1.第1章 勾股定理学情调研-【真题圈】2024-2025学年八年级上册数学练考试卷（北师大版2024）

真题圈数学 同步调研卷 八年级上12N 1.第一章学情调研 蜕 (时间：120分钟满分：120分) ☒ 咖0 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.（期末·2022-2023大连中山区改编)已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则斜边的 长为( A.4 B.5 C.6 D.10 2.在△ABC中，点D在边BC上，若AD+BD2=AB2,则下列结论正确的是( 必 A.∠BAC=90° B.∠BAD=90° 帕 C.∠ABD=90° D.∠ADB=90° 3.(期末·2023-2024青岛市北区)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,则由下列条 件能判定△ABC为直角三角形的有() (1)∠A+∠B=∠C;(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3;(3)a2=c2-b2;(4)a:b:c=1:2:3. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.（期末·2022-2023广州天河区)如图，点B在正方形ADEC的内部，连接AB,BC,若∠CBA= 批 90°，AB=1,BC=2,则正方形ADEC的面积是() A.3 B.4 金C.5 D.6 1.5m ② 第4题图 第5题图 第6题图 些咖 H 5.情境题如图，是一扇高为2m,宽为1.5m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m, 宽2.7m;②号木板长2.8m,宽2.8m;③号木板长4m,宽2.4m.可以从这扇门通过的木板是( 胞)卓 ® 品 A.①号 B.②号 C.③号 D.均不能通过 国 6.数学文化如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成 的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所 示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( ) A.72 B.52 C.80 D.76 7.（开学考·2023-2024重庆南开中学)如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于 点D.已知AC=13,BC=11,AD=12,则AB的长度为( ) A.15 B.16 C.18 D.20 8.(开学考·2023-2024西工大附中)已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长 方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则△ABE的面积为() A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 ------1D C D 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 9.(期中·2022-2023合肥四十五中)如图，在正方形网格内，A,B,C,D四点都在小方格的格点上， 则∠BAC+∠DAC=() A.30° B.45° C.60° D.90° 10.数学归纳如图，正方形ABCD的边长为4，其面积标记为S,以AB为斜边向外作等腰直角三角 形EAB,再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S,…,按照此 规律继续下去，则S,的值为( 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.（期中·2023-2024沈阳大东区)三角形三边长a,b,c满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是 三角形 绝盗印 12.在Rt△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，∠C=90°，若a:b=3:4,c=10,则a 13.（期末·2022-2023深圳龙岗区)如图，将一根有弹性的皮筋AB自然伸直固定在水平面上，然后 把皮筋中点C竖直向上拉升5cm到点D,若皮筋自然长度为24cm(即AB=24cm),则此时 AD= cm. D A 第13题图 第14题图 第15题图 14.（期中·2023-2024重庆南开中学)如图，∠BAC=90°，AB=4,AC=4,BD=7,DC=9,则 ∠DBA= 15.(月考·2023-2024郑州外国语中学)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半 圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”.当AC=8,BC=4时，阴影部分的面 积为 16棱长分别为号cm,3cm的两个正方体如图放置，点P在E上，且EP- D 心 专E,F,一只蚂蚊若要沿者正方体的表面从点A爬到点P,则它需要爬 行的最短距离是 cm ℃ A 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 第16题图 17.（期末·2022-2023哈尔滨南岗区)(6分)如果m表示大于1的整数，a=2m,b=m2-1,c= m2+1,求证：a,b,c为勾股数. 18.开放性试题(6分)如图是单位长度为1的正方形网格 ① ② 金 第18题图 (1)在图①中画出一条长度的平方为10的线段AB. (2)在图②中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形. 19.(期中·2023-2024沈阳于洪区)(6分)如图，一块四边形空地ABCD,经测量∠A=90°，AB= 3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m,求空地ABCD的面积， D B 第19题图 20.情境题（月考·2023-2024广东实验中学）(8分)如图，在离水面高度为8m的岸上，有人用绳 子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m,此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置， 问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的） 拒绝盗印 8m 第20题图 21.探究性问题（月考·2023-2024沈阳一二六中学）(8分)在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC =8.回答下列问题 o (1)由勾股定理，易知AB= (2)如图①，用尺规作图的方法作直线m交BC边于P,则线段AP与线段BP满足的关系是 带 线段PC的长为 尽 ☒图 (3)如图②，用尺规作图的方法作射线n交BC边于P,则线段PC的长为 咖咖 ② 第21题图 苹 22.(期末·2022-2023重庆南开中学)(8分)如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D,点E在 线段BD上，且EA=EB.已知BD=16,AD=12,AC=15. (1)求线段DE的长 批 (2)求证：∠BAC=90° 精品图 金星教育 D 第22题图 巡加 阳嗣 3 23.数学文化（期中·2023-2024山西省实验中学改编）(8分)请阅读下面文字并完成相关任务. 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”.我国最早对勾股定理进行 证明的是三国时期吴国的数学家赵爽 (1)如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是： 大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面 积之和，即2b×4+(b-a)只，从而得到等式c2=b×4+(b-a),化简便得结论a+=2这 里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.现在，请你用 “双求法”解决下面问题. 如图②，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值 (2)如图③，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a,较长直角边长为b,且 a2+b2=ab+10,那么小正方形的面积为 (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是( ) A.函数思想 B.整体思想 C.分类讨论思想D.数形结合思想 A B x D 6 ① ② ③ 第23题图 关爱学子 拒绝盗印 24.(月考·2022-2023杭州文澜中学改编)(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 10cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为ts. (1)求BC边的长， (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值 (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值 备用图 第24题图 直题 精品图书 金星教 25.(期中·2023-2024河南省实验中学)(12分)如图①，已知△ABC和△DCE为等腰直角三角形， 按如图的位置摆放，直角顶点C重合. (1)直接写出AD与BE的关系 (2)将△DCE按如图②的位置摆放，使点A,D,E在同一直线上，求证：AE2+AD2=2AC2. (3)将△DCE按如图③的位置摆放，使∠CBD=45°，AC=6,BD=3,求BE的长 ① ② 第25题图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印答案与解析 3.B【解析】：∠A=100°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-100°= 80°.：BL,CI分别平分LABC,∠ACB,·.∠IBC=)∠ABC, ∠1CB=2∠ACB,:LBC+LICB=)∠ABC+分∠ACB= ∠ABC+∠ACB)=3×80=40, .∠1=180°-（∠IBC+∠1CB)=180°-40°=140°. :'∠ABC+∠ACB=80°， .∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360° (∠ABC+∠ACB)=360°-80°=280°. :BM,CM分别是∠ABC,∠ACB邻补角的平分线， ·∠1=3∠DBC,∠2=3∠ECB, ÷∠1+∠2=LDBC+∠BCB)=3×280P=140e, .∠M=180°-∠1-∠2=40°， .∠I-∠M=140°-40°=100°.故选B. 4.70【解析】在△ABC中，∠A=40°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°. ∠CBE,∠BCF均是△ABC的外角， .∠CBE=∠A+∠ACB,∠BCF=∠A+∠ABC :BP平分LCBE,CP平分LBCF,·∠CBP-)∠CBE= (A+Z ACB),Z BCP=Z BCF=(Z A+2 ABC). CBP+Z BCP=(ZA+ZACB)+(Z ABC)= ∠A+)(LABC+∠ACB)=40°+号×140°=110.在△BCP 中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-（∠CBP+∠BCP)= 180°-110°=70°.故答案为70. 5.【解】(1)35° 分析：：∠D+∠DCE=∠E+∠DAE,∠E+∠ECB=∠B+∠EAB, '.∠D+∠DCE+∠B+∠EAB=2∠E+∠DAE+∠ECB. ,CE平分∠DCB,AE平分∠BAD, ∴.∠DCE=∠ECB,∠DAE=∠BAE, ∴2∠E=∠B+∠D,∴∠E=(∠D+∠B), ·∠E=号×(30°+40)=号×70°=35°. (2)2∠E+∠3+∠2∠D+∠B40 (3)ZE-(2D+2B) 同步调研卷 1.第一章学情调研 1.B2.D 3.C【解析】(1)因为∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°，所 以∠C+∠C=180°，所以∠C=90°，所以△ABC为直角三角 形；(2)因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180°， 3 所以∠C=1+2+3×180°=90，所以△4BC为直角三角形： (3)因为d2=c2-b,所以2+b=c2,所以△ABC为直角三角形； (4)因为a:b:c=1:2:3,所以设a=k,则b=2k,c=3k(其 中k>0),2+b2≠c2,所以△ABC不是直角三角形.故能判定 △ABC为直角三角形的条件有3个.故选C. 4.C【解析】在△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：AC= AB+BC=12+22=5.因为四边形ADEC是正方形，所以 SE方形MDEc=AC=5.故选C. 5.C【解析】因为22+1.52=2.52，所以木板的长和宽中必须有一 个数据小于2.5m才可以从这扇门通过，所以选③号木板.故 选C. 6.D【解析】依题意，设“数学风车”中的四个大直角三角形的斜 边长为x,则x2=122+52=169,所以x=13,所以“数学风车” 的外围周长是(13+6)×4=76.故选D. 7.D【解析】因为AD⊥BC,所以∠D=90°.在Rt△ACD中， AC=13,AD=12,AD2+CD2=AC2,即122+CD2=132,解得 CD=5.因为BC=11,所以BD=BC+CD=11+5=16.在 Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2,即122+162=AB2,解得AB= 20.故选D. 8.C【解析】将此长方形折叠，使点B与点D重合，所以BE= ED.因为AD=9cm=AE+DE=AE+BE,所以BE=9-AE, 根据勾股定理可知AB2+AE2=B,即3+AE2=(9-AE)2,解得 AE=4cm,所以△ABE的面积为3×4÷2=6(cm).故选C. 9.B【解析】如图，作点B关于AC的 对称点B',连接B'A,BD,则∠BAC =∠BAC.因为AB2=12+32=10, B'D2=12+32=10,AD2=42+22= 20,所以AB'=B'D,AB'2+B'D2= AD,所以△AB'D是等腰直角 D 三角形，则∠B'AD=45°，所以 ∠BAC+∠DAC=∠B'AC+∠DAC 第9题答图 =∠BAD=45°.故选B. 10.D【解析】因为正方形ABCD的边长为4， 所以S1=AB2=42=16. 因为△EAB是等腰直角三角形， 所以EA=EB.因为EAP+EB2=AB2, 所以EBP=3AB=2S=8, 所以=F=8,同理S=号9=克S=克9， 所U3=周·8-)散选D 11.直角【解析】因为(a+b)2=c2+2ab,所以a2+2ab+b-2ab=c2, 所以2+b2=c2,所以三角形是直角三角形.故答案为直角. 12.6【解析】设a=3x,则b=4x,由勾股定理，得(3x)2+(4x)2 =102,解得x=2,则a=6.故答案为6 13.13【解析】因为中点C竖直向上拉升5cm至点D,所以CD 是AB的垂直平分线，所以∠ACD=90°，AC=BC=)AB= 12cm,CD=5cm,AD=BD.在Rt△ACD中，由勾股定理 得AC2+CD2=AD2,即122+52=AD2,所以AD=13cm故答 案为13. 14.45°【解析】因为∠BAC=90°，AB=4,AC=4,所以∠ABC =45°，BC2=AB2+AC2=32.因为BD=7,DC=9,所以 BD2+BC=49+32=81=92=DC2,所以△DBC是直角三 角形，∠DBC=90°，所以∠DBA=∠DBC-∠ABC=45°.故 答案为45° 15.16【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得82+42 =AB,即AB=4V5.以4C为直径的半圆的面积=×4 2 =8元，以BC为直径的半圆的面积=×2=2元，以B为直 2 径的半圆的面积=号·(9-受×()=10m,8心= 334c·Bc=x8x4-16,所以542x416-10m 16.故答案为16. 16.2【解析】有两种展开方法： 5 方法-：如图①，m=(号+3+(3+1)=2704 25 方法二：如图②，P=(号3+1+3-3034 25 因为2704<3034，所以爬行的最短路径是第一种方法，故PA 25 25 -号cm,即它需要爬行的最短距离是号cm故答案为号 E P ① 第16题答图 17.【证明】因为a2+b2=(2m)2+(m2-1)2=m4+2m2+1 又c2=(m2+1)2=m+2m2+1,所以a2+b2=c2. 即a,b,c能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 所以a,b,c为勾股数. 18.【解】(1)如图①所示，AB为所求（答案不唯一） ① ② 第18题答图 (2)如图②所示，正方形为所求（答案不唯一）. 19.【解如图，连接BD, A 第19题答图 在Rt△ABD中，由勾股定理得， AD2+AB2=42+32=25=52, 所以BD=5m 在△BCD中，因为BC+BD2=122+52=132=CD2, 所以△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°， 所以四边形ABCD的面积=S△MBD+S△BCD =2×3x4+7×5×12=36(m2). 20.【解】在Rt△ABC中， ∠CAB=90°，BC=17m,AC=8m, 所以AC2+AB2=BC2,即82+AB2=172, 所以AB=15m 因为此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置， 所以CD=17-1×7=10(m), 在Rt△ADC中， AC2+AD2=CD2,即82+AD2=102, 所以AD=6m, 所以BD=AB-AD=15-6=9(m) 答：船向岸边移动了9m. 21.【解】(1)10 真题圈数学八年级上12N (2)aP=B即子 分析：由作图可知，直线m是AB的垂直平分线， 所以AP=BP 设PC=x,则BP=AP=8-x. 在Rt△ACP中，AC2+PC=AP2, 所以6+=(8-x2,所以x=子，所以PC=子 (3)3 分析：由作图可知，AP平分∠BAC, 所以∠PAB=∠PAC. D 过点P作PD⊥AB于点D,则∠PDA= ∠PCA=90°. P'n. 在△APC和△APD中，∠PCA=∠PDA 第21题答图 =90°，∠PAC=∠PAD,AP=AP, 所以△APC≌△APD(AAS), 所以AC=AD=6,所以BD=AB-AD=10-6=4. 设PC=y,则BP=8-y,PD=y, 在Rt△BPD中，BD+PD=BP, 所以42+y2=(8-y)2, 所以y=3,所以PC=3. 22.(1)【解】设BE=AE=x, 因为BD=16,所以DE=BD-BE=16-x 因为AD⊥BC,所以∠ADE=∠ADC=90° 在Rt△ADE中，AE=AD+D,AD=12, 所以x2=122+（16-x)2,解得x=12.5, 所以DE=16-x=3.5. (2)【证明】在Rt△ABD中，AD=12,BD=16, 所以AB2=BD+AD2=16+122=400,则AB=20. 在Rt△ADC中，AC=15,AD=12, 所以CD2=AC-AD2=152-122=81,则CD=9, 所以BC=BD+CD=25. 因为AB2+AC2=202+152=625,BC2=252=625, 所以AB2+AC2=BC2, 所以△ABC是直角三角形，∠BAC=90°. 23.【解】(1)在Rt△ABD中，由勾股定理得 AD2=AB2-BD2=42-x2=16-x2 因为BD+CD=BC=6,所以CD=BC-BD=6-x 在Rt△ACD中，由勾股定理得 AD2=AC2-CD2=52-(6-x)2=-11+12x-x2, 所以16-2=-1+12x,所以x=是 (2)2 分析：设大正方形的边长为c, 因为大正方形的面积是18，所以c2=18,所以a2+b=c2=18. 因为a2+b2=ab+10,所以ab+10=18,所以ab=8, 所以小正方形的面积=(b-a)2=a㎡2+b2-2ab=18-2×8=2. (3)D 24.【解】(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90,AB=10cm,AC=6cm, 由勾股定理得AC2+BC=AB2, 即62+BC=102,所以BC=8cm (2)由题意知BP=tcm ①当∠APB=90时，如图①，点P与点C重合，BP=BC=8cm, 皇所以t=8; 答案与解析 CP) C ⊙ ② 第24题答图 ②当∠BAP=90°时，如图②，CP=BP-BC=(t-8)cm,AC =6cm. 在Rt△ACP中，AP=AC+CPm=6+(-8)2, 在Rt△BAP中，AP2=BP2-AB2=P-102, 因此64(-8)2=-10解得1=空 综上所述，当△ABP为直角三角形时，1的值为8或5， 2 (3)当AP=BP时，如图③，则AP=tcm,PC=BC-BP=(8 t)cm, 在Rt△ACP中，AC2+PC2=AP2, 所以6+(8-)2=R,解得1=孕： 当AB=BP时，如图④，则BP=1=10; 当AB=AP时，如图⑤，则BP=2BC, 所以t=2×8=16. 综上所述，1的值为5或10或16. P C ③ ④ A ⑤ 第24题答图 25.(1)【解】AD=BEAD⊥BE 提示：如图①，延长AD交BC于点O,交BE于点H. 因为△ACB和△DCE为等腰直角三角形， 所以AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE, 所以∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB, 所以∠ACD=∠BCE. AC=BC, 在△ACD和△BCE中，{ ∠ACD=∠BCE, CD=CE, 所以△ACD≌△BCE(SAS), 所以AD=BE,∠CAD=∠CBE. 因为∠AOC=∠BOH, 所以∠OHB=∠ACO=90°，所以AD⊥BE. B \H E D ① ② ③ 第25题答图 (2)【证明J如图②，设AE交BC于O. 由(1)可知△ACD≌△BCE, 所以∠CAO=∠EBO,AD=BE. 因为∠AOC=∠BOE,所以∠BEO=∠ACO=90°， 所以AE+BE2=AB2 因为CA=CB,∠ACB=90°， 所以AB=2AC,所以AE+AD2=2AC (3)【解】如图③，连接AD, 因为AC=BC=6,∠ACB=90°， 所以∠ABC=45°，AB2=72. 因为∠CBD=45°，所以∠ABD=90°， 所以AD2=AB+BD2=72+9=81=92,则AD=9. 因为∠ACB=∠DCE=90°，所以∠ACD=∠BCE. AC=BC. 在△ACD和△BCE中，{∠ACD=∠BCE, CD=CE, 所以△ACD≌△BCE,所以AD=BE, 所以BE=9. 2.第二章学情调研 1.D2.A3.C4.A5.C 6.C【解析】因为√a+1与V2的和等于3√5，所以√a+I=33- V12=3V3-2W3=√3，故a+1=3,则a=2.故选C. 7.C【解析J设边长应该延长xm,根据题意得(x+8)2=82+80, (x+8)2=144,解得x1=4,x2=-20(舍去)，故选C 8.A【解析】设点C所表示的数是a.因为点A,B所表示的数分 别是1，√3，所以AB=√3-1；又因为C,B两点到点A的距离 相等，所以AC=1-a=√3-1，所以a=2-√3.故选A 9.A【解析】因为三角形的三边长分别为2,5，n,所以 5-2<n<5+2,所以3<n<7,所以V3-n)2+V(8-n)2=3-n+8-川 =n-3+8-n=5.故选A. 10.B11.5 12.-1【解析】因为b+3引+√a-2=0,所以b+3=0,a-2=0, 所以a=2,b=-3,则(a+b)2025=(-1)225=-1.故答案为-1. 13.1【解析】因为4<7<9，所以2<√7<3，所以0<√7-2<1，所 以a=0,b=1,则a+b=0+1=1.故答案为1. 14.√2【解析】64的算术平方根是8，是有理数，故将8取立方 根为2，是有理数，将2取算术平方根得√2，是无理数，故输出 √2.故答案为V2, 15.(248W5)【解析】这块草地的长=(106-2√2)-(V6- 左2)=46(m,所以这块草地的面积=46(V6-V2)=】