第10讲 等式与方程（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年苏科版七年级数学上册同步讲义与测试

第10讲 等式与方程（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.等式 2.等式的性质 3.方程 4.方程的解与解方程 题型巩固 1、 判断各式是否是方程 二、等式的性质1 、2 三、列方程 四、判断是否是方程的解 五、已知方程的解，求参数 六、利用等式解方程 强化训练 单选题（8） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.等式 概念 像2x＝3y，S＝xy，12a＋3b＝58这样，表示相等关系的式子叫作等式. 知识点2.等式的性质 1. 等式的基本性质 (1)等式的基本性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得结果仍是等式. 用字母可以表示为：如果a＝b，那么a±m＝b±m. (2)等式的基本性质2：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式. 用字母可以表示为：如果a＝b，那么am＝bm；如果a＝b，且m ≠ 0，那么＝. 2. 等式的其他性质 (1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. 知识点3.方程 1. 未知数 在2x＋1＝x＋5 ，a＋b＝12，2a＋b＝20，0.618x2＝1.6这些等式中，都是用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫作未知数. 2. 方程 像上面的等式这样，含有未知数的等式叫作方程. 方程的两要素 一是等式，即用等号连接的式子； 二是含有未知数，但是未知数的个数不限. 3. 列方程 (1)列方程的一般步骤 ①找——理解题意，找出题目中的等量关系； ②设——根据题意设出未知数，一般求什么设什么； ③列——用含有未知数的式子把等量关系表示出来. (2)确定实际问题中相等关系的方法 ①根据周长、面积、体积公式列方程； ②根据题目中的不变量确定等量关系； ③根据关键词确定等量关系. 3. 如和差关系通常用“一共有……”“比……多(少)……”表示，倍数关系通常用“是…… 的几倍”表示. 知识点4.方程的解与解方程 1. 方程的解 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解. 2. 解方程 求方程的解的过程叫作解方程. 3. 方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个(或几个)具体的数 是一个过程 联系 方程的解可通过解方程求得 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 3．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型二、等式的性质 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．利用等式的基本性质解一元一次方程． 方程两边同时减去 ，得 ． 方程两边同时 ，得 ． 6．利用等式的性质解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型三、列方程 7．用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 8．根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程： 题型四、判断是否是方程的解 9．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列数中，是方程的解的是（   ） A． B．2 C． D．1 10．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 11．检验下列各数是不是方程的解． (1) ； (2) ； (3) ． 题型五、已知方程的解，求参数 12．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）方程的解是，则（    ） A．2 B． C． D．6 13．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）是方程的解，则m的值是 14．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． 题型六、利用等式解方程 15．用等式性质解下列方程： (1) (2)． 16．利用等式性质解下列方程： (1) (2) (3) 17．（25-26七年级上·江苏泰州）解方程． (1)； (2)； (3)． 强化训练 一、单选题 1．下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 3．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 4．把方程变形为的依据是（    ） A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质 5．已知等式，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，下列各式：①；②；③；④．其中一定正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如果，那么 ． 10．已知为整数，且方程的解是正整数，则 ． 11．如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ． 12．方程变形为，这种变形根据是 ． 13．有两种变形：①若，则；②若，则．其中正确的是 （填序号）． 14．下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 三、解答题 15．若是关于的方程的解，求代数式的值． 16．，各是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）． 17．用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 18．利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 19．解方程． (1)； (2)． 20．老师在黑板上写了一个等式：．王聪说：“．”刘敏说：“不一定，当时，这个等式也可能成立．”你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 21．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 22．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 等式与方程（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.等式 2.等式的性质 3.方程 4.方程的解与解方程 题型巩固 1、 判断各式是否是方程 二、等式的性质1 、2 三、列方程 四、判断是否是方程的解 五、已知方程的解，求参数 六、利用等式解方程 强化训练 单选题（8） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.等式 概念 像2x＝3y，S＝xy，12a＋3b＝58这样，表示相等关系的式子叫作等式. 知识点2.等式的性质 1. 等式的基本性质 (1)等式的基本性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得结果仍是等式. 用字母可以表示为：如果a＝b，那么a±m＝b±m. (2)等式的基本性质2：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式. 用字母可以表示为：如果a＝b，那么am＝bm；如果a＝b，且m ≠ 0，那么＝. 2. 等式的其他性质 (1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. 知识点3.方程 1. 未知数 在2x＋1＝x＋5 ，a＋b＝12，2a＋b＝20，0.618x2＝1.6这些等式中，都是用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫作未知数. 2. 方程 像上面的等式这样，含有未知数的等式叫作方程. 方程的两要素 一是等式，即用等号连接的式子； 二是含有未知数，但是未知数的个数不限. 3. 列方程 (1)列方程的一般步骤 ①找——理解题意，找出题目中的等量关系； ②设——根据题意设出未知数，一般求什么设什么； ③列——用含有未知数的式子把等量关系表示出来. (2)确定实际问题中相等关系的方法 ①根据周长、面积、体积公式列方程； ②根据题目中的不变量确定等量关系； ③根据关键词确定等量关系. 3. 如和差关系通常用“一共有……”“比……多(少)……”表示，倍数关系通常用“是…… 的几倍”表示. 知识点4.方程的解与解方程 1. 方程的解 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解. 2. 解方程 求方程的解的过程叫作解方程. 3. 方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个(或几个)具体的数 是一个过程 联系 方程的解可通过解方程求得 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程，熟练掌握方程的概念是解题的关键．方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答． 【详解】解：A、 是等式，但不含未知数，所以不是方程； B．不是等式，所以不是方程； C．是代数式，所以不是方程； D．含有未知数，是等式，所以是方程； 故选：D． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义：含有未知数的等式叫方程．根据方程的定义逐个判定即可． 【详解】解：①符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③不是等式，故③不是方程； ④符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 3．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 题型二、等式的性质 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】此题主要考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质，注意等式的性质2中是除以同一个不为0的数或式子，等式不变．等式的性质：①等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．直接利用等式的基本性质进而判断得出即可． 【详解】解：A．若，则，变形正确，故该选项不符合题意， B．若，则，变形正确，故该选项不符合题意， C．若，则，变形正确，故该选项不符合题意， D．若，则时，，变形不正确，故该选项符合题意． 故选：D． 5．利用等式的基本性质解一元一次方程． 方程两边同时减去 ，得 ． 方程两边同时 ，得 ． 【答案】 8 5 除以 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，解题关键是明确等式的性质的内容，会用等式的性质解方程．根据等式的性质即可解答． 【详解】解：解方程：， 第一步：根据等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式，方程两边都减去8，得到． 第二步：根据等式的基本性质：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式，方程两边都除以，得到． 故答案为：8；5；除以；． 6．利用等式的性质解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，每个方程均需利用等式的性质，通过在等式两边同时进行相同的加减乘除运算，逐步将未知数单独放在等式一边，从而得知未知数的值. 【详解】（1）解：两边同时减，得 化简，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减，得， 化简，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时加，得， 化简，得， 两边同时除以，得． （4）解：两边同时减，得， 化简，得， 两边同时减，得， 化简，得， 两边同时乘，得． 题型三、列方程 7．用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列方程 【详解】解：表示“比它的多3”，可列方程为． 故选：B． 8．根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程： 【答案】，， 【知识点】列方程 【详解】解：如图（1），由题意可得，， 如图（2），由题意可得，， 如图（3），由题意可得，， 题型四、判断是否是方程的解 9．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列数中，是方程的解的是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题主要考查了方程的解，使方程两边相等的未知数的值；熟知方程解的含义是解题的关键．根据方程的解定义逐项判断即可． 【详解】解：当时，左边右边， 当时，左边右边， 当时，左边右边， 当时，左边右边， ∴是方程的解； 故选：B． 10．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 11．检验下列各数是不是方程的解． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了方程的解． （1）将代入，看左边是否等于右边，即可判断； （2）将代入，看左边是否等于右边，即可判断； （3）将代入，看左边是否等于右边，即可判断． 【详解】（1）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是方程的解； （2）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以是方程的解； （3）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是方程的解． 题型五、已知方程的解，求参数 12．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）方程的解是，则（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】D 【知识点】已知方程的解，求参数 【详解】解：由题可知，方程的解是， 将代入方程中，即， 解得：， 故选：D． 13．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）是方程的解，则m的值是 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得． 即． 合并同类项得． 移项得． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式加减中的无关型问题、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了多项式的定义，整式加减的应用，解一元一次方程，理解题干中的多项式处理方法是解题关键． （1）根据已知处理方法求解即可； （2）根据已知处理方法得到多项式B，然后根据的结果中不含一次项，得出关于m的方程，解方程即可； （3）根据已知处理方法得到多项式B，进而得到，根据方程有无数个解可得出，，求解即可． 【详解】解：（1）若，经过小魔方后的多项式， 故答案为：； （2）由题意得：，， ∵结果中不含一次项， ∴， 解得； （3），， 又 ∴， ∴， ∵方程有无数个解， ∴方程有无数个解， ∴，， ∴，． 题型六、利用等式解方程 15．用等式性质解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)x=5 (2) 【知识点】等式的性质 【分析】（1）利用等式的基本性质分别化简得出即可； （2）利用等式的基本性质分别化简得出即可． 【详解】（1）解： 方程两边都加上7，得，即， 方程两边同时除以4得：； （2） 方程两边都减去2，得，即， 方程两边都减去x，得，即， 方程两边同时除以2得：． 【点睛】本题考查了等式的基本性质的应用，解题的关键是掌握基本性质：等式两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，结果仍是等式；等式两边加上（或减去）同一个数（除数不等于0），结果仍是等式． 16．利用等式性质解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）首先在方程两边同加上1，再方程两边同除以，即可求得答案； （2）首先在方程两边同加上5，再方程两边同乘以，即可求得答案； （3）首先方程两边同减去2，再方程两边乘，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，即， ， 解得； （2）解：， ，即， ， 解得； （3）解：， ，， ， 解得． 【点睛】本题考查了等式的基本性质．注意等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 17．（25-26七年级上·江苏泰州）解方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ； （3）， ， ， ． 强化训练 一、单选题 1．下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握和运用一元一次方程的定义是解决本题的关键．根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，即可判定． 【详解】解：A．，中不含未知数，不是一元一次方程，故选项不符合题意； B．，不是等式，不是一元一次方程，故选项不符合题意； C．，不是等式，不是一元一次方程，故选项不符合题意； D．，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故选项符合题意； 故选：D． 2．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 3．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，，故此选项不符合题意； B、当时，，故此选项符合题意； C、当时，，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．把方程变形为的依据是（    ） A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质，等式基本性质1：等式两边同时加上/减去同一个数，等式不变；等式基本性质2：等式两边同时乘以/除以（不为0的数）同一个数，等式不变，结合题意，将方程变形为需要等式两边同时乘以3，从而得到答案，熟记等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：将方程的两边同时乘以3，可变形为， 的依据是把方程变形为的依据是等式的基本性质2， 故选：C． 5．已知等式，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质判断即可． 【详解】解：A、因为2a-3b=9，所以2a=9+3b，故A不符合题意； B、因为2a-3b=9，所以2a-4=9+3b-4，故B符合题意； C、因为2a-3b=9，所以，故C不符合题意； D、因为2a-3b=9，所以3b=2a-9，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 6．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮， 由题意得． 故选：． 7．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 8．已知，且，下列各式：①；②；③；④．其中一定正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④错误； 故选B． 二、填空题 9．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．把等式两边加上即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 10．已知为整数，且方程的解是正整数，则 ． 【答案】，，， 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】此题考查了一元一次方程的解，表示出方程的解是解本题的关键．表示出方程的解，由为整数，方程的解为正整数求出的值即可． 【详解】解：方程移项合并得：， 解得：， 由为整数，且方程的解为正整数，得到，，，， 解得：，，，． 故答案为：，，，． 11．如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ． 【答案】 【知识点】等式的性质1 【分析】本题考查等式的性质，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．设左盘中物体的质量等于，根据题意列方程并解得x的值即可． 【详解】解：设左盘中物体的质量等于， 由题意得， 解得：， 即左盘中物体的质量等于， 故答案为：． 12．方程变形为，这种变形根据是 ． 【答案】等式两边同时乘以一个相同的数等式仍然成立 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：方程变形为，这种变形根据是等式两边同时乘以一个相同的数等式仍然成立， 故答案为：等式两边同时乘以一个相同的数等式仍然成立． 13．有两种变形：①若，则；②若，则．其中正确的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查了等式的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握等式的基本性质. 注意除数不能为0． 【详解】解：①若，则无意义，若，等式左右两边同除以． ②若，等式左右两边同乘以． 故答案为：②． 14．下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 三、解答题 15．若是关于的方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 把代入原方程中求出，整体代入即可得到答案． 【详解】解：因为是关于的方程的解， 所以把代入，得， 所以． 16．，各是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）． 【答案】是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解 【分析】将代入方程（3），使方程左右两边相等，即可判断； 将代入方程（1），使方程左右两边相等，即可判断； 将代入方程（2），使方程左右两边相等，即可判断． 【详解】解：将x＝3代入，左边＝22，右边＝，故不是方程的解； 将x＝3代入，左边＝10，右边＝，故不是方程的解； 将x＝3代入，左边＝7，右边＝7，故是方程的解； 将x＝0代入，左边＝7，右边＝7，故是方程的解； 将x＝0代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 将x＝0代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 将代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 将代入，左边＝，右边＝，故是方程的解； 将代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解． 【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程中等号左右两边相等的未知数的值就是方程的解． 17．用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等式的性质，方程两边同时减4，即可解得方程； （2）利用等式的性质，方程两边同时加2，再同时除以4，即可解得方程． 【详解】（1）解：方程两边同时减4，可得，， 即； （2）解：方程两边同时加2，可得，， ∴， 方程两边同时除以4，可得，． 【点睛】本题考查了等式的性质，正确运用等式的性质是解题的关键． 18．利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，检验见解析 (2)，检验见解析 (3)，检验见解析 【分析】（1）根据等式的性质1，给等式的两边同时减8即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）根据等式的性质2，方程两边同乘以即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （3）先根据等式的性质1，给方程两边同时加4可得，至此，再给方程两边同时除以3即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边同减8，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （2）解：两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （3）解：两边同加4，得， 化简，得， 两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． 19．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)＝ (2)＝ 【分析】本题考查了解方程，熟练掌握等式的性质2是解题的关键． （1）方程两边同时除以5，求出方程的解； （2）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．老师在黑板上写了一个等式：．王聪说：“．”刘敏说：“不一定，当时，这个等式也可能成立．”你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 【答案】王聪的说法错误，刘敏的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的基本性质即可求解，利用讨论得出是解题的关键． 【详解】解：王聪的说法错误，刘敏的说法正确， 理由如下：当时，为任意数； 当时，． 21．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 22．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $