10.第二章 二次函数学情调研-【真题圈】2025-2026学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）

真题圈数学 同步调研卷（下） 九年级12N 10.第二章学情调研 蜕 (时间：120分钟满分：120分) ☒ 咖咖 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.（月考·2023-2024北京四中)下列关系式中，属于二次函数的是( Ay=号 B.y=Vx2-4 C.y=2-3 D.y=x-3 2.(期中·2023-2024福州台江区)抛物线y=-x2+2和y=-(x+2)2的对称轴分别是( A.y轴，直线x=2 B.直线x=2,直线x=-2 C.直线x=-2,直线x=2 D.y轴，直线x=-2 载 3.（期中·2022-2023天津南开区)若二次函数y=ax2+b(a≠0)的图象经过点P(-2,4),则下列各 点中一定在该图象上的是( ) A.(2,4) B.(-2,-4) C.(4,-2) D.（-4,2) 4.(期末·2022-2023沈阳七中)若二次函数y=-x2-4x+c的最大值为0，则c的值等于( A.4 B.-4 C.-16 D.16 5.（月考·2023-2024深圳外国语学校)在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2平移，可以得到抛物线 部 y=x2+2x+1,下列关于平移的叙述正确的是（教有） A.向上平移1个单位长度 B.向下平移1个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 6.（月考·2023-2024首师大附中)二次函数y=a(x-t)2+3,当x>1时，y随x的增大而减小，则实 数a和t满足( ) A.a>0,t≤1 B.a<0,t≤1 C.a>0,t≥1 D.a<0,t≥1 7.（期末·2022-2023济南高新区)若抛物线y=(x-m)(x-m-3)经过四个象限，则m的取值范围是( A.m<-3 B.-1<m<2 C.-3<m<0 D.-2<m<1 8.(期中·2023-2024广东实验中学)函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数，且a≠0)在同一平 些咖 面直角坐标系中的图象可能是( H 品 3 9.（模考·2023合肥庐阳区二模)在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标之和为零，则称点 P为“零和点”.已知二次函数y=x2+5x+m的图象上有且只有一个“零和点”，则m的值为()》 A.9 B.4 C.6 D客 10.（期末·2022-2023华南师大附中)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图 所示，其对称轴为直线x=-1,则下列说法：①abc>0;②2a+b=0; ③4ac>b2④a-b+c>2.其中正确的个数为() A.1 B.2 12 C.3 D.4 第10题图 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.抛物线y=-5x2+1与y轴交点的坐标为 12.(期中·2023-2024北京海淀区)写出一个顶点在坐标原点、开口向下的抛物线的表达式 13.(期中·2023-2024北京八中)已知二次函数y=ax2+2ax-3(a>0),当自变量x分别取-3，-1,2时， 所对应的函数值分别为y,2,y,则y,y2,y,的大小关系为 (用“>”或“<”连接). 14.情境题如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16m的长篱笆围成，则 矩形ABCD面积的最大值是 C绝盗国 第14题图 第15题图 15.如图，抛物线y,=ax2+c与直线y,=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点，则不等式y,<y,的解 集为 16.若抛物线M:y=x2-(3m-3)x-3与抛物线M':y=x2+10x+2n+5关于y轴对称，则m+n= 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.(期末·2022-2023济南槐荫区)(6分)已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2,2)和(1,5). (1)求这个二次函数的表达式. (2)求这个二次函数图象的顶点坐标 18.(期中·2023-2024大连中山区改编)(6分)对于抛物线y=-x2+4x-3: (1)它与x轴交点的坐标为 (2)在如图所示的坐标系中利用描点法画出此抛物线 x … y … (3)直接写出当y>0时，x的取值范围 第18题图 19.(6分)已知二次函数y=(x-m)(x-m-4)(m为常数) (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点. (2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点纵坐标不变 精品图书 金星教育 3 20.情境题（期末·2023-2024长春朝阳区）(8分)如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离为 8m的A处射门，球沿一条抛物线运动.当球运动的水平距离为6m时，达到最大高度3m (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式 (2)已知球门高OB为2.44m,通过计算判断这位运动员能否将球射进球门. 个ym) 3 8 x(m) 第20题图 米 21.(中考·2023河北改编)(8分)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图象与x 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，求这两个函数图象对称轴之间的 距离. 8- 22.(期末·2023-2024沈阳于洪区)(8分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+bx+c与x 轴交于点A(-2,0)和点B,与y轴交于点C(0,4) 架 (1)求抛物线的函数表达式 (2)点P是直线BC上方的抛物线上一点（点P不与点B,C重合），过点P作PD∥y轴交直线 必 蜕 BC于点D,求线段PD长的最大值 ☒图 0000 D B 第22题图 製 题圈 精品图书 金星教育 咖 剧 3 23.探究性问题（期末·2023-2024北京海淀区）(8分)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,m),B(3, n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上.设抛物线的对称轴为直线x=t: (1)当t=2时， ①直接写出b与a满足的等量关系. ②比较m,n的大小，并说明理由. (2)已知点C(x,p)在该抛物线上，若对于3<x,<4,都有m>p>n,求t的取值范围. 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 9 24.情境题（月考·2023-2024沈阳一二六中学）(10分)某饭店特制了一批高脚杯，分为男土杯和 女士杯（如图①），相关信息如下： 素材 内容 高脚杯：如图①，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子.从下往上 分为三部分：杯托、杯脚、杯体.杯托为一个圆；水平放置的时候，杯 杯体 脚经过杯托的圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这 些圆的圆心都在杯脚所在直线上 素材1 杯脚 一杯托 男士杯 女士杯 第24题图① 在如图②的坐标系中，特制男士杯可以看成是由线段AB,OC,抛物线DCE(实 F 线部分)，线段DF,线段EG绕y轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度， 下同)： 特制女士杯可以看成是由线段AB,OC,抛物线FCG(虚线部分)绕y轴旋转 D E 素材2 形成的立体图形 AOB龙 第24题图② 已知，在如图②的坐标系中，0C=50mm,记为C(0,50),D(-25,75),E(25,75),F(-25, 素材3 150),G(25,150) 根据以上素材内容，尝试求解以下问题： 精 (1)求抛物线DCE和抛物线FCG的表达式. (2)当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度 均为30mm,求两者液体最上层表面圆面积相差多少.（结果保留元） (3)当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度 相等，两者液体最上层表面圆面积相差450mmm2,求杯中液体最深处的深度 40 25.(12分)如图，已知抛物线L,过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3) (1)求该抛物线的表达式. (2)抛物线L,的对称轴与x轴交于点P,将该抛物线沿直线y=m翻折得抛物线L,在抛物线L, 位于第四象限的部分上是否存在一点D,使得△CPD是以CP为直角边的等腰直角三角形？若 存在，求出满足条件的L,的表达式；若不存在，请说明理由. 4 3 1 A -2-1 12/345x 第25题图 盗印必劳 关爱学子 拒绝盗印10.第二章学情调研 1.A2.D 3.A【解析】根据y=ax+b,可知抛物线的对称轴为y轴.，抛 物线经过点P(-2,4),∴.抛物线也经过点(2,4).故选A. 4.B【解析】.y=-x2-4x+c=-(x+2)2+4+c的最大值为0， ∴.4+c=0,解得c=-4.故选B. 5.C【解析】·y=x2+2x+1=(x+1)2,.平移后抛物线的顶点 为(-1,0).：抛物线y=x的顶点为(0,0)，点(0,0)向左平移 1个单位长度得点(-1,0)，.抛物线y=x2向左平移1个单位 长度可得抛物线y=x2+2x+1.故选C. 6.B【解析】，y=a(x-)2+3,当x>1时，y随x的增大而减小， ∴.抛物线开口向下，对称轴为直线x=t,∴a<0.当x>1时， y随x的增大而减小，.t≤1，∴.a<0,t≤1.故选B. 7.C【解析】令y=0,得(x-m)(x-m-3)=0,解得x,=m, x2=m+3,∴.抛物线与x轴的两个交点为(m,0)和(m+3,0). ,抛物线经过四个象限，∴.(m,0)和(m+3,0)分别位于原点两 侧，即m<0<m+3,∴.-3<m<0.故选C. 8.C【解析当a>0时，二次函数y=ax2-2x+1的图象开口向上， 交)轴于正半轴，对称销为直线x=一名-日位于y轴右侧， 一次函数y=ax-a的图象经过第一、三、四象限；当a<0时，二 次函数y=mx2-2x+1的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称 轴为直线x=一是=日，位于y轴左侧，一次函数y=口的 图象经过第一、二、四象限.故选项A,B,D不合题意，选项C 符合题意.故选C 9.A【解析】由题意得点P在直线y=-x上，当y=x2+5x+m 的图象上有且只有一个“零和点”时，方程x2+5x+m=-x,即 x2+6x+m=0有两个相同的解，由4=b-4ac=62-4m=0, 解得m=9.故选A. 10.B【解析】：抛物线开口向下，∴.a<0.抛物线的对称轴 为直线x=-1,∴.b=2a<0.:抛物线与y轴的交点在x轴 上方，∴.c>0,∴.abc>0,.①正确.b=2a,∴.2a-b=0, ∴.②错误.，抛物线与x轴有2个交点，.=b2-4ac>0, .4ac<b2,.③错误.由题图可知，当x=-1时，y>2, ∴.a-b+c>2,∴.④正确.综上，正确的个数为2.故选B. 11.(0,1)12.y=-x2(答案不唯一）13.2yy 14.32m2【解析】设矩形垂直于墙的一边长为xm,面积为Sm2, 根据题意得S=x(16-2x)=-2x2+16x=-2(x-4)2+32,∴.当 x=4时，矩形ABCD面积最大，最大面积是32m2.故答案为 32m2. 15.-1<x<3 16号【解析】：抛物线M:y=-(3m-3)x-3与抛物线M y=x2+10x+2n+5关于y轴对称，∴.y=(-x)2-(3m-3)(-x)- 3=x2+10x+2n+5,.x2+(3m-3)x-3=x2+10x+2n+5,.3m- 3=10,2n5=-3m=号n=4,mn=号4=号 故答案为号 1.解11)由题意得4+26+c2解得 b=6, 1+b+c=5, c=10, 所以所求二次函数的表达式是y=x2-6x+10. (2)因为y=x2-6x+10=(x-3)2+1, 真题圈数学九年级12N 所以其图象的顶点坐标是(3,1) 18.【解】(1)(1,0)和(3,0) (2)列表如下： 012 4 … -301 0 -3 描点、连线，如图所示 +4x3 -…… 第18题答图 (3)1<x<3 19.【证明】(1)当y=0时，(x-m)(x-m-4)=0, 解得x,=m,x2=m+4. ,m≠m+4,.方程有两个不相等的实数根， 不论m为何值，函数图象与x轴总有两个不同的公共点， (2)由(1)得图象与x轴的交点坐标为(m,0),(m+4,0), 由抛物线的对称性可知其顶点的横坐标为m+2, 把x=m+2代人y=(x-m)(x-m-4)得y=-4, .不论m为何值，该函数的图象的顶点纵坐标不变，为-4. 20.【解】(1)8-6=2， .抛物线的顶点坐标为(2,3). 设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2+3, 把点A的坐标(8,0)代入得36a+3=0,解得a=-立， ·抛物线所对应的函数表达式为y=-立x-2)243. (2):当x=0时，)=-7×4+3=号>24， .运动员不能将球射进球门. 21.【解】令y=0,则-x2+mx=0,x2-m2=0, x=0或x=m2,x=-m或x=m. 图象与x轴的四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 若m>0,则m=2m,∴.m=2; 若m<0时，则m2=-2m,.m=-2. ,二次函数y=x2-m图象的对称轴为直线x=0,二次函数 y=-x2+mx图象的对称轴为直线x=m 2 ·这两个函数图象对称轴之间的距离=受-2 22.【解】(1)依题意 0=-4-26+解得b=2 4=c, c=4, 抛物线的函数表达式为y=-寻+弓x4 (2)当y=0时，由-4号x4=0, 解得x1=-2,x2=8,.点B的坐标为(8,0). 设直线BC的表达式为y=+d, 代人点B,C的坐标得 8k+d=0. d=4, d=4, :直线BC的表达式为y=-乞+4， 答案与解析 设点P的坐标为-+x+4 1 则点D的坐标为x,-2x+4 PD=-43x4-(x+4 1 =-242x=-4424 :-日<0，“当x=4时，PD的长有最大值4 23.【解】(1)①b=-4a. ②m>n.理由： a>0,∴.抛物线开口向上. 点A(-1,m),B(3,n)在抛物线y=ar2+bx+c上，抛物线的 对称轴为直线x=2,且点A(-1,m)到对称轴的距离大于点 B(3,n)到对称轴的距离， ∴.m>n. (2)由题意可知，点A(-1,m)在对称轴的左侧，点B(3,n) 在对称轴右侧或在对称轴上，点C(x。,p)在对称轴的右侧， :对于3<x。<4,都有m>p>n, 点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， 任品4-解得号<1≤3,1的取值范围是号<1≤3 +1>4-。 24.【解】(1)，点C为抛物线DCE和抛物线FCG的顶点，它们 的对称轴都为y轴， ∴.可设抛物线DCE的表达式为y=a,x2+50,抛物线FCG的 表达式为y=a,x2+50. :点D(-25,75)在抛物线DCE上，点F(-25,150)在抛物线 FCG上， .75=(-25)2a+50,150=(-25)2a2+50, “4=54=务 一抛物线DCE的表达式为y=方+50，抛物线FCG的表达 式为y=务450 (2)设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别 为R,r, 在抛物线FCG中，当y=50+30=80时， 由2务2450=80，得=30x25-15x25=2 4 2 .30-(75-50)=5>0,∴.R=25 -r=(25-1525）r=4375x(mm) (3)当50<y<75时， 由抛物线表达式可得=25(050)，P=2(y-50). 由x-2=450m,即250-50)-空0-50)=450， 解得y=74, 则杯中液体最深处的深度为74-50=24(mm). 当公75时，由图形可得心=25，户-空050)， 由元R2-元r2=450m, 得25-0,50)=450，解得y=78, 则杯中液体最深处的深度为78-50=28(mm). 综上，杯中液体最深处的深度为24mm或28mm 25.【解】(1)设抛物线L,的表达式为y=ar2+bx+c, 将点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)的坐标代入， a-b+c=0, a=1, 得9a+3b+c=0,解得b=-2, c=-3, c=-3, .该抛物线的表达式为y=x2-2x-3. (2)存在. 2 如图，若∠PCD=90°，PC=CD, L 2 作DE⊥y轴于点E. 1oPB以 由y=x2-2x-3=(x-1)2-4,得 -2- 2B4 抛物线L,的顶点坐标为(1，-4)， -y=m 点P的坐标为(1,0). D E ∴.抛物线L,沿直线y=m翻折 后得到的抛物线L,的顶点坐标 第25题答图 为(1,2m+4), .抛物线L,的表达式为y=-(x-1)2+2m+4=-x2+2x+2m+3. ,∠CED=∠POC=∠PCD=90° .∠ECD=90°-∠PCO=∠OPC 又CD=PC,.△CED≌△POC(AAS), .CE=P0=1,ED=OC=3,∴.D(3,-4). :点D在抛物线L2上， ∴.-9+6+2m+3=-4,解得m=-2, .抛物线L,的表达式为y=-x2+2x-1. 若∠CPD=90°，PC=PD,用同样的方法可求得D(4,-1), .-16+8+2m+3=-1,解得m=2, .抛物线L,的表达式为y=-x2+2x+7. 综上所述，抛物线L,的表达式为y=-x2+2x-1或y=-x2+2x+7. 11.阶段学情调研（二） 1.B 2.B【解析】由题意知，摸到红球的频率稳定在0.6左右，袋中 装有若干个白球和15个红球，∴袋中球的总数为15÷0.6= 25,.袋中白球约有25-15=10（个）.故选B. 3.A【解析】a是方程x2-6x-4=0的根，∴.a2-6a-4=0, ∴.a2-6=4,.a2-6a+1=5.故选A. 4.A5.D6.C 7.C【解析】如图，过点A作AD⊥BC 于点D,则∠ADB=∠ADC=90°： :血B=船s咖C=把，∠B =a,∠C=B,∴.AD=AB·sina, h AD=AC·sinB,.AB·sina= B D 第7题答图 AC·sinB.故选C. 8,A【解析】：反比例函数y=冬的图象在每一个象限内，y 随x的增大而减小，∴.k>0,.这个反比例函数的图象位于第 一、三象限.又：反比例函数y=的图象经过点P(1,m),且 X 1>0,∴.点P在第一象限.故选A. 9.C【解析】根据表格可知抛物线经过点(1,2)，(3,2)，∴.其对称 轴为直线x=2设抛物线经过点(a,5,a≠0，则生9=2，解 得a=4.观察表格发现，当x<2时，y随着x的增大而减小；当 x>2时，y随着x的增大而增大，∴.当y>5时，x的取值范围是 ex<0或x>4.故选C.