第09讲从有理数到实数（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

第09讲从有理数到实数（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.估算算术平方根 2、无理数 3、实数的概念及分类 4.实数的有关概念与性质 5.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 题型巩固 一、无理数 二、无理数的大小估算 三、无理数整数部分的有关计算 四、实数概念理解 五、实数的分类 六、实数的性质 七、实数与数轴 八、实数的大小比较 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.估算算术平方根 求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，通常有两种方法：一是用计算器；二是夹逼法。对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。 例如，与50最接近的两个完全平方数是49和64，因为49<50<64，所以<<，即7<<8 。 知识点2、无理数 1.概念：无限不循环小数叫作无理数。 2.无理数的三种重要形式： （1）化简后含有开方开不尽的数的方根，如√2 ； （2）圆周率π 及一些化简后含有π 的数，如π/2 ； （3）具有特殊结构的数，如1.010 010 001⋯ （两个“1”之间依次多一个“0”）。 知识点3、实数的概念及分类 1.实数的概念：有理数和无理数统称实数。 2.实数的分类：数的范围从有理数扩充到实数 （1）按定义分类： （2） 按性质分类： 知识点4.实数的有关概念与性质 把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。 名称 表示 性质 相反数 实数a 的相反数是−a 。 a,b互为相反数 ⇔ a+b=0 。 绝对值 实数a 的绝对值表示为|a| 。 （1） （2）|a|≥0 ； （3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|−a| 。 知识点5.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 1.实数与数轴上的点的对应关系 实数和数轴上的点一一对应。（ ） 2.实数的大小比较 名称 内容 大小比较的几何方法 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 大小比较的代数方法 正数大于0，正数大于一切负数；0大于一切负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。 题型巩固 题型一、无理数 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）在实数，3.14，，，，（相邻两个6之间依次增加一个2）中，无理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题考查的是有理数和无理数的定义，根据无理数的定义判断出正确答案即可． 【详解】解：在实数，3.14，，，，（相邻两个6之间依次增加一个2）中，无理数为，，（相邻两个6之间依次增加一个2），所以有3个 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为有理数，它们可以是 ． 【答案】和 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．据此即可求解． 【详解】解：和都是无理数，且， ∴它们可以是和， 故答案为：和（答案不唯一） 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）以下各数：①0，②，③﹣2，④，⑤，⑥，⑦0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中是无理数的有 ．（只需填写序号） 【答案】②④⑤⑦ 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数， 根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：无理数的有，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）， 有理数有. 故答案为：． 题型二、无理数的大小估算 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）估计的值更接近（    ） A．3 B．4 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是明确，确定更接近的值即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴的值更接近3， 故选：A． 5．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）且是整数，则符合条件的的个数为 ．   【答案】5 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算．估算出，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵且是整数， ∴符合条件的的值有10，11，12，13，14，共5个． 故答案为：5 6．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，．按这个规定，求． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先求出的范围，求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求的范围． 题型三、无理数整数部分的有关计算 7．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）设为的整数部分，则的值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，判定出无理数在某两个连续整数之间是解题的关键．估算出，即可得出的整数部分． 【详解】解：， ， 的整数部分是3， 即， 故选：A． 8．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）的整数部分是 ． 【答案】5 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力是解答本题的关键，经常用逼近法确定无理数的整数部分．先判断出在哪两个连续整数之间，即可求出的整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是5． 故答案为：5． 9．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，每个小正方形的边长均为1． (1)图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长是 ． (2)估计边长的值在两个相邻整数_____与_____之间． (3)我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设阴影部分正方形边长的整数部分为，小数部分为，求的相反数． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查的是算术平方根的定义以及无理数的估算． （1）阴影部分的面积总面积个直角三角形的面积，再根据正方形的面积公式以及算术平方根的定义可得阴影部分正方形的边长； （2）根据无理数的估算方法解答即可； （3）结合（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积是：； 阴影部分正方形的边长是， 故答案为：；； （2）解：， ； 故答案为：；； （3）解：； 的整数部分为，小数部分为， ， 的相反数． 题型四、实数概念理解 10．实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】实数概念理解 【分析】本题考查了实数与相反数，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：B． 11．在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有 个． 【答案】1 【知识点】无理数、实数概念理解 【分析】根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：在所列实数中，无理数的是π， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查无理数，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数． 题型五、实数的分类 12．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 ． 【答案】5 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．先化简每个数，然后根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，， ，， 有理数有：0，，，，，共5个， 故答案为：5． 13．（2025七年级上·浙江·专题练习）把下列各数填到相应的集合中． 1，，0.5，，0，，，，，0.3，，，． 正数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}． 【答案】1，，0.5，，，0.3，，； ，，，； 1，，0，，； ，0.5，，，0.3， 【知识点】实数的分类 【分析】此题考查了实数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 利用正数，负数，整数以及分数定义判断即可． 【详解】解：正数集合：{1，，0.5，，，0.3，，}； 负数集合：{，，，}； 整数集合：{1，，0，，}； 分数集合：{，0.5，，，0.3，}． 故答案为：1，，0.5，，，0.3，，； ，，，； 1，，0，，； ，0.5，，，0.3，． 题型六、实数的性质 14．（23-24七年级上·浙江·周测）下列说法正确的是（    ） ①无理数是无限不循环小数；②所有无理数都能用数轴上的点表示； ③绝对值等于其本身的数是0；④两个无理数的和可能为有理数． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【知识点】无理数、实数的性质 【分析】此题考查了无理数的定义与性质、绝对值等知识，熟记无理数的相关性质是解题的关键． 【详解】解：①无理数是无限不循环小数，说法正确， ②所有无理数都能用数轴上的点表示，说法正确， ③绝对值等于其本身的数是正数和0，说法错误， ④两个无理数的和可能为有理数，说法正确． 说法正确的是①③④， 故选：C 15．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要考查了实数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解；的相反数是，的绝对值是， 故答案为：；． 16．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的绝对值是，相反数是 (2)的绝对值是，相反数是 (3)的绝对值是，相反数是 (4)的绝对值是，相反数是 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数是互为相反数；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）（2）（3）（4）根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】（1）解：的绝对值是，相反数是 （2）解：的绝对值是，相反数是 （3）解：的绝对值是，相反数是 （4）解：的绝对值是，相反数是 题型七、实数与数轴 17．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，，，这6个；④是分数，它是有理数．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】无理数、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，有理数与无理数，根据无理数的定义，实数与数轴上的点一一对应，逐一进行判断即可． 【详解】解：任何无理数都是无限小数；故①说法正确； 实数与数轴上的点一一对应；故②说法错误； 在1和3之间的无理数有无数个，故③的说法错误； 是无理数，故④的说法错误； 故选A． 18．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是 点． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法得到，则，据此结合数轴可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是D点， 故答案为：D． 题型八、实数的大小比较 19．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数的比较，根据负数小于0，0小于正数，负数比较绝对值大的反而小直接判断即可得到答案． 【详解】解：， ， 比大的数是， 故选：D． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据正数大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小，实数比较大小的方法逐项求解即可． 【详解】∵正数大于负数 ∴； ∵ ∴； ∵， ∵ ∴． 故答案为：，，． 21．（24-25七年级上·浙江温州·期中）现有四个实数：①，②，③，④ (1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）． 有理数：_________；无理数：__________． (2)请在数轴上近似表示出以上四个实数． (3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________ 【答案】(1)①④；②③ (2)见解析 (3)，，， 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴、实数的大小比较、实数的分类 【分析】本题考查了数轴，实数比较大小，实数的分类，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据有理数和无理数的概念求解即可； （2）根据数轴的特点把数据表示在数轴上即可； （3）根据（2）中的数轴上的数据，按从左往右的顺序用“”连接即可． 【详解】（1）解：， 有理数是①④；无理数是②③； 故答案为：①④；②③； （2）各数在数轴上表示如下： （3）各数用“”连接为：， 故答案为：，，，． 强化训练 一、单选题 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟知正数大于0，负数都小于0是解题的关键． 根据正数大于0，负数都小于0即可求解． 【详解】， 最小的数是． 故选：A． 2．的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，实数的运算，根据绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：， 的相反数是， 故选：B． 3．估计的值在（    ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】先估算，再由几个负数比较大小，绝对值越小的数越大． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查无理数的估算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 4．下列各数中，介于6和7之间的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，估算与相邻的两个整数时，可以先找到与a相邻的平方数，再同时开方，逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，即，不合题意； B．由得，即，不合题意； C．由得，即，不合题意； D．由得，即，符合题意； 故选D． 5．下列四个实数，是无理数的为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐一进行判断即可． 本题主要考查了无理数的定义，实数分为有理数和无理数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数为无理数，本题中带根号且开不尽的是无理数． 【详解】A. 0是有理数，故A选项不符合题意； B. 是无理数，故B选项符合题意； C. 是有理数，故C选项不符合题意； D. 是有理数，故D选项不符合题意． 故选：B． 6．在，，，这四个数中，最小的是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数大小比较，无理数的估算．先估算得到，即，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数是， 故选：D． 7．下列说法正确的是（    ） A．实数分为正实数和负实数 B．是分数 C．数轴上的点表示的数都是有理数 D．是5的平方根 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类，平方根的概念，实数与数轴，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 【详解】解：A、实数分为正实数．负实数和零，原说法错误，本选项不符合题意； B、是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； C、数轴上的点表示的数都实数，原说法错误，本选项不符合题意； D、，则是5的平方根，原说法正确，本选项符合题意； 故选：D 8．如图所示，数轴上点所表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，无理数大小估算，先对四个选项中的无理数进行估算，再由点所在的位置确定点表示数的取值范围，即可求出点表示的可能数值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设表示的数为， 由数轴可知， 、由，不符合题意； 、不符合题意； 、由，符合题意； 、由，不符合题意； 故选：． 9．在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是， 故选：A． 二、填空题 10． ． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值的化简，解题关键是先判断绝对值内式子的正负性，再依据绝对值性质（负数的绝对值是它的相反数 ）进行化简．通过比较与1的大小，确定的符号，进而完成化简． 【详解】解：∵，则，即， ． 根据绝对值的性质：当时，， 可得． 故答案为：． 11．若表示数a的整数部分，例如，则 ． 【答案】4 【分析】由，进而可得[]表示出一个实数的整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴[]=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小．解题的关键在于正确得出无理数最接近的有理数． 12．在9.3，，0，，，141421356，，（每相邻两个3之间依次多一个，中属于整数集合的有 ，属于负分数集合的有 ，属于无理数集合的有 ． 【答案】 、0、141421356 、 、 【分析】根据实数的分类进行填空． 【详解】解：根据整数的定义，整数有、0、141421356； 根据负分数的定义，负分数有、； 根据无理数的定义，无理数有、． 故答案为：、0、141421356；、；、． 【点睛】本题主要考查实数分类，熟练掌握实数的分类是解决本题的关键，重点应理解“所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式”和“无限不循环的小数是无理数”． 13．写出一个比3大且比4小的无理数： ． 【答案】答案不是唯一， 【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根的形式表示出来即可． 【详解】设无理数的被开方数为x， ∵无理数比3大且比4小， ∴9＜x＜16， ∴其中的一个无理数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键． 14．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 15．已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．由，可得，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，． ∴． 故答案为：． 16．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，先求出的长，再求出点E的坐标即可． 【详解】正方形的面积为3， ． ． 的坐标为，E在点A的右侧， 的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 17．计算（结果保留小数点后两位）： （1）； （2）． 【答案】（1）5.38；（2）2.45 【分析】（1）利用计算器进行近似计算，保留小数点后两位； （2）分别利用计算器进行近似计算，保留小数点后两位． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了实的混合运算．也考查了近似数的精确度． 18．已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义、无理数估算，属于基础题型，熟练掌握这三者是关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可求出、，估算出的范围即可求出； （2）将、、的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答． 【详解】（1）解：∵的平方根是和，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 19．已知，，，，…… (1)填空：________； (2)已知，用含的代数式表示，则________； (3)根据规律写出与的大小情况． 【答案】(1)0.01 (2)10000x (3)当0<a<1时，＞a；当a=1或a=0时，=a；当a>1时，<a 【分析】（1）根据被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可求解； （2）根据被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可得出x、y的关系，进而求解． （3）分三种情况：①当0<a<1时，②当a=1或a=0时，③当a>1时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴0.01， 故答案为：0.01； （2）解：∵，， 又∵， ∴y=10000x， 故答案为：10000x； （3）解：分三种情况：①当0<a<1时， ∵， ∴＞a； ②当a=1或a=0时， ∵ ∴=a； ③当a>1时， ∵，， ∴<a． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小、规律型-数字的变化，算术平方根，解决本题的关键是观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，并运用规律． 20．阅读下列文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，计算a＋b的值； (3)已知（x是整数，且0＜y＜1），（m是实数），求的平方根． 【答案】(1)3， (2) (3)±2 【详解】（1）3   （2）∵，∴． ∴的整数部分为4，小数部分为． ∵，∴． ∴的整数部分为2，小数部分． ∴． （3）∵，其中x是整数，且0＜y＜1，， ∴x＝14，． ∵， ∴m－1≥0，1－m≥0， ∴m只能为1．∴． ∴． ∴的平方根为±2． 21．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是．请解答以下问题： (1)的小数部分是______，的小数部分是______； (2)若，其中x为整数，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据夹逼法得到及邻近的整数，即可得到答案； （2）根据夹逼法得到邻近的整数，即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，即， ∴的小数部分是， ∵，即， ∴， 的小数部分是：， 故答案为：，； （2）解：∵，即， ∴， ∴的整数部分是9，小数部分是， ∴，， ∴； 【点睛】本题考查无理数整数部分和小数部分有关计算，解题的关键是根据夹逼法得到无理数相邻两个整数． 22．【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： (1)的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小． （1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）根据平方根即可解答． 【详解】（1）解：， 即， ， ∴的整数部分是，的小数部分是， ； （2）解：由（1）可知，， ， 的平方根是． 23．小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为86的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． (1)填空：的整数部分的值为________； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)12 (2)12.21 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； （2）解：面积为149的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． 24．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲从有理数到实数（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.估算算术平方根 2、无理数 3、实数的概念及分类 4.实数的有关概念与性质 5.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 题型巩固 一、无理数 二、无理数的大小估算 三、无理数整数部分的有关计算 四、实数概念理解 五、实数的分类 六、实数的性质 七、实数与数轴 八、实数的大小比较 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.估算算术平方根 求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，通常有两种方法：一是用计算器；二是夹逼法。对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小。 例如，与50最接近的两个完全平方数是49和64，因为49<50<64，所以<<，即7<<8 。 知识点2、无理数 1.概念：无限不循环小数叫作无理数。 2.无理数的三种重要形式： （1）化简后含有开方开不尽的数的方根，如√2 ； （2）圆周率π 及一些化简后含有π 的数，如π/2 ； （3）具有特殊结构的数，如1.010 010 001⋯ （两个“1”之间依次多一个“0”）。 知识点3、实数的概念及分类 1.实数的概念：有理数和无理数统称实数。 2.实数的分类：数的范围从有理数扩充到实数 （1）按定义分类： （2） 按性质分类： 知识点4.实数的有关概念与性质 把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。 名称 表示 性质 相反数 实数a 的相反数是−a 。 a,b互为相反数 ⇔ a+b=0 。 绝对值 实数a 的绝对值表示为|a| 。 （1） （2）|a|≥0 ； （3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|−a| 。 知识点5.实数与数轴上的点的对应关系及实数的大小比较 1.实数与数轴上的点的对应关系 实数和数轴上的点一一对应。（ ） 2.实数的大小比较 名称 内容 大小比较的几何方法 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 大小比较的代数方法 正数大于0，正数大于一切负数；0大于一切负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。 题型巩固 题型一、无理数 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）在实数，3.14，，，，（相邻两个6之间依次增加一个2）中，无理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为有理数，它们可以是 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）以下各数：①0，②，③﹣2，④，⑤，⑥，⑦0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中是无理数的有 ．（只需填写序号） 题型二、无理数的大小估算 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）估计的值更接近（    ） A．3 B．4 C．9 D．10 5．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）且是整数，则符合条件的的个数为 ．   6．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，．按这个规定，求． 题型三、无理数整数部分的有关计算 7．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）设为的整数部分，则的值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 8．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）的整数部分是 ． 9．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，每个小正方形的边长均为1． (1)图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长是 ． (2)估计边长的值在两个相邻整数_____与_____之间． (3)我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设阴影部分正方形边长的整数部分为，小数部分为，求的相反数． 题型四、实数概念理解 10．实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 11．在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有 个． 题型五、实数的分类 12．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 ． 13．（2025七年级上·浙江·专题练习）把下列各数填到相应的集合中． 1，，0.5，，0，，，，，0.3，，，． 正数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}． 题型六、实数的性质 14．（23-24七年级上·浙江·周测）下列说法正确的是（    ） ①无理数是无限不循环小数；②所有无理数都能用数轴上的点表示； ③绝对值等于其本身的数是0；④两个无理数的和可能为有理数． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 15．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ． 16．求下列各数的绝对值和相反数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七、实数与数轴 17．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，，，这6个；④是分数，它是有理数．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是 点． 题型八、实数的大小比较 19．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中比大的数是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 21．（24-25七年级上·浙江温州·期中）现有四个实数：①，②，③，④ (1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）． 有理数：_________；无理数：__________． (2)请在数轴上近似表示出以上四个实数． (3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________ 强化训练 一、单选题 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．1 D． 2．的相反数是（　　） A． B． C． D． 3．估计的值在（    ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 4．下列各数中，介于6和7之间的数是（   ） A． B． C． D． 5．下列四个实数，是无理数的为（    ） A．0 B． C． D． 6．在，，，这四个数中，最小的是（   ） A． B．2 C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．实数分为正实数和负实数 B．是分数 C．数轴上的点表示的数都是有理数 D．是5的平方根 8．如图所示，数轴上点所表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 9．在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 二、填空题 10． ． 11．若表示数a的整数部分，例如，则 ． 12．在9.3，，0，，，141421356，，（每相邻两个3之间依次多一个，中属于整数集合的有 ，属于负分数集合的有 ，属于无理数集合的有 ． 13．写出一个比3大且比4小的无理数： ． 14．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 15．已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 16．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 三、解答题 17．计算（结果保留小数点后两位）： （1）； （2）． 18．已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 19．已知，，，，…… (1)填空：________； (2)已知，用含的代数式表示，则________； (3)根据规律写出与的大小情况． 20．阅读下列文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，计算a＋b的值； (3)已知（x是整数，且0＜y＜1），（m是实数），求的平方根． 21．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是．请解答以下问题： (1)的小数部分是______，的小数部分是______； (2)若，其中x为整数，，求的值． 22．【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： (1)的值； (2)的平方根． 23．小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为86的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． (1)填空：的整数部分的值为________； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 24．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $