精品解析：山东省烟台市招远市2024-2025学年下学期期末考试九年级数学试题

2024—2025学年度第二学期第二学段测试 初三数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 已知，且，则下列变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 所有菱形都相似 B. 所有矩形都相似 C. 所有正方形都相似 D. 所有平行四边形都相似 4. 小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微抖动，致使准星A偏离到，若米，米，米，满足．则小明射击到的点偏离目标点B的长度为（ ） A. 1.49米 B. 0.015米 C. 0.149米 D. 0.15米 5. 已知的整数部分是方程的一个根，则该方程的另一根是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，过、两点作直线交于点，交于点、，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标为，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 两个直角三角形的三边长分别为和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ） A. B. C 或 D. 或 9. 如图1，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则线段AB的长为（ ） A. B. C. D. 3 10. 我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（ ） A. 2，8 B. 3，8 C. 2，9 D. 3，9 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为______（写出一个即可）． 12. 如图，，，，则的长______． 13. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 14. 如图所示，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部外），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么截去矩形的面积是______． 15. 观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式______． 16. 如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17 （1）计算：． （2）解方程： 18. 如图，在中，． （1）射线上，求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）当m为何值时，该方程有两个实数根？ （2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值． 20. 如图，点C在的内部，与互补，若，求的长度． 21. 定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． （1）下列方程是“差1方程”是______ ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“差1方程”，求的值． 22. 今年六月份，某商场进行为期一周的促销活动，前六天的总营业额为45万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． （1）求该商店这七天总营业额； （2）今年，该商店3月份的营业额为35万元，4、5月份营业额的月增长率相同．六月份这七天的总营业额与5月份的营业额相等，求该商店今年4、5月份营业额的月增长率． 23. 如图，已知，，，点E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，与交于点G，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平行四边形的面积是32，求线段的长 24. 和等腰按如图所示摆放（点C与点E重合），点、（E）、F在同一条直线上，，，，等腰的底边，底边上的高为．从图1的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点P从的顶点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，如图2所示，当点P移动到点A时，停止移动，与相交于点Q，连接，设移动时间为． （1）当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式． 25. 综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形折叠”为主题开展活动． 【实践操作】如图，在矩形纸片中，，． 第一步：如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点F处，得到折痕，然后把纸片展平； 第二步：如图2，再将矩形纸片沿折叠，此时点A恰好落在上的点N处，分别与交于点，然后展平． 【问题解决】 （1）求的长； （2）判断、与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，延长，相交于点P，请直接写出线段的长． 附加题 26. 已知为实数，满足，那么的最小值为______． 27. 已知，，则的值为______． 28. 如图，线段，点在上，且，以为顶点作等边三角形，连接、．则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期第二学段测试 初三数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 已知，且，则下列变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例性质，由已知比例式出发，利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）进行变形，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：由得，选项A错误，符合题意；选项B正确，不符合题意； 由得，则，选项C正确，选项D正确，不符合题意； 故选：A． 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，将方程整理后，通过配方法转化为完全平方形式．首先移项，使方程左边保留二次项和一次项，右边为常数项；接着配方，将一次项系数的一半的平方加到两边，形成完全平方式． 【详解】解：移项，得 配方：，即 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 所有菱形都相似 B. 所有矩形都相似 C. 所有正方形都相似 D. 所有平行四边形都相似 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义一一判断即可． 【详解】A．菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，故选项A错误； B．矩形的对应边不一定成比例，对应角一定相等，故选项B错误； C．正方形对应边一定成比例，对应角一定相等，故选项C正确； D．平行四边形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4. 小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微抖动，致使准星A偏离到，若米，米，米，满足．则小明射击到的点偏离目标点B的长度为（ ） A. 1.49米 B. 0.015米 C. 0.149米 D. 0.15米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得， 即小明射击到的点偏离目标点B的长度为0.15米， 故选：D． 5. 已知的整数部分是方程的一个根，则该方程的另一根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定的整数部分，即确定了方程的一个根，再将根代入计算，求出的值，最后根据解一元二次方程的方法解方程即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分是，即方程的一个根是， ∴，解得，， ∴，解方程得，，， ∴该方程的另一根是， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次根式，一元二次方程的综合，掌握二次根式求整数部分的方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． 6. 如图，在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，过、两点作直线交于点，交于点、，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作线段垂直平分线，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，，又， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，， 故正确，不符合题意； 与不一定相等，故错误，符合题意， 故选：． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标为，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的性质，即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小， ∴点的对应点的坐标是， 故选：． 8. 两个直角三角形的三边长分别为和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质与勾股定理，分情况讨论直角三角形的斜边结合不相似是解决本题的关键 ． 分情况讨论直角三角形中直角边和斜边，再结合勾股定理求解m和n，由“不相似”这一条件再进行取舍即可 ． 【详解】解：第一个直角三角形的三边长为， 当5和12为直角边，m为斜边时， 由勾股定理可得， 当5和m为直角边，12为斜边时， 由勾股定理可得； 第二个直角三角形的三边长为， 当10和24为直角边，n为斜边时， 由勾股定理可得， 当10和n为直角边，24为斜边时， 由勾股定理可得； 当两个直角三角形的三边长分别为和时， 由可知，两个直角三角形相似，舍； 当两个直角三角形的三边长分别为和时， 由可知，两个直角三角形相似，舍； 经检验，当两个直角三角形的三边长分别为和时， 以及两个直角三角形的三边长分别为和时， 则或． 故选：D ． 9. 如图1，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则线段AB的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用．已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图： 图1中的正方形面积为16， 正方形的边长为4， ∴直角三角形①中的长直角边为4， ， 解得：（已舍去负值）， ， 故选：A． 10. 我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（ ） A. 2，8 B. 3，8 C. 2，9 D. 3，9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 解得：，负值舍去，． 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为______（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了方程有根的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据题意，得，自主选择一个该范围内的数即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 故答案为：2（答案不唯一）． 12. 如图，，，，则的长______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴相似比为，即， ， ， 故答案为：5． 13. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 14. 如图所示，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部外），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么截去矩形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，则，， 依题意，在矩形中截取矩形， 由题意，矩形矩形， 则 ， 设，得到：， 解得， ∴， 则剩下的矩形面积是：． 故答案为：． 15. 观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质，根据已知等式发现一般规律是解题关键．观察等式可得第个等式为，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第1个等式，即； 第2个等式，即； 第3个等式，即； …… 观察发现，第个等式， 则第9个等式为， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．连接，得到，即，证明，得到， 列比例式得证，解答即可． 【详解】解：连接， ∵菱形中，菱形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，     ∴， 故答案为：10． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. （1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，掌握二次根式的混合运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键 （1）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式的运算法则，计算即可； （2）用配方法求解即可 【详解】解：（1） ； （2）移项，得， 配方，得， 即， ， ， 18. 如图，在中，． （1）在射线上，求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）用尺规作，根据两个角相等即可判定两个三角形相似； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即， ． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）当m为何值时，该方程有两个实数根？ （2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用； （1）根据，再建立不等式求解即可； （2）设方程的两根分别为、，由根与系数的关系得：，结合菱形的边长为，两条对角线的长为，满足，即：，再建立方程求解并检验即可． 【小问1详解】 解：方程有两个实数根， ， 解之得：． 当时，方程有两个实数根； 【小问2详解】 解：设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得：， 由题意可知：菱形的边长为，两条对角线的长为， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴其半对角线长与边长构成直角三角形， ∴， 即， ， 解之得：或． ，， ，， 当时，，． 当时，， 不合题意，舍去， 又由（1）知：， ． 20. 如图，点C在的内部，与互补，若，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．先根据三角形的内角和定理结合已知条件得到，进而证明，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：与互补， ， ． ， ， 又， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 的长度为． 21. 定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． （1）下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“差1方程”，求的值． 【答案】（1）② （2）或 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键． （1）分别求出方程的解即可判断； （2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解． 【小问1详解】 解：①， ， ∴， ，不是整数根，故①不是“差方程”； ②， ， ∴， ∴，故②是“差方程”； ③， ， ， ∴， ∴方程无整数根，故③不是“差方程”； 故答案为：②； 【小问2详解】 解： ， 解得：，. ∵方程为“差方程”，m为整数， ∴， 解得：或． 22. 今年六月份，某商场进行为期一周的促销活动，前六天的总营业额为45万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． （1）求该商店这七天总营业额； （2）今年，该商店3月份营业额为35万元，4、5月份营业额的月增长率相同．六月份这七天的总营业额与5月份的营业额相等，求该商店今年4、5月份营业额的月增长率． 【答案】（1）50.4万元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）该商店这七天总营业额为前六天的营业额加上第七天的营业额，即可求解； （2）设该商店今年4、5月份营业额的月增长率为x，根据增长率计算公式即可列出方程求解． 【小问1详解】 解：（万元）； 答：该商店这七天总营业额为50.4万元． 【小问2详解】 解：设该商店今年4、5月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该商店今年4、5月份营业额的月增长率为． 23. 如图，已知，，，点E是边中点，连接并延长，与的延长线交于点F，与交于点G，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平行四边形的面积是32，求线段的长 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，则，可证四边形是平行四边形，根据，结论得证； （2）如图，由，，可得，则，证明是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，即，，在中，由勾股定理求的值，证明，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵矩形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 24. 和等腰按如图所示摆放（点C与点E重合），点、（E）、F在同一条直线上，，，，等腰的底边，底边上的高为．从图1的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点P从的顶点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，如图2所示，当点P移动到点A时，停止移动，与相交于点Q，连接，设移动时间为． （1）当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作，垂足为点，根据三线合一得到，在中，根据勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，则，然后利用线段垂直平分线得到，然后列方程求解即可； （2）过点作，垂足为点，证明，利用相似三角形的性质求得，根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点D作，垂足为点， ， 又，， ， 中，根据勾股定理，得， 即，， 由题意可得：，，，， 则， ，， ， ， ， ， ， 点A在线段的垂直平分线上， ， ，解之得：， 当t为时，点A在线段的垂直平分线上； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为点， ， 又， ， ， ， ， ， ，又， 与t之间的函数关系式为． 【点睛】本题考查平移性质、等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 25. 综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动． 【实践操作】如图，在矩形纸片中，，． 第一步：如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点F处，得到折痕，然后把纸片展平； 第二步：如图2，再将矩形纸片沿折叠，此时点A恰好落在上的点N处，分别与交于点，然后展平． 【问题解决】 （1）求的长； （2）判断、与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，延长，相交于点P，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由四边形为矩形，可得，，，由折叠可得，，设，则，在中，，可得，最后由勾股定理求解即可； （2）由第一步折叠，可得垂直平分，，，由第二步折叠，可得，，再证明，最后由全等三角形的性质可得结论； （3）连接，由四边形为矩形，可得，，再证明，可得，求得，由线段垂直平分线的性质可得，，再求得，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ，，， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ， 在中，， 即, 解得：， ； （2），理由如下： 由第一步折叠，可得垂直平分，， ， 由第二步折叠，可得，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）∵四边形为矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 如图，连接， 垂直平分， ，， ∴四边形是菱形， ，， ， ，， ， 在中． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作出正确的辅助线． 附加题 26. 已知为实数，满足，那么的最小值为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 27. 已知，，则的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用及非负数的性质，解题关键是将已知条件变形为完全平方和为0的形式，利用非负数性质求出a、b、c的值． 先由用表示，代入并整理，通过完全平方公式变形得到 ；依据非负数性质，得且，求出、，进而算出；最后将、、代入计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得． ， ． ． 且， 解得，． 把代入，得 ． ∴． 故答案为：15． 28. 如图，线段，点在上，且，以为顶点作等边三角形，连接、．则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，由等边三角形性质得，，然后将绕点顺时针旋转得到，连接，证明是等边三角形，故有，过作于点，通过勾股定理求出，当三点共线时，最小，即最小为长，最后通过勾股定理求出的长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 如图，绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， 过作于点， ∴，， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小，即最小为长， 如图， ∵， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $