18.济南市中区考试真卷-【真题圈】2025-2026学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）

真题圈数学 期未真题卷 九年级12N 18.济南市中区考试真卷 蝴 (时间：120分钟满分：150分难度：★★★★) ☒ 咖0 第I卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.) 1.从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是( ) 正面 第1题图 B 2.已知m= n ，则mTn的值为 m+n A B号 D号 3.已知反比例函数y=的图象经过点A(-2,6),则下列各点中也在该函数图象上的是( 的 A.(1,-12) B.(2,6) C.(-3,-4) D.(4,3) 4.抛物线y=2(x+9)2-3的顶点坐标是( 金)教有 A.(9,3) B.(9,-3) C.(-9,3) D.(-9,-3) 5.在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过 多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有( A.10个 B.11个 C.12个 D.13个 6.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格 点上，则tan∠ACB的值为( A.1 C. 2 D 些加 H 0 食 品 C D ● 第6题图 第7题图 7.如图，C,D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC=15°，则∠BDC=( A.65° B.70 C.75° D.85° 8.如图，在平面直角坐标系中，点P(2,2)是一个光源.木杆AB两端的坐标分别为A(0,1),B(3,1), 则木杆AB在x轴上的投影长为() A.4 B.5 C.6 第8题图 D.8 9.一次函数y=am+b与反比例函数y=ab(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能 是() D 10.已知二次函数y=ax2-2ax+3(其中x是自变量)，当0≤x≤3时对应的函数值y均为正数，则a 的取值范围为( A.-1<a<0 B.a>3 C.a<-1或a>3 D.-1<a<0或0<a<3 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.） 1.若∠4为锐角，cosA=,则∠1 12.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:OD=1:3,△ABC的面积为2，则 △DEF的面积为 D =1 10 第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，点A是反比例函数y=k(k≠0，x>0)图象上一点，过点A作AB上x轴于点B,点P是y 轴上任意一点，连接PA,PB.若△ABP的面积等于3，则k的值为 14.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1,与x轴的一个交点坐标为(-5,0)，则不等式 ax2+bx+c>0的解集为 15.如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得AB,BC恰好都经过圆心O,折痕为AB,BC,则阴影 部分的面积为 cm2 D (0 第15题图 第16题图 16.如图，4B=5,BC=10,以AC为斜边在AC的右侧作△4CD,其中∠ADC=90,品-号，当 BD长度最大时，点D到BC的距离是 三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分6分)计算： +(π+1)0-2sin30°+√9 精品图书 金星教育 18.(本小题满分6分)如图，已知D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，∠AED=∠B,AD=3, AB=8,AE=4.求AC的长度. D 第18题图 7 19.（本小题满分6分)如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N,阻力臂长为 0.5m.设动力为y(N),动力臂长为x(m).(杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中 撬棍本身所受的重力忽略不计) (1)求杠杆平衡时y关于x的函数表达式 (2)当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ ?阻力 动力臂八阻力臂 第19题图 20.(本小题满分8分)随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多， 出行越来越便捷.为保障旅客快捷、安全地出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口.某 车站有四个出入闸口，分别记为A,B,C,D. (1)一名乘客通过该站闸口时，他选择A闸口通过的概率是 (2)当两名乘客先后通过该站闸口时，请用画树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的 概率. 001c01 第20题图 0 21.(本小题满分8分)如图，大楼AB的高度为37m,小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从 大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得 湘 旗杆顶端C的仰角为30°，斜坡ED与水平面的夹角∠EDG=37°.（参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37≈0.75，V5≈1.73) 蜕 (1)求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD, ☒貿 (2)求旗杆AC的高度.（结果精确到0.1m) 000 30° 口口口 37 B 第21题图 製 22.(本小题满分8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是AB上一点，以OB为半径的⊙O 与AB相交于点E,与AC相切于点D,连接BD (1)求证：BD平分∠ABC 青品图 数 (2)已知cos∠ABC=号，4B=6,求00的半径 D 0 第22题图 巡加 7 23.（本小题满分10分)边长为44cm的正方形硬纸板（如图①），在四个顶点处分别剪掉一个小正方 形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图②）.若剪掉的小正方形的边长为xc,长方体形的无盖 盒子的侧面积为Scm2. (1)①求S与x的函数关系式. ②直接写出x的取值范围 (2)求当x取何值时，S达到最大，并求出最大值 ① ③ 第23题图 24.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点.如图，已 知双曲线y=k(x>0)经过点A(2,2),在第一象限内存在一点B(m,n),满足mm>4 (1)求k的值 (2)如图①，过点B分别作平行于x轴，y轴的直线，交双曲线y=(x>0)于点C,D,记线段 BC,BD,双曲线所围成的区域为W(含边界)， ①当m=n=4时，区域W的整点个数为 ②直线y=x-5a+4(a>0)过一个定点，若点B为此定点，这条直线将W分成两部分，直线上方（不 包含直线)的区域记为W,直线下方（不包含直线）的区域记为W,当W,与W,的整点个数之差 不超过2时，请求出α的取值范围 y 6 6 5 5 4 -2 2 01.2.3.4.5.6立 01.23.4.36元 01234.5.6元 ① ② ③ 第24题图 25.(本小题满分12分)(1)【问题发现】如图①，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD, ∠40B=∠C0D=40°，连接AC,BD交于点从，填空：S- ;∠AMB= (2)【类比探究】如图②，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD= 30°，连接AC交BD的延长线于点M,请判断AC的值及∠4MB的度数，并说明理由. BD (3)【延伸拓展】在(2)的条件下，将△OCD绕点O旋转至点C与点M重合，若OD=1,OB= √7，请直接写出AC的值， M ① ② ③ 第25题图 精品图书 金星教育 7 26.(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两，点， 与y轴交于点C,对称轴为直线x=2,点A的坐标为(1,0) (1)求该抛物线的表达式 (2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC.当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标 (3)在(2)的条件下，在对称轴上是否存在一点Q,连接PQ,将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°， 使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 备用图① 备用图② 第26题图 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 2-答案与解析 (2)【解】AC=DE. 证明：如图①，延长CD至点G,使DG=CE,连接AG, ,四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形， ∴.AD∥BC,AD=CD,∠B=∠ADC, .∠ADG=∠DCE 又，AD=DC,DG=CE, ∴.△ADG≌△DCE(SAS), ∴AG=DE,∠G=∠DEC :AD∥BC,.∠ADE=∠DEC,∴.∠G=∠ADE. :∠ADE+∠FAD+∠AFD=180°，∠ADC+∠DAC+∠ACD= 180°，∠ADC=∠B=∠AFD, .∠ADE=∠ACD,.∠G=∠ACD, .AC=AG,.AC DE. K D A D B ① ② 第26题答图 (3)【解】如图②，过点A在平行四边形ABCD外以AD为一 边，作∠DAK=∠CDE,AK交CD的延长线于点K, 四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∠B=∠ADC, .∠ADK=∠DCE,∠ADE=∠DEC 又：∠DAK=∠CDE, ∴.△ADK∽△DCE :怨=器∠K=∠Dc AD=6,DE=5,DC=4, ÷AK=4D2E-65-号 DC 4 :∠ADE+∠FAD+∠AFD=180°，∠ADC+∠DAC+∠ACD =180°，∠ADC=∠B=∠AFD, ∴∠ADE=∠ACD,.∠K=∠ACD, 4C=K4C=岁 18.济南市中区考试真卷 1.A 2.B【解析】设m=2k(k0,n=3(20),则mn=2华x 2k =染=号放选B 3.A4.D 5.B【解析】设黑球个数为x,,摸到白球的频率稳定在25%附 5 近，5+4+x=0.25,解得x=11,故黑球的个数为1.故选 6.B【解析】如图，在Rt△ACD中，AD= 2,CD=6,tan 24CB=D=6 行故选B 第6题答图 7.C【解析】：AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°.，∠ABC =15°，∴.∠CAB=75°，∴.∠BDC=∠CAB=75°.故选C. 8.C【解析】延长PA,PB分别交x y 轴于点A',B,作PE⊥x轴于点E, B D 交AB于点D,如图，：P(2,2), A' E B'x A(0,1),B(3,1),.PD=1, PE=2,AB=3.:AB∥A'B, 第8题答图 ·△MB∽APNB,号=品，即=克B= 6.故选C. 9.D【解析】A.一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限， 则a>0,b>0,所以ab>0,则反比例函数y=驰的图象应该位 于第一、三象限，故本选项不可能；B.一次函数y=ax+b的图 象经过第一、二、四象限，则a<0,b>0,所以ab<0,则反比例函 数y=的的图象应该位于第二、四象限，故本选项不可能；C.一 次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a>0,b<0,所 以ab<0,则反比例函数y=驰的图象应该位于第二、四象限， 故本选项不可能；D.一次函数y=a+b的图象经过第一、二、 四象限，则a<0,b>0,所以ab<0,则反比例函数y=b的图象 应该位于第二、四象限，故本选项有可能.故选D 10.D【解析】当a<0时，抛物线开口向下.：当0≤x≤3时， 对应的函数值)均为正数，对称轴为直线x=-沿=1，当 x=0时，y=3>0,∴.当x=3时，9a-6a+3>0,解得a>-1, 故-1<a<0.当a>0时，抛物线开口向上.：当0≤x≤3时， 对应的函数值y均为正数，对称销为直线x=-兴=1， .当x=1时，a-2a+3>0,.a<3,故0<a<3.故选D. 11.30 12.18【解析】.△ABC与△DEF位似，点O为位似中心， ∴.△ABC∽△DEF,AB∥DE, 是-器-号：ac8,六-（提- 号，SAer=9SABc=9×2=18故答案为18， 13.6【解析】"：△AOB的面积=△ABP的面积=3，△AOB的 面积=号内，心专肉=3，k=士6又：反比例函数的图 象的一支位于第一象限，.心0，k=6.故答案为6 14.-5<x<3【解析】抛物线y=ar2+bx+c的对称轴是直线x= -1,与x轴的一个交点坐标为(-5,0)，根据抛物线的对称性知， 抛物线y=ax+bx+c与x轴的两个交点关于直线x=-1对 称，即抛物线y=a2+bx+c与x轴的另一个交点与点(-5,0) 关于直线x=-1对称，∴.另一个交点的坐标为(3,0).：不 等式ar2+bx+c>0,即y=ar2+bx+c>0,.抛物线y=ar2+bx+c 在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c>0的解集是-5<x<3.故答案 为-5<x<3. 15.号元【解析】作OD1AB于点D,连接A0,B0,C0,如图 所示.：0D=方4A0,∠0AD=30°，∠A0D=60, ∴.∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠B0C=120°，.∠AOC =120,·阴影部分的面积=S形40c=号×S黄=号×元×2 =号π(cm2).故答案为号元 A D B 第15题答图 第16题答图① 16.33【解析】以AB为斜边构造直角三角形ABE,使AE=4, 5 BE=3,∠AEB=90°，连接DE,如图① :AE:BB=AD:CD=4:,%=器又：∠4BB= ∠ADC=90°，.△AEB∽△ADC,∴.∠BAE=∠DAC, ∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE,即∠BAC=∠EAD.又 :是=%=子△ABC△ABD,器=2=， ∴DE=8.在△BDE中，DE+BE≥BD,.当BD最大时，B, D,E共线，即AE⊥BD. △ABE∽△ACD,∴∠ABD=∠ACD,∴A,B,C,D四点 共圆， ∴.∠ABC=∠ADC=90° 此时，过点D作DF⊥BC于点F,如 A 图②， ∴AB∥DF,∴∠ABE=∠BDF, △ABE△BDr,品-器. E DF=号故答案为号 FC 5 第16题答图② 1.解2)++°-2sm30+5=241-2×7+3 =2+1-1+3=5. 18.【解】∠AED=∠B,∠A=∠A, △ADE∽△ACB,.4P=4E AC AB :D=3,B=8,AE=4,元=誉4C=6 19.【解1(1)由题意可得y=1200×0.5,则y=600,即y关于x 的函数表达式为y=600 （2)y=60当x=15时y=9=40, 故当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要400N的力 20.【解1(1) (2)画树状图如图 开始 ABCDABCDABCDABCD 第20题答图 由树状图可知，有16种等可能的结果，其中两名乘客选择相同 真题圈数学九年级12N 闸口通过的结果有4种， “两名乘客选择相同同口通过的概率=。一子 21.【解】(1)在Rt△DEG中，∠EDG=37°，DE=20m, .∴EG=DE.sin37°≈20×0.60=12(m),DG=DE.cos37°≈ 20×0.80=16(m), .斜坡ED的铅直高度EG约为12m,水平宽度GD约为16m (2)过点E作EH⊥BC,垂足为H,如图， E<130 37 G b B 第21题答图 由题意得DB=32m, .EH=GB=GD+DB=16+32=48(m) 在Rt△CEH中，∠CEH=30°， CH=EH.tan30°=48x3=165(m。 .AC=CH+BH-AB=16V3+12-37≈2.7(m), .旗杆AC的高度约为2.7m 22.(1)【证明】如图，连接OD, C AC切⊙O于点D, .OD⊥AC ,∠C=90°，.OD∥BC, 0 .∠ODB=∠CBD .OB OD. .∠ODB=∠OBD, 第22题答图 ∴.∠OBD=∠CBD,即BD平分∠ABC. (2)【解]在Rt△ABC中，∠C=-90°，cos∠ABC=BS ΓAB' :cos∠aBC=3,AB=6,BC=号 :OD∥BC,.△AOD∽△ABC, 六器-铝即追=6名解得=子 81 5 23.【解】(1)①由题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为(44- 2x)cm,∴.盒子的侧面积S=4x(44-2x). ②0<x<22. 提示：由题意，得 44-2x>0,:.0<x<22 x>0, (2)由题意得，S=4x(44-2x), 即S=-8x2+176x,即S=-8(x-11)2+968, 当x=11时，S最大=968，即当剪掉的正方形的边长为 11cm时，长方体形盒子的侧面积最大，最大值为968cm2. 24.【解】1)：双曲线y=经过点A(2,2), .k=2×2=4,即k的值为4 (2)①11 分析：当m=n=4时，由题图①可知，BC上的整点有4个， BD上的整点有4个， 双曲线上CD段的整点有3个，区域W内部的整点有3个。 答案与解析 又点B,C,D都被算了2次， ∴区域W的整点个数为4+4+3+3-3=11. ②由题知，y=ax-5a+4=(x-5)a+4, 则不论a为何值，当x=5时，y=4, 即直线过定点(5,4)，.B(5,4) 如图所示，当点B的坐标为(5,4)时，区域W内的整点共有15个. 又被分成的区域W,和W,的整点个 数之差不超过2， 6 则当直线经过点(4,3)时，W的整点 个数是7，W,的整点个数是5，满足要 求，此时4a-5a+4=3,得a=1. 当直线过点(3,3)时，w的整点个数—01.23.4.5.6元 是5，W,的整点个数是8，不满足要 第24题答图 求.故当点(3,3)在直线上方时即可.此时3a-5a+4=3,得 0 故a的取值范围是)<a≤1. 25.【解】(1)140° 分析：，·∠AOB=∠COD=40°， .∠COA=∠DOB. OC=OD,OA=OB, ∴.△COA≌△DOB(SAS), 4C=BD品=1 .△COA≌△DOB,∴.∠CAO=∠DBO .·∠AOB=40°， .∴.∠OAB+∠ABO=140° 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD)= 180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°. (2)S=5,∠AMB=90,理由如下： 在Rt△COD中 ∠DC0=30°，∠DOC=90°， 0是-am30= 3 同年相8器=m30-5:82-器 :∠AOB=∠COD=90°， .∠AOC=∠BOD,∴.△AOC∽△BOD, ∴S-8品=5，∠C40=∠DB0 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM0=180°-（∠OAB+ ∠ABM+∠DBO)=90°. (3)3√3或2√5 提示：①当点C与点M重合时，如图①， 同理得△AOC∽△BOD, ∠B=0,品=5， C(M 设BD=x,则AC=V3x, 第25题答图① 在Rt△COD中，∠OCD=30, OD=1,∴.CD=2,BC=x-2. 在Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=√7，∴.AB=2OB=2√7. 在Rt△AMB中， 由勾股定理，得AC+BC=AB,(V5x)2+(x-2)2=(2√7)2， x2-x-6=0,(x-3)(x+2)=0,x1=3,x,=-2(舍去)，∴.ACD 35. ②当点C与点M重合时，如图②， M(C) 同理得∠A妮=90，品S=5 设BD=x,则AC=V5x, 在Rt△AMB中， 由勾股定理，得AC2+BC2=AB2, 第25题答图② (V5x)2+(x+2)2=(2√万)2， 解得x1=-3(舍去)，x2=2,AC=2V3 综上所述，AC的长为3√5或2√5 26.【解】(1)：对称轴为直线x=2,点A的坐标为(1,0)，.B(3, 0),.y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3. (2)作AD⊥BC于点D,并延长交CP于点E,如图①， 在y=x2-4x+3中，令x=0得y=3,∴.C(0,3). B(3,0),.OB=OC,.∠OBC=45°，.△ABD是等腰 直角三角形. A(1,0),B(3,0）,.D(2,1) ∠PCB=∠ACB,AD=DE,.E(3,2), ·直线CE的关系式为y=-方x+3, 由-写43=43，得x=0(舍去=号P号) (3)存在 设点P旋转后的对应点为P, 当点P在点Q上方时，如图②，作PK⊥对称轴于点K,P'T⊥ 对称轴于点T, :P号9)，对称轴为直线x=2PK=身 设KQ=m,:将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°得线段PQ, .∠PQP=90°，PQ=PQ, ∴.∠PQK=90°-∠TQP=∠QPT, ∠PKQ=90°=∠QTP', .△PKQ≌△QTP'(AAS), :.PT=KQ=m.QT=PK=3.:.Pm+2g-m ”P恰好落在抛物线上，(m+2)2-4(m+2)+3=)-m,解得 m=号%=-多舍去Q29) 当点Q在点P上方时，如图③，作PW⊥对称轴于点W, 由图可得，P,P关于直线x=2对称， .△PQP是等腰直角三角形， ∴.△PQW,△PQW是等腰直角三角形， .owp) 综上所述，Q28戌Q2) ① ② ③ 】 第26题答图