，判定，，由相似三角形的性质得比例式，解得点的坐标，从而可得直线的解析式，求得直线与抛物线的交点横坐标，再代入直线的解析式求得其纵坐标，即为此时点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 存在，如图：∵，关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴与对称轴的交点即为所求： 由（1）可知，对称轴为：，， ，， 所在直线解析式为：， 令，， ，； 【小问3详解】 点，， ，， 在抛物线中，当时，， ， ， ． ， ， 当与相似时，则或， ①若，则， ， ， 点的纵坐标为2， 点为上方抛物线上的动点， ， 解得：（不合题意，舍去），， 此时点的坐标为； ②若，则，， ， 过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，如图： ，， ， ， ， ， ，轴， ， ，， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 设直线的解析式为， 令， 解得：（不合题意，舍去），， 把代入得：， 此时点的坐标为，， 综上所述，符合条件的点的坐标为或，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键． 26. 如图1为正方形和正方形，连接． （1）[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； （2）[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； （3）[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长． 【答案】（1） ，，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 延长交于点，记与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （2） ，，理由如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 延长交于点，记与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形证明，得到，； （2）由矩形得到，结合，得到，即可得到，，； （3）交于点，先求出，再由，得到，即可求出，，，最后根据勾股定理求即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $