学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷01（新教材北师大版，范围：八年级上册第1～2章）

**基本信息** 本卷聚焦勾股定理与实数，以《周髀算经》勾股数、茅屋屋顶支撑等文化及生活情境为载体，通过蚂蚁爬行最短路径、华罗庚立方根计算等问题，融合几何直观、推理能力与应用意识，实现知识巩固与素养提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式、无理数判断、直角三角形判定|基础概念辨析，如第3题多角度考查直角三角形判定| |填空题|6/18|平方根计算、勾股数规律、折叠问题|第15题结合《周髀算经》挖掘勾股数弦长规律，体现文化传承| |解答题|7/72|实数运算、四边形面积、动点几何、裁剪拼接|第22题通过长方形剪拼正方形，发展空间观念；第23题动点问题考查推理能力与模型意识，契合中考动态几何命题趋势|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第1章 勾股定理~第2章 实数。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）下列二次根式，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（3分）在实数，，，，，中，无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 3．（3分）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）下列说法正确的是（    ） A．是27的立方根 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D．的立方根为3 5．（3分）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）已知为实数，且．则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（3分）如图，正方形的边长为2，在数轴上，C点为原点，以中点M为圆心，线段的 长为半径画弧，交数轴的正半轴于点F，则F点表示的实数为（   ） A． B． C． D．3 8．（3分）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ） A．2.5米 B．4米 C．6米 D．7米 9．（3分）如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是（    ）（墙面与地面垂直） A．米 B．米 C．5米 D．米 10．（3分）如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）的平方根是_______． 12．（3分）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为_______． 13．（3分）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得_____ 14．（3分）如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为____米． 15．（3分）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 16．（3分）如图，中，，，，点E是直线上一点，且，连接，过点E作，（点C，F在直线两侧），连接，则的长是 ___________. 三、解答题：本题共7小题，共72分。 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（9分）已知一个正数的两个平方根分别是和，且x和y满足． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 19．（9分）如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 20．（10分）小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 21．（12分）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又， ，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写结果： ①________． ②________． 22．（12分）综合与实践：将长方形纸片裁剪，各部分重新拼接可得到正方形，要求裁剪后拼接均不重叠、无缝隙、无剩余． (1)①如图1，长方形，点R是中点，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、 乙、丙三块，并按图2拼成正方形，则正方形的面积为____________，边长为____________； ②若长方形的长为，宽为n，则可拼成的正方形的边长为____________（用含n的式子表示）； (2)①若长方形的长为a，宽为b，则可拼成的正方形的边长为____________（用含a和b的式子表示）； ②如图3，长方形，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图4拼成正方形，求和的长； ③长方形，，将其裁剪成若干块重新拼接成正方形，在图5和图6中画出两种不同的裁剪方式，并标出相关线段的长度． 23．（12分）已知是等腰直角三角形，，．动点在射线上，以为直角边作等腰直角三角形，连接． (1)如图1，点在线段上时，爱动脑筋的小明，小亮立刻想到上学期学的知识．小明：易得；小亮：易得的度数．请解答下列各小题． ①若，，则线段的长为___________；的度数为___________；线段的长为___________； ②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； (2)如图2，若点在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由： (3)动点在射线上运动过程中，若，直接写出的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11._______________ 14. ________________ 12. ___________ 15. _______________ 13. _________________ 16.________________ 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（9分） 19．（9分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（12分） 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第1章 勾股定理~第2章 实数。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）下列二次根式，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（3分）在实数，，，，，中，无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 3．（3分）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）下列说法正确的是（    ） A．是27的立方根 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D．的立方根为3 5．（3分）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）已知为实数，且．则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（3分）如图，正方形的边长为2，在数轴上，C点为原点，以中点M为圆心，线段 的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点F，则F点表示的实数为（   ） A． B． C． D．3 8．（3分）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ） A．2.5米 B．4米 C．6米 D．7米 9．（3分）如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是（    ）（墙面与地面垂直） A．米 B．米 C．5米 D．米 10．（3分）如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）的平方根是_______． 12．（3分）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为_______． 13．（3分）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得_____ 14．（3分）如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为____米． 15．（3分）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 16．（3分）如图，中，，，，点E是直线上一点，且，连接，过点E作，（点C，F在直线两侧），连接，则的长是 ___________. 三、解答题：本题共7小题，共72分。 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（9分）已知一个正数的两个平方根分别是和，且x和y满足． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 19．（9分）如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 20．（10分）小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 21．（12分）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又， ，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写结果： ①________． ②________． 22．（12分）综合与实践：将长方形纸片裁剪，各部分重新拼接可得到正方形，要求裁剪后拼接均不重叠、无缝隙、无剩余． (1)①如图1，长方形，点R是中点，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、 乙、丙三块，并按图2拼成正方形，则正方形的面积为____________，边长为____________； ②若长方形的长为，宽为n，则可拼成的正方形的边长为____________（用含n的式子表示）； (2)①若长方形的长为a，宽为b，则可拼成的正方形的边长为____________（用含a和b的式子表示）； ②如图3，长方形，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图4拼成正方形，求和的长； ③长方形，，将其裁剪成若干块重新拼接成正方形，在图5和图6中画出两种不同的裁剪方式，并标出相关线段的长度． 23．（12分）已知是等腰直角三角形，，．动点在射线上，以为直角边作等腰直角三角形，连接． (1)如图1，点在线段上时，爱动脑筋的小明，小亮立刻想到上学期学的知识．小明：易得；小亮：易得的度数．请解答下列各小题． ①若，，则线段的长为___________；的度数为___________；线段的长为___________； ②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； (2)如图2，若点在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由： (3)动点在射线上运动过程中，若，直接写出的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11 12 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(9分) 19.(9分) D 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(12分) 22.(12分) 图5 图6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) C ◇ B B B 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第1章 勾股定理~第2章 实数。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）下列二次根式，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，被开方数中含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B．的被开方数中含有分母，不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．，被开方数中含有分母，不是最简二次根式． 2．（3分）在实数，，，，，中，无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解： ， 在实数，，，，，中，无理数有，，共个， 故选：B． 3．（3分）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 4．（3分）下列说法正确的是（    ） A．是27的立方根 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D．的立方根为3 【答案】B 【分析】根据平方根和立方根的概念求解即可． 【详解】解：A．3是27的立方根，故选项错误，不符合题意； B．负数没有平方根，但有立方根，故选项正确，符合题意； C．25的平方根为，故选项错误，不符合题意； D．的立方根不是3，27的立方根为3，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 5．（3分）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的估算进行大小比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴ 故选：C． 6．（3分）已知为实数，且．则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据算术平方根的非负性，可得，则，再将代入原式即可解答． 【详解】解：根据算术平方根的非负性，可得， 解得， 把代入，可得， ， 故答案为：7． 7．（3分）如图，正方形的边长为2，在数轴上，C点为原点，以中点M为圆心，线段的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点F，则F点表示的实数为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，掌握勾股定理成为解题的关键． 先根据正方形的性质以及中点的定义可得，再根据勾股定理可得，进而得到即可解答． 【详解】解：∵的中点M，正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴F点表示的实数为． 故选B． 8．（3分）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ） A．2.5米 B．4米 C．6米 D．7米 【答案】B 【分析】考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，过点A作于点E，由等腰三角形的性质得米，由勾股定理求出米，然后由，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意可知，， 即3米米， 故这根木头需要长度可能是4米， 故选：B． 9．（3分）如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是（    ）（墙面与地面垂直） A．米 B．米 C．5米 D．米 【答案】D 【分析】主要考查平面展开—最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，正确利用立体图形中的最短距离、通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 将墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过P作于G，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， ∵米，米，点P到的距离是3米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：D． 10．（3分）如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】考查了勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理的计算，无理数的估算方法是解题的关键． 根据勾股定理得到第九个直角三角形的斜边长，得到该图形周长，根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示， ∴左起第一个直角三角形的斜边长为， 第二个直角三角形的斜边长为， 第三个直角三角形的斜边长为， 第四个直角三角形的斜边长为， ， ∴第九个直角三角形的斜边长为， ∴这个图形的周长（实线部分）为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴最接近的是13， 故选：B ． 二、填空题（共18分） 11．（3分）的平方根是_______． 【答案】±2 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 12．（3分）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为_______． 【答案】或5 【分析】主要考查了非负数的性质，勾股定理，根据非负数的性质可求出，再分边长为4的边是斜边和边长为4的边是直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ①在直角三角形中，当边长为4的边是斜边，则第三边的长为； ②在直角三角形中，当边长为4的边是直角边，则第三边的长为． 综上所述，该直角三角形的第三边长为或5． 故答案为：或5． 13．（3分）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得_____ 【答案】/ 【分析】主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，化简二次根式. 首先根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出k的取值范围，然后根据求解即可. 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为、、， ∴， ∴， ∴ . 故答案为： 14．（3分）如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为____米． 【答案】19 【分析】考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作交延长线于点D，则， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 故答案为：19． 15．（3分）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 16．（3分）如图，中，，，，点E是直线上一点，且，连接，过点E作，（点C，F在直线两侧），连接，则的长是 ___________. 【答案】或/或 【分析】由题意可分两种情况，①当点E在AB上时，过作，与的延长线交于点，先通过勾股定理的逆定理证明，再证，求得、，最后由勾股定理求得，②当点E在AB的延长线上时，过作，与的延长线交于点，同理可求解． 【详解】解：由题意可分： ①当点E在线段AB上时，过作，与的延长线交于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ， ，， ， ，， ， ； ②当点E在AB的延长线上时，过作，与的延长线交于点， 同理可证， ，， ， ； ∴综上所述：的长是或； 故答案为：或． 三、解答题（共72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】考查了实数的混合运算，，二次根式的性质、根据平方根的定义解方程； （1）利用零指数幂、立方根的定义以及二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式，即可求解． （2）根据平方根的定义解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：或． 18．（9分）已知一个正数的两个平方根分别是和，且x和y满足． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)4 【分析】主要考查了平方根的性质和立方根的计算，理解性质及准确计算是解题的关键． （1）由题知，解得，再代入求出y即可； （2）由（1）知，再代入计算立方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ， ∴解得：， 把代入得， ， 解得：； （2）解：当时，． 19．（9分）如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积的面积的面积 ． 20．（10分）小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为： ， ， ， ， ， ． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值是解题的关键． （）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （）将式子中的每一个分式进行分母有理化，即可求解； （）仿照题例求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 21．（12分）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又， ，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写结果： ①________． ②________． 【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56． 【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案； ②根据例题进行推理得出答案； ③根据例题进行推理得出答案； ④根据②③得出答案； （2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论. 【详解】（1）①， ， ∴， ∴能确定195112的立方根是一个两位数， 故答案为：两； ②∵195112的个位数字是2，又∵， ∴能确定195112的个位数字是8， 故答案为：8； ③如果划去195112后面三位112得到数195， 而， ∴， 可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5， 故答案为：5； ④根据②③可得：195112的立方根是58， 故答案为：58； （2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2， ∴13824的立方根是24， 故答案为：24； ②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5， ∴175616的立方根是56， 故答案为：56. 22．（12分）综合与实践：将长方形纸片裁剪，各部分重新拼接可得到正方形，要求裁剪后拼接均不重叠、无缝隙、无剩余． (1)①如图1，长方形，点R是中点，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图2拼成正方形，则正方形的面积为____________，边长为____________； ②若长方形的长为，宽为n，则可拼成的正方形的边长为____________（用含n的式子表示）； (2)①若长方形的长为a，宽为b，则可拼成的正方形的边长为____________（用含a和b的式子表示）； ②如图3，长方形，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图4拼成正方形，求和的长； ③长方形，，将其裁剪成若干块重新拼接成正方形，在图5和图6中画出两种不同的裁剪方式，并标出相关线段的长度． 【答案】(1)①18，；② (2)①； ②，； ③裁剪方式如下图： 【分析】考查图形的拼接，二次根式运算的实际应用，勾股定理，是拼接前后面积不变； （1）①拼接前后面积不变得到正方形的面积为，边长为； ②拼接前后面积不变得到正方形的面积为，边长为； （2）①拼接前后面积不变得到正方形的面积为，边长为； ②拼接前后面积不变得到正方形的面积为，边长为，由图可得，正方形边长，中，利用勾股定理求出，再根据计算；中，利用勾股定理求出，再根据计算即可． ③拼接前后面积不变得到正方形的面积为，边长为，据此裁剪设计即可． 【详解】（1）解：①∵长方形， ∴长方形面积为， ∵将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图2拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， 故答案为：，； ②长方形的长为，宽为n，则长方形面积为， ∵将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， 故答案为：； （2）解：①长方形的长为a，宽为b，则长方形面积为， ∵将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， 故答案为：； ②长方形，则长方形面积为， ∵拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， ∴由图可得，正方形边长， 中，， ∴， 中，， ∴， ③略 23．（12分）已知是等腰直角三角形，，．动点在射线上，以为直角边作等腰直角三角形，连接． (1)如图1，点在线段上时，爱动脑筋的小明，小亮立刻想到上学期学的知识．小明：易得；小亮：易得的度数．请解答下列各小题． ①若，，则线段的长为___________；的度数为___________；线段的长为___________； ②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； (2)如图2，若点在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由： (3)动点在射线上运动过程中，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；；；② (2) 解：成立；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； (3) 【分析】（1）①根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，求出；证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形性质得出；②根据勾股定理得出答案即可； （2）证明，得出，，根据勾股定理得出，，即可得出答案； （3）当在右边时，根据题意得出点Q的运动轨迹为线段所在的直线，作点A关于直线的对称点F，连接交于点，此时取得最小值，过点C作，结合图形利用轴对称图形的性质和勾股定理求解即可．当在左边时，当点与点重合时，的值最小，即为线段的长． 【详解】（1）解：① ，， ，， ， ； ，， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； 故答案为：；；； ②根据解析①可得：，， ， 为等腰直角三角形， ， ； （2）略 （3）解：当在右边时， 由（1）（2）得：， ， 点Q的运动轨迹为线段所在的直线， 作点A关于直线的对称点F，连接交于点，过点C作，如图所示： 则，，此时，取得最小值， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， 的最小值为． 当在左边时，当点与点重合时，的值最小，即为线段的长， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． ∵， 的最小值为． 综上所述：的最小值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 1 8 10 B C B B D B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.±2 12.V7或5 13.11-3k/-3k+11 14.19 15.41 16.58或5V25V2或V58 三、解答题：本题共7小题，共72分。 17.(8分) 【详解】（①）解：R5-2°-3传27+20-5 1-3 L-3+5-2V5 =-13953:4分 (2)解：42x-12=361 2x-12=-9 ∴，2x-1=±3， 解得：X=2或x=-1.(8分) 18.(9分) 【详解】(1)解：，一个正数的两个平方根分别是2x+1和x-4, .(2x+1)+(x-4)=0, .解得：x=1, 把x=1代入x+y+6=5得V1+y+6=5, .∴.1+y+6=25, 解得：y=18;(5分) (2)解：当x=1,y=18时，2xy+28=2×1×18+28=/64=4.(9分) 117 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(9分) 【详解】(1)解：连接AC, D A :∠B=90°，AB=BC=2, AC=VAB2+BC2=2+22=22 又CD=3,DA=1, ..AC2+DA2=CD2, ∴.△ACD是直角三角形，∠CAD=90°， .AB=BC,∠B=90°， .∠BAC=45°， ∴.∠DAB=∠CAD+∠BAC=90°+45°=135°；(5分) (2)解：四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积 ×2x2+1x1×2V2 2 =2+2.(9分) 20.(10分) 【详解】(1)解： 3-2 3+23+213-2 =V3-V2 5+3 5+3 5-35-35+32 故答案为：3-吃.》 5+3 (2分) 1 (2)解： 3+1+5+95+可7+5++925+923 217 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 号3-145-5+97-5+425-92网 1-1+V25 2 15 =2;(6分) 1×R2+1 (3)解：a=2-2-12+1 1 =2+1 a-1=V2, (a-12=2: a2-2a+1=2, a2-2a=1, 2a2-4a+1=2a2-2a+1=2×1+1=3°（10分) 21.（12分) 【详解】(1)①.：1000=10,1000000=100,1000<195112<1000000， .10<195112<100, .能确定195112的立方根是一个两位数， 故答案为：两：(2分) ②195112的个位数字是2，又.83=512， ∴.能确定195112的个位数字是8， 故答案为：8；(4分) ③如果划去195112后面三位112得到数195， 而125<195<216， 5<3195<6, 可得50<195112<60， 由此能确定195112的立方根的十位数是5， 故答案为：5；(6分) ④根据②③可得：195112的立方根是58， 故答案为：58；(8分) 317 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2， ∴.13824的立方根是24， 故答案为：24；(10分) ②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5， ∴.175616的立方根是56， 故答案为：56.(12分) 22.【详解】(1)解：①长方形ABCD,AB=6,BC=3, .长方形面积为3×6=18， ·将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图2拼成正方形， ∴.正方形的面积为18，边长为V18=32, 故答案为：18,3V2;(2分) ②长方形的长为2n,宽为，则长方形面积为2n×n=2n2, ,将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并拼成正方形， ∴正方形的面积为2n2,边长为/2=92n 故答案为：2n:(4分) (2)解：①长方形的长为a,宽为b,则长方形面积为b, ,将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并拼成正方形， ∴正方形的面积为b,边长为ab, 故答案为：ab;(6分) ②长方形EFGH,EF=10,FG=9,则长方形面积为9×10=90， 拼成正方形， ∴正方形的面积为90，边长为90=3V10, ∴.由图可得，正方形边长EM=NF=310, Rt△GNF中，GN=VFN2-GF2=31O-92=3” .NH=GH-GN=10-3=7, Rt△EFM中，MF=VEF2-EM=102-3V1O-/101 :.MN=NF-MF=3V10-V10=210,(10分) ③裁剪方式如下图：(12分) 417 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2 L 4 6 25 2 1 2 23.(12分) 【详解】(1)解：①.AC=BC=4,∠ACB=90°， ∠A=∠ABC=3X90-45,AB=AC+BC-42, .PA=3V2, .PB=AB-PA=4V2-32=2; .∠PCQ=90°，PC=QC, ∴.∠ACB-∠PCB=∠PCQ-∠PCB, ∴.∠ACP=∠BCQ, ∴.△ACP△BCQ SAS, ∴.∠CBQ=∠A=45°，BQ=PA=39V2 .∴.∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=45°+45°=90°， .PQ=PB2+BQ2=+32=25 .△PCQ为等腰直角三角形， c-m路2 2=10: 故答案为：V2;90°；V10;(3分) ②根据解析①可得：∠PBQ=90°，PA=BQ, .PQ2=PB2+BQ2=PB2+PA2, ,:△PCQ为等腰直角三角形， ∴.PQ2=2PC2, ∴.PA2+PB2=2PC2;(5分) (2)解：成立；理由如下： ,AC=BC,∠ACB=90°， 517 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠A=∠ABC= ×90°=45°， .∠ACB=∠PCQ=90°， ∴.∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ, ∴.∠ACP=∠BCQ, ∵PC=CQ ∴.△ACP≌△BCQ SAS, ∴.∠CBQ=∠A=45°，PA=BQ, ∴.∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90°， .∴.∠PBQ=180°-90°=90°， .PQ2=PB2+BQ2=PB2+PA2, .·△PCQ为等腰直角三角形， .PQ2=2PC2, ∴.PA2+PB2=2PC;(8分) (3)解：当△PCQ在PC右边时， 由(1)(2)得：∠ABQ=90°， .BQ⊥AB, .点Q的运动轨迹为线段BQ所在的直线， 作点A关于直线BQ的对称点F,连接FC交BQ于点Q,过点C作CH⊥AB,如图所示： 则AQ=FQ,BF=AB=6,此时AQ+CQ=AQ+CQ=FQ+CQ=CF,AQ+CQ取得最小值， .:AB=6,△ABC是等腰直角三角形， ∴.AH=HC=BH=3, ∴.HF=9, ∴.CF=V32+92=3V101 617 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .AQ+CQ=AQ+CQ=FQ+CQ=CF=3/10, ∴.AQ+CQ的最小值为3V10 当△PCQ在PC左边时，当点A与点Q重合时，AQ+CQ的值最小，即为线段AC的长， B ,'AB=6,△ABC是等腰直角三角形， ∴.AC2+BC2=AB2, ∴.2AC2=36, ∴.AC=3V2, ∴.AQ+CQ的最小值为32， .3V2<3V10 ∴.AQ+CQ的最小值为3V2 综上所述：AQ+CQ的最小值为3/2.(12分) 717