1.4.2线段垂直平分线与角平分线-角平分线的性质（同步课件）-2025-2026学年八年级数学上册新苏科版（2024）同步教学课件

第1章 三角形 1.4.2 线段垂直平分线与角平分线-角平分线的性质 苏科版 八年级上册 教学目标 01 理解角平分线的性质定理 02 理解角平分线性质定理的逆定理 角平分线的性质 02 课堂导入 问 题 如图，在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD，垂足分别为C，D。PC与PD相等吗？如何证明？ 解：在△DOP和△ COP中， 由∠PDO = ∠PCO = 90°， ∠DOP = ∠COP ， OP = OP， 通过“AAS”，可以证明△DOP≌△ COP， ∴PC = PD。 O B A D P C 03 知识精讲 角平分线的性质定理： 于是，我们得到角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 注意：① 这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； ② 使用该结论需满足：图中有角平分线，有垂直， 符号语言：如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC = PD。 O B A D P C 拓 展 如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线， 求证： AB：AC = BD：DC。 证明：如图，过D作DE⊥AB交于E， 过D作DF⊥AC交于F，过A作AG⊥BC交于G， ∵AD是∠BAC的平分线，∴DE = DF， ∵S△ABD = AB•DE，S△ACD = AC•DF，∴S△ABD：S△ACD = AB：AC， ∵S△ABD = BD•AG，S△ACD = DC•AG，∴S△ABD：S△ACD = BD：DC， ∴AB：AC = BD：DC。 03 知识精讲 A B C D 1 2 E F G 03 知识精讲 角平分线分线段成比例定理： 如图，∵AD是∠BAC的平分线， ∴AB：AC = BD：DC。 A B C D 1 2 02 课堂导入 问 题 如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？如何证明？ 如图，点Q在∠AOB 内，且QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为C、D，QC = QD。 解：画射线OQ，在△OCQ和△ODQ中， ∠QCO = ∠QDO = 90°，OQ = OQ，QC = QD， 通过“HL”，可以证明Rt△OCQ≌△ Rt△ODQ， ∴∠AOQ = ∠BOQ ，∴点Q在∠AOB的平分线上。 O B A D Q C 03 知识精讲 角平分线性质定理的逆定理： 于是，我们得到角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 角平分线是到角两边距离相等的点的集合。 03 知识精讲 注意：① 前提条件：角的内部。 ② 使用该结论需满足：图中有垂直，有相等线段， 符号语言：如图， ∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC = PD， ∴点P在∠AOB的平分线上。 O B A D P C 证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC， 垂足分别为F，M，N， ∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC， ∴PF = PN ( 角平分线的性质定理 )， 同理，PF = PM， ∴PM = PN， ∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴点P在∠C的平分线上 ( 角平分线性质定理的逆定理 )。 例2 如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P。 求证：点P在∠C的平分线上。 03 知识精讲 A C B D E P N F M 03 知识精讲 三角形的角平分线： 三角形的三条角平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等。 探 究 03 知识精讲 如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF。CD与EF相交于点P，连接OP。OP是∠AOB的平分线吗？为什么？ 解：如图，连接OP，并延长OP， 过P作PG⊥OA交于G，过P作PH⊥OB交于H， 由题意可知：PG = PH， ∴点P在∠AOB的平分线上 ( 角平分线性质定理的逆定理 )。 即OP是∠AOB的平分线。 C A F B E D P O G H 04 典例精析 题型一 根据性质定理求线段长： 例1-1、点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于7， 点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A．PQ < 7 B．PQ > 7 C．PQ ≥ 7 D．PQ ≤ 7 解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于7， ∴点P到OB边的距离等于7， 由“垂线段最短”可知：PQ ≥ 7。 C 04 典例精析 题型一 根据性质定理求线段长： 例1-2、如图，AB // CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD = 12，则点P到BC的距离是________。 解：如图，过P作PE⊥BC交于E， ∵AB // CD，AD⊥AB， ∴AD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD， ∴PA = PE = PD，∴PE = AD = 6。 6 E P A B C D A 04 典例精析 题型一 根据性质定理求线段长： 例1-3、如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E， S△ABC = 30，DE = 4，BC = 10，则AC的长是________。 解：如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE = DF = 4， ∵S△ABC = S△ADC + S△BDC = 30，BC = 10， ∴AC•DF + BC•DE = 30，∴AC×4 + ×10×4 = 30，解得：AC = 5。 5 C D B A E F 04 典例精析 题型二 根据性质定理证明线段相等： 例2、如图，在△ADC中，AD = DC，且AB // DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。 ( 1 ) 求证：CE = CB； ( 2 ) 连接BE，求证：AC垂直平分BE。 ( 1 ) 证明：∵AD = DC，∴∠DAC = ∠DCA， ∵AB // DC，∴∠DCA = ∠CAB， ∴∠DAC = ∠CAB，即AC是∠EAB的平分线， ∵CE⊥AE，CB⊥AB， ∴CE = CB； C D B A E 04 典例精析 题型二 根据性质定理证明线段相等： 例2、如图，在△ADC中，AD = DC，且AB // DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。 ( 1 ) 求证：CE = CB； ( 2 ) 连接BE，求证：AC垂直平分BE。 ( 2 ) 证明：∵CE⊥AE，CB⊥AB， ∴∠CEA = ∠CBA = 90°， 在Rt△CEA和Rt△CBA中， ，∴Rt△CEA≌Rt△CBA ( HL )， ∴AE = AB，∴点A在线段BE的垂直平分线上， ∵CE = CB，∴点C在线段BE的垂直平分线上，∴AC垂直平分BE。 C D B A E 04 典例精析 题型三 根据逆定理证明点在角的平分线上： 例3、如图，已知△ABC的∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D。 证明：AD是∠BAC的平分线。 证明：如图，过D作DE⊥AB交于E， 过D作DF⊥AC交于F，过D作DG⊥BC交于G， ∵△ABC的∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D， ∴DE = DG，DF = DG， ∴DE = DF， ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线。 A B C D E F G 04 典例精析 题型四 三角形的角平分线的实际应用： 例4、在三角形内部，有一点P到三角形三边的距离相等，则点P一定是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 A 课后总结 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 角平分线是到角两边距离相等的点的集合。 三角形的角平分线： 三角形的三条角平分线交于一点，且该点到三角形三边的距离相等。 1.4.2 线段垂直平分线与角平分线-角平分线的性质 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $$