小题精练36 计数原理-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

小题精练36　计数原理 (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·南通模拟]某志愿者小组有5人，从中选3人到A，B两个社区开展活动，其中1人到A社区，则不同的选法有(　　) A.12种 B.24种 C.30种 D.60种 2.[2025·菏泽模拟]在的展开式中，x2的系数为(　　) A.80 B.240 C.1 600 D.2 400 3.[2025·太原模拟]如图，16颗黑色围棋子构成4×4的正方形网格，从其中任选3颗互相连线，可以围成不同的三角形的个数为(两个三角形中至少有一个顶点不同即认为是不同的三角形)(　　) A.576 B.528 C.520 D.516 4.[2025·安康模拟](x＋2)(x－3)6的展开式中x3的系数为(　　) A.135 B.－135 C.2 295 D.－2 295 5.[2025·合肥模拟]高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有A，B，C，D，E五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是A，B，C三位同学，但A不是第一名，D，E两名同学只知道在6至9名，且D的成绩比E好，则这5位同学总分名次有多少种可能(　　) A.6 B.12 C.24 D.48 6.[2025·苏州模拟]记M＝“720的不同正因数的个数”，N＝“(1＋x－y)5的展开式中x2y2项的系数”，则(　　) A.2M－N＝0 B.M－N＝0 C.M－N>0 D.M＋N<0 7.[2025·石嘴山模拟]二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为(　　) A.A种 B.AA种 C.AA种 D.AA种 8.[2025·南京模拟]中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)均为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)，如8和23被5除得的余数都是3，则记8≡23(mod5).若a≡b(mod10)，且a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，则b的值可以是(　　) A.4 021 B.4 022 C.4 023 D.4024 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·南通模拟]某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以A，B，C，D，E，F，G，H区分，现安排专家发言顺序，则(　　) A.F专家和C专家发言中间必须间隔1个人，共有AA种排法 B.E专家和G专家发言不相邻，共有AA种排法 C.A，B，C三位专家的发言必须相邻，共有720种排法 D.D专家不第一个发言，H专家不最后一个发言，共有A＋CCA种排法 10.[2025·衡水模拟]已知(m＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，(x－1)(m＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5，其中m∈R，m≠0.若a2＝3b2，则(　　) A.m＝2 B.a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝81 C.b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝－16 D.b1＋2b2＋3b3＋4b4＋5b5＝80 11.[2025·青岛模拟]我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是(　　) A.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B.1＋C＋C＋C＝C C.第2 024行的第1 012个数最大 D.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2∶11 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·石家庄模拟]将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数)，记第1行中最大的数为a，第2行中最大的数为b，第3行中最大的数为c，则a<b<c的填法共有________种. 13.[2025·西安模拟]在学习完二项式定理的相关知识后，老师要求同桌之间相互出题进行考查，为了区别于课例中的问题，小明提出如下题干：“已知(3x－4)7＝ i(3x－2)i，基于上述题干，则a3＝________. 14.[2025·泰州模拟]将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”.若单位圆上n个颜色不相同且位置固定的点经过k次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”，并将所有满足“条件T”的图形个数记为T(n，k)，则T(5，4)＝________. 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 小题精练36计数原理 1.C[不同选法种数需2步，先从5人中选1人去A社区，再从余下4人中选2 人去B社区，所以不同的选法有C15C24=30(种).故选C.] 2.D[(20x2+1x)4的展开式的通项为：T,+1=Cr4(20x2)4-(1xy=Cr4204-'x8-3r, 令8一3r=2,解得：r=2,故x2的系数为：C24202=2400.故选D.] 3.D「在从16颗棋子中任选3颗的方法数C316,去掉有4颗棋子在一条直线上 的10种情形下的方法数10C34和恰有三颗棋子在一条直线上的4种情形下的方 法数4C33,即得可围成的不同的三角形的个数，为C316一10C34一4C33=516.故 选D] 4.A[因为(x一3)的展开式中xk的系数为C6一k6(一3)-k,k=0,1,…,6,所 以(x+2)x一3)的展开式中x3的系数为C46×(-3)4+2C36×(一3)3=135.故选A.] 5.C[第一步排A有两种可能：第2名或第5名；第二步排B和C有两种可能： 第三步排D和E,D有6,7,8位三种可能；当D为第6名时，E有7,8,9名 三种可能，当D为第7名时，E有8,9名两种可能，当D为第8名时，E只有 第9名一种可能，所以第三步的总数为3十2十1=6种，故所有名次排位的总数= 2×2×6=24种.故选C.] 6.B[因为720=24×32×5，所以720的约数有5×3×2=30个，即M=30, 又(1十x一y)5展开式的项可以看作从5个盒子中取出一个元素相乘，每个盒子中 均有1，x,一y,要得到x2y2,需从2个盒子中取出x,2个盒子中取出一y,1个 盒子中取出1， 所以N=C25C23=30,所以M=N,即M-N=0.故选B.] 7.D[二项式(6x+13x)6的展开式的通项公式为：T,+1=Cr6(6x)-'(13xy =Cr6x1-r2, 令1一r2∈Z,得r=0,2,4,6,所以展开式中的有理项有4项，把展开式中的 项重新排列，先把3项无理项全排列，再把4项有理项插入形成的4个空中，所 以有理项互不相邻的排法种数为A33A44种.故选D.] 8.A[a=C020+C1202+C22022+…+C2020·220=(1+2)20=320=910=(10 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 1)10 =C0101010+C110109(-1)+C210108.(-1)2+…+C1010(-1)10 =10[C010109+C110108.(-1)+C210107(-1)2++C910(-1)]+1,即a被 10除得的余数为1，结合选项可知只有4021被10除得的余数为1.故选A] 9.BD[先排剩下的六人，有A66种，两人之间必须间隔一个人，有6×A22种， 总共有6A66A22种，故A错误； 若E,G不相邻，剩余6人排列方法数为A66形成7个空，则E,G填入7个空 的方法数为A27,所以共有A66·A27种排法，故B正确； 先排列A,B,C三位专家则有6种排列方法，三人形成整体与剩余5人再进行全 排列，则方法有A66种排列方法，所以共有6A66=4320种方法，故C错误； 分成两类情况，一是H排在第一，则此类情况下排法有A77种，二是H排在除 第一位和最后一位之外的某一位置，有C16C16A66种方法，则共有A77+ C16C16A66种排法，故D正确.故选BD.] 10.AB[二项式(m十x)展开式的通项为T,+1=Cr4m4-x(0≤r≤4且r∈N), (x-1)(m+x)4=x(m+x)4-(m+x)4, 所以a2=C24m2=6m2,b2=C14m3-C24m2=4m3-6m2, 因为a2=3b2,所以6m2=3(4m3-6m2),解得m=0(舍去)或m=2,故A正确； 由(2+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4=34=81, 故B正确； 由(x-1)2+x)4=b0十b1x+b2x2+b3x3+b4x4+bsx5,令x=0可得b0=-24=-16, 令x=1可得b0+b1+b2+b3+b4+b5=0,所以b1+b2+b3+b4十b5=16, 故C错误； 将(x一1)2十x)4=bo+b1x+b2x2+b3x3+b44+bsx5两边对x求导可得， (2+x)4+4-1)2+x)3=b1+2b2x+3b3x2+4b4x3+5bsx4, 令x=1可得b1+2b2+3b3+4b4+5b5=(2+1)4+4(1-1)2+1)3=81,故D错误.故 选AB.] 11.ABD[对于A:第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1,7,28， 其和为1+7十28=36；而第9行第8个数字就是36，故A正确： 对于B:因为1+C15+C26+C37=1+5+6×52×1+7×6×53×2×1=56,C38=8 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ×7×63×2×1=56, 所以1十C15+C26+C37=C38,故B正确： 对于C:由图可知：第n行有n十1个数字，如果n是偶数，则第n2+1(最中间的) 个数字最大；如果n是奇数，则第n十12和第n十12十1个数字相等且最大， 所以第2024行的第1013个数最大，故C错误； 对于D:依题意：第12行从左到右第2个数为C112=12,第12行从左到右第3 个数为C212=66,所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为12：66= 2:11,故D正确；故选ABD.] 12.60480[第3行，c=9,可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有 C13A28种情况.第2行，取剩下6个数中最大的数为b,可选的位置有3个，其 余2个位置任取2个数，共有C13A25种情况， 第1行，剩下3个数任意排列，则有A33种情况，故共有C13A28C13A25A33= 60480种填法.] 13.560[由题意可知：(3x一4)7=（一2+3x-2)7,其通项公式为： T,+1=Cr7(-2)7-(3x-2y,r=0,1,2,7,则a3=C37(-2)7-3=560.] 14.125[T(5,4),即n=5,k=4.如图， 图】 在单位圆上有5个颜色不同的点，由4条边连接起来，每条边有2个端点，所以 4条边一共有8个端点，又由于从任意一点出发，沿着边可以达到任意一点，所 以每一点必定会作边，且至少作一条边的端点，所以可能出现的情况有三种，按 照5个点可能同时作几条边的公共端点来分情况讨论. 情形1（如图1）：有3个点是2条边的端点，另2个点是1条边的端点，有55A2 =60种； ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 图2 情形2（如图2）：有1个点是3条边的端点，有1个点是2条边的端点，另3个点 是1条边的端点，有55A2=60种； 情形3（如图3）：有1个点是4条边的端点，另4个点是1条边的端点，共有C15 =5种； 图3 综上：T(5,4)=60+60+5=125.1 ·独家授权侵权必究·