1.4 线段垂直平分线与角平分线（第2课时 角平分线的性质）课件　2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的性质”，涵盖性质定理及逆定理、三角形角平分线交点性质。通过复习角平分线定义搭建基础，结合“草坪修亭子”情境与折叠操作引入，引导学生从旧知自然过渡到新知探究。 其亮点在于以操作探究（折叠、几何画板观察）培养几何直观，通过严谨证明（AAS、HL全等推理）发展推理能力，结合“餐馆选址”等问题强化模型意识与应用意识。课堂小结结构化梳理知识，助力学生系统掌握，也为教师提供高效教学流程与实例支持。

1.4 线段垂直平分线与角平分线 第2课时 角平分线的性质 第一章 三角形 复习旧知 1 2 3 角平分线的定义： 符号语言： 符号语言： 平分一个角的一条射线是这个角的角平分线。 ∵OP是∠AOB的角平分线 ∴∠AOP=∠BOP ∵∠AOP=∠BOP ∴OP是∠AOB的角平分线 情境引入 现在要在草坪上修建一个亭子供市民休息，要求，亭子到草坪的两条小路距离相等。那么，亭子应该修建在什么位置？ B A O 操作引入 在一张薄纸上画∠AOB，将∠AOB沿某条直线进行折叠，使得OA、OB重合。射线OP为____________。 B A O P ● 操作引入 过P做OA、OB垂线，垂足分别为C、D。再次沿折痕将∠AOB对折，谈一谈你的发现。 B A O C D P ● 新知探究 角平分线上的任意一点P到角两边的距离有什么关系？ 观察几何画板中的案例，说出你的猜测。 B A O C D P ● 新知探究 已知：OP是∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB。 求证：PC=PD。 B A O C D P ● 证明：∵ PC⊥OA，PD⊥OB， ∴ ∠PCO＝∠PDO＝90 °. ∵OP是∠AOB的角平分线 ∴∠COP＝∠DOP 在△COP和△DOP中， ∴ △PCO ≌△PDO(AAS). ∴PC＝PD. 新知归纳 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线的性质定理： 任意一点 新知归纳 符号语言： O A B P C D P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD （角平分线上的点 到角两边的距离相等）. ● 用途： 证明线段相等. 注意：一定要表明是两条垂线段. 例题讲解 如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE垂直于AB，垂足为E 。若DE=4cm，回答下列问题： （1）点D到AC距离为_______； （2）若AC=10cm，则S△ADC=_______; （3）若DM为△ADC的中线，则S△ADM=_______。 A B C D E F M 4cm 20cm 10cm ∟ ∟ 例题讲解 如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝2，则△BCE的面积为 （ ） A．10 B．8 C．6 D．4 C 讨论交流 如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？如何证明？ O B A C D Q ● 讨论交流 已知：OC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD。 求证： 点Q在∠AOB 的平分线上． O B A C D Q ● 证明：连接OQ． ∵QC⊥OA，QD⊥OB， ∴∠OCQ＝∠ODQ＝90°． 在Rt△OCQ 和Rt△ODQ 中， ∴ Rt△OCQ≌Rt△ODQ (HL)． ∴ ∠COQ∠DOQ． ∴ 点Q在∠AOB 的平分线上． 新知归纳 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 角平分线性质定理的逆定理： 角平分线是到角两边距离相等的点的集合。 新知归纳 ∵QC＝QD，QC⊥OA，QD⊥OB， ∴点Q在∠AOB的平分线上 . （角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）. 符号语言： 用途： 确定点在角平分线上，即可以判定角平分线. O A B Q C D 注意：一定要表明是两条垂线段。 解决问题 现在要在草坪上修建一个亭子供市民休息，要求亭子到草坪的两条小路距离相等。那么，亭子应该修建在什么位置？ B A O 解决问题 现在有三条路交于点A、B、C。请各位同学在阴影区域选择合适的地点开一间餐馆，使得餐馆到三条路的距离相等。 A B C 解决问题 现在有两条路相交于点O，附近还有两个小区M、N。请你选择合适的地址再开一家餐馆，使得餐馆到两条路的距离相等，到两个小区距离也相等。 解决问题 典例分析 例1 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上． P A B D E F N M C AD是∠BAC的平分线 PF＝PN BE是∠ABC的平分线 PF＝PM PM＝PN 点P在∠C的平分线上 典例分析 例1 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上． P A B D E F N M C 证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分 别为F，M，N． ∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC． ∴PF＝PN（角平分线的性质定理）. 同理PF＝PM． ∴ PM＝PN． ∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴点P在∠C的平分线上（角平分线的性质定理的逆定理）. 归纳总结 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 已知角平分线时，常考虑将角平分线上的点到角两边的距离作出来。 典例分析 例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证：D是BC的中点． A B C D E F 证明： 连接AD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF， ∴AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD． 在△BAD和△CAD中， ∴ △BAD ≌△CAD(SAS). ∴BD＝CD. ∴D是BC的中点． 典例分析 例3 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF． A F E C B D 1 2 3 4 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4. ∴DE＝DF，AE＝AF（角平分线的性质定理）. ∴点D、A在EF的垂直平分线上 （线段垂直平分线性质定理的逆定理）. ∴AD垂直平分EF. 课堂小结 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 两距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段的长度相等. 判定定理 两相等：两条垂线段的长度相等; 两距离：点到角两边的距离； 一个点：角平分线上的点. 常用辅助线：过角平分线上一点向角两边作垂线段. 感谢聆听！ 解：如图点P即为所求作的点 $