福建省连城县第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

连城一中2025~2026学年上期高二年级月考1 数学试题 满分：150 考试时间：120分钟 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为 （     ） A． B． C．7 D． 2．直线的倾斜角为 （     ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．40 C．60 D．120 4．某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A. 20 B．22 C．24 D．26 5．已知等比数列的各项均为正数，且，则（     ） A．3 B．5 C． D．30 6.在数列中，若，则 (  )· A． B． C． D． 7．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 8．已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线的倾斜角为45° B．经过点的所有直线都可以用方程表示 C．直线在轴上的截距为 D．点在同一条直线上 10．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C．的最小值为- D． 11.高斯被誉为“数学王子”.用他名字定义的函数(表示不超过的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有(  ) A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设等比数列的前项和，若，，则______. 13.若直线过点，向量是直线的一个方向向量，则直线的方程为___________________． 14．已知数列，其中，满足，设为数列的前项和，当不等式成立时，正整数的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线经过点和点． (1)求直线的截距式方程； (2)求直线与两坐标轴围成的图形面积． 16．（15分）为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公； (2)设，求数列的前项和． 17．（15分）已知数列满足. (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（17分）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70％是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16％改造为绿洲，同时原有绿洲的4％被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． （1）求； （2）求第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； （3）至少经过几年，绿洲面积可超过60％？（） 19.（17分）已知数列中，，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数n； （3）设，数列的前项和为，求证：． 连城一中2025~2026学年上期高二月考1 数学试题解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【解析】由题知，所以，故选：B. 2．直线的倾斜角为 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率，所以倾斜角为故选：C． 3．已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．30 B．40 C．60 D．120 【答案】C 【解析】因为为等差数列，故，故选C. 4．某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A. 20 B．22 C．24 D．26 【答案】A 【解析】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为，可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为.故选：A 5．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．5 C． D．30 【答案】B 【解析】为等比数列，， 故，且， 故.故选：B 6.在数列中，若，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】结合递推关系和首项，求出数列前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】因为且，所以， ，，，， 所以是以4为周期的周期数列，所以.故选：A. 7．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 8答案：D 【解析】，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以 所以， 若数列是递增数列，则当且仅当恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是.故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线的倾斜角为45° B．经过点的所有直线都可以用方程表示 C．直线在轴上的截距为 D．点在同一条直线上 【答案】AD 【解析】对于选项A：过两点的直线的斜率，所以倾斜角为45°，A正确； 对于B，过点斜率为不存在时，方程为，B错误； 对于C：直线在轴上的截距为，C错误； 对于D，因为，所以三点共线，D正确.故选：AD. 10．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C．取最小值时 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，， 而满足上式，因此，故A正确； 对于B，，数列是等差数列，故B正确； 对于C，由选项A知，数列单调递增，由，得，即数列前5项均为负数，第6项为0，从第7项起为正数，最小值时，故C错误； 对于D， ，故D正确．故选：ABD. 11.高斯被誉为“数学王子”.用他名字定义的函数(表示不超过的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】函数新定义、利用an与sn关系求通项或项、由Sn求通项公式、裂项相消法求和 【分析】根据与的关系，化简可得，判断A，B；再由裂项相消法求判断C；利用放缩法判断D. 【详解】对于A，B，，所以当时，， 又，则，所以，故A错，B对； 对于C，， ，，故C对； 对于D，， ， 当时，， ， ，故D对；故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设等比数列的前项和，若，，则______. 【答案】81 【解析】由题意得成等比数列，即成等比数列， 即，解得 13.若直线过点，向量是直线的一个方向向量，则直线的方程为______． 13.【答案】 【解析】直线的一个法向量，则设直线的方程为，把点代入方程求得当为，，所以直线的方程为 14．已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为 . 【答案】9 【详解】因为由得：， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 所以， 所以等价， 由知，满足正整数n的最小值为9. 故答案为：9. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15【答案】(1)(2)16 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 16【答案】(1)；(2). 【详解】（1）设数列的公差为， 由题意得 解得， 所以是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为． （2）由（1）知， 所以． 设数列的前项和为，则 ． 17【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据数列递推公式特征，凑项组成等比数列，即可求得数列通项； （2）求出数列的通项，利用错位相减法即可计算出的前项和. 【详解】（1）， 又， 数列是首项､公比均为3的等比数列， ，即 （2）由（1）得， 则， 则， 两式相减得 ， . 18.（17分）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． （1）求； （2）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； （3）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 【解】（1）， . ………………………………………………………………4分 （2）由题意得 ， ……………………………………………………………7分 所以． ………………………………………………………………8分 （2）由（1）得， ． 又，所以， …………………………………………………………10分 所以是以为首项，为公比的等比数列， …………………………………………12分 ， 即． ………………………………………………………………13分 令，即， 两边取常用对数得， ………………………………………………………………15分 所以 ， ………………………………………………………………16分 ， 至少经过6年，绿洲面积可超过60%． ………………………………………………………………17分 19.已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数n （3）设，数列的前项和为，求证：． 【详解】（1）因为，所以，所以， 又，所以，所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列； （2）由（1）可知，所以， 设数列的前项和为，则 ， 若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为. （3）因为，， 所以， 所以，又因为， 所以 设. 当时，成立；且随着值增大，逐渐减小，逐渐增大， 因为，所以，所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $