小题精练38 条件概率与全概率公式（突破练）-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

小题精练38　条件概率与全概率公式(突破练) (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·东城区模拟]袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回，则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为(　　) A. B. C. D. 2.[2025·龙岩模拟]已知事件A，B满足：P(AB)＝，P(A|B)＝，则P(B)＝(　　) A. B. C. D. 3.[2025·绵阳模拟]袋子中有9个除颜色外完全相同的小球，其中5个红球，4个黄球.若从袋子中任取3个球，则在摸到的球颜色均不同的条件下，最终摸球的结果为2红1黄的概率为(　　) A. B. C. D. 4.[2025·宿迁模拟]某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%.已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品的概率为(　　) A. B. C. D. 5.[2025·合肥模拟]已知事件A，B满足：P(B)＝，P(|A)＝，P(|)＝，则P(A)＝(　　) A. B. C. D. 6.[2025·济宁模拟]若事件A，B互斥，P()＝，P(AC)＝，P(A∪B|C)＝，则P(B|C)＝(　　) A. B. C. D. 7.[2025·广州模拟]数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数a，n(n≥2)，若存在一个整数x，使得n整除x2－a，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数a，记事件A＝“a与12互质”，B＝“a是12的二次非剩余”，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 8.[2025·上饶模拟]越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查数据显示，A，B两个地区分别有3%，8%的人参加户外极限运动，两个地区的总人口数的比为2∶3.若从这两个地区中任意选取一人，则此人参加户外极限运动的概率为p1；若此人参加户外极限运动，则此人来自A地区的概率为p2，那么(　　) A.p1＝，p2＝ B.p1＝，p2＝ C.p1＝，p2＝ D.p1＝，p2＝ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·南京模拟]设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝，P(B)＝，P(A＋)＝，则(　　) A.P(A)＝ B.P( )＝ C.P(|A)＝ D.P(|B)＝ 10.[2025·焦作模拟]甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A，B，C三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A，B，C的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A，B，C时，该项目达标的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是(　　) A.该项目达标的概率为0.68 B.若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54 C.若该项目达标，则甲负责工序A的概率为 D.若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为 11.[2025·杭州模拟]盒中有编号为1，2，3，4的四个红球和编号为1，2，3，4的四个白球，从盒中不放回的依次取球，每次取一个球，用事件Ak表示“第k次首次取出红球”，用事件Bk表示“第(k＋1)次取出编号为1的红球”，用事件Ck表示“第(k＋1)次取出编号为1的白球”，则(　　) A.P(B1|A1)<P(C1|A1) B.P(B2|A2)＝P(C2|A2) C.P(B3|A3)>P(C3|A3) D.P(B4|A4)<P(C4|A4) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·西城模拟]银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第2次按对的概率是________. 13.[2025·张家口模拟]托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P(Ai|B)＝，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中P(Aj)P(B|Aj)称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为________. 14.[2025·广州模拟]在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知甲选择了1号箱，用Ai表示i号箱有奖品(i＝1，2，3，4)，用Bi表示主持人打开i号箱子(i＝2，3，4)，则P(B3|A1)＝________，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为________. 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 小题精练38条件概率与全概率公式（突破练） 1.A[在第一次摸到黄球的前提下，此时袋中有：6个黄球，3个红球，共9个球， 所以所求概率为P=69=23.故选A.] 2.A[由P(AB)=P(B)PAB)得P(B)=P(AB)P(AB)=1349=13X94=34, 故选A] 3.B「记摸到的球颜色不同为事件A,摸到2红1黄为事件B, 则P(BA)=n(AB)n(A)=251415242514CCCC+CC=4030+40=47.故选B.] 4.A[记事件A表示甲车间生产的产品，记事件B表示乙车间生产的产品， 记事件C表示丙车间生产的产品，记事件D表示抽取到次品， 则P(A)=0.2,P(B)=0.35,P(C=0.45,P(D4)=0.05,PDB)=0.04,PDC=0.02, 取到次品的概率为P(D)=P(A)PDA)+PB)P(DB)十P(C)P(DC) =0.2×0.05+0.35×0.04+0.45×0.02=0.033,故选A.] 5.B[因为P(B)=23,所以P()=1-P(B)=1一23=13，设P(4)=x, 则P()=1-PA)=1-xP()=P4)十P()=P(A)P(4)十P(1) P()=45x+151一x)=35x+15=13,所以x=29.故选B.] 6.D[因为P()=23,所以P(C=13,因为事件A,B互斥， P(AUBC)=P(AIC)+P(BC)=P (AC)P(C)+P(BC)=11513+P(BC)=910 ,所以P(BC=710,故选D] 7.C[在1到20中与12互质的有1,5,7,11,13,17,19，即A={1,5,7, 11,13,17,19}; 由二次剩余的定义，假设a是12的二次非剩余，则x2一a12=整数的整数x不存 在， 当a=1时，x=1,当a=13时，x=5,当a=5,7,11,17,19时，x不存在， ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 即A∩B={5,7,11,17,19},由事件A中有7种情况，事件A∩B有5种情况， 所以P(BA)=57.故选C.] 8D[设M=“此人参加户外极限运动”，R=“此人来自A地区”，S=“此人 来自B地区”. 依题意，P(R)=25,P(S=35,PMR)=3100,PMS)=8100,则P1=P0=P MR)+PMS)=PMR)P(R)+PMSP(S)=3100×25+8100X35=30500=350;P2 =P(R0=P(RM)P(M)=P(MR)P(R)P(M)=325350=15.故选D.] 9.ACD[P4+)=P(A)+P()-PA)=12+13-P4)=34,P(A)=112, 故A对. :P()=P()十P4),.13=P()十112，P()=14,故B错. P(A)=B-P(A)=11212=16,故C对： .P(B)=P(B)十PAB)=P(B)十P(A)-P(A), ∴.23=P(B)+12-112,∴.P(B)=14,P(B)=A-P(B)=1423=38,故D 对.故选ACD.] 10.ACD[记甲负责工序A为事件M1,甲负责工序B为事件M2,甲负责工序C 为事件M,该项目达标为事件N.对于选项A,该项目达标的概率为 P)=PM1)PWM)+PM2)PNM2)+PM3)PNM3)=0.5×0.6+0.3×0.8+0.2× 0.7=0.68,故选项A正确： 对于选项B,PWM+M2)》= P(M1)P(NM1)+P(M2)P(WM2)P(M1)+P(M2)=O.5×0.6+0.3× 0.80.5+0.3=0.675,故选项B错误； 对于选项C,PM1W)=P(M1)P(NM1)P(N)=0.5×0.60.68=1534,所选项 C正确； 对于选项D,PM1)=N-N-)=0.5×(1-0.6)1-0.68=58,所以选项D正确， ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 故选ACD.] 11.ABC[对于A:依题意P(A1)=48=12,P(B1A1)=P(B1A1)P(A1)=1328AA12 =328,P(C1A1)=P(C1A1)P(A1)=1428AA12=428=17, 即PB1A1)P(C1A),故A正确； 对于B:P(B2A2)=P(B2A2)P(A2)=141338AAAP(A2),P(C2A2)=P(C2A2) P(A2)=131438AAAP(A2),所以P(B242)=P(C2A2),故B正确； 对于C:PB3A3)=P(B3A3)P(A3)=241348A·AAPA3)=4836AP(A3), P(C343)=P(C3A3)P(A3)=231448AAAP(A3)=4824AP(A3),所以P (B3A3)）>P(C3A3),故C正确； 对于D:P(B4A4)=P(B4A4)P(A4)=341358A·AAP(A4)=5872AP(A4), P(C4A4)=P(C4A4)P(A4)=331458AAAP(A4)=5824AP(A4),所以P (B4A4)>P(C4A4),故D错误.故选ABC.] 12.14[记事件A:第一次没有按对密码；事件B:第二次按对密码. .P(A)=45,P(AB)=45X14=15,.P(BA)=P(AB)P(A)=14.] 13.25[设小红取出2个球，其中红球的个数为=0,1,2个的事件为A,设小 兰取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为B,由题意可得：P(4o)=240428CCC =314,P(BA)=042226CCC=115:PA1)=141428CCC=47,P(BA1)=032326CCC =15;P(A2)=042428CCC=314,P(B42)=022426CCC=25:则P(A2B)= P (A2)P (BA2)P (A0)P (BA0)+P (A1)P (BA1)+P (A2)P(BA2) = 3253141325=25,所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概 率为25] 14.1338「事件B341表示奖品在1号箱，甲选择了1号箱，主持人可打开2,3， 4号箱，则P(B3A1)=13; 若奖品在1号箱，其概率为14，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概 率为0： 若奖品不在1号箱，其概率为34，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的1个， 若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为12， 故若抽奖人更改选择，其中奖的概率为p=14×0+34×12=38] ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究