小题精练31 双曲线-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

小题精练31　双曲线 (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·西城模拟]若双曲线－y2＝1(a>0)的离心率为，则a＝(　　) A.2 B. C.1 D. 2.[2025·安康模拟]双曲线－＝1的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±2x D.y＝±x 3.[2025·海淀模拟]若双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点到焦点(－，0)的距离比到焦点(，0)的距离大b，则该双曲线的方程为(　　) A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.x2－＝1 D.x2－＝1 4.[2025·长沙模拟]已知双曲线E：－＝1(b>0)的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为(　　) A. B. C.2 D. 5.[2025·盐城模拟]已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且|AB|＝6，则△F1AB的周长为(　　) A.20 B.22 C.28 D.36 6.[2025·杭州模拟]将双曲线－＝1绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数y＝的图象(其渐近线分别为x轴和y轴)，所以我们也称反比例函数y＝的图象为双曲线.同样“对勾函数”y＝x＋也能由双曲线的图象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 7.[2025·保定模拟]已知双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝2x－m与C相交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的3倍，则m＝(　　) A. B.4 C.或4 D.或2 8.[2025·永州模拟]已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，＝3，BF2平分∠F1BC，其中一条渐近线与线段AB交于点P，则sin∠POF2＝(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·泉州模拟]已知双曲线C：－x2＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，上、下焦点分别为F1，F2，则(　　) A.C的方程为－x2＝1 B.C的离心率为2 C.若点A(x0，y0)为双曲线C上支上的任意一点，P(2，0)，则|PA|＋|AF2|的最小值为2 D.若点M(2，t)为双曲线C上支上的一点，则△MF1F2的内切圆面积为2π 10.[2025·深圳模拟]在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1(－，0)和F2(，0)连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝k(x－2)与曲线E交于A，B两点，则(　　) A.曲线E的方程为－y2＝1(x≠±) B.曲线E的焦距为2 C.满足|AB|＝2的直线l有2条 D.若k＝－，则直线l与曲线E有两个交点 11.[2025·新乡模拟]如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，点A在C上，点B在y轴上，A，F2，B三点共线，若直线BF1的斜率为，直线AF1的斜率为－，则(　　) A.C的渐近线方程为y＝±x B.|AB|＝16 C.△ABF1的面积为16 D.△AF1F2内切圆的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·烟台模拟]已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，其右焦点为F，若直线y＝kx与Γ在第一象限的交点为P且PF⊥x轴，则实数k的值为________. 13.[2025·青岛模拟]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|＝2.又以双曲线的顶点为圆心，半径为2的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为________. 14.[2025·信阳模拟]关于双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，四位同学给出了四个说法： 小明：双曲线C的实轴长为8; 小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3； 小强：双曲线C的离心率为；小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1； 若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是________；双曲线C的方程为________.(第一空的横线上选填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”) 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 小题精练31双曲线 1.C[由题意b=1,双曲线的离心率e====,所以a=1.故选CJ] 2.A[由-=0，得y2=2x2,所以y=x,即双曲线的渐近线方程为y=x.故选 A.] 3.D「由题知c=,根据题意，由双曲线的定义知2a=b,又a2+b=c2,所以 5a2=5,得到a2=1,b2=4,所以双曲线的方程为x2-=1,故选D.] 4.A[由题意可知，双曲线焦点在x轴，a=2,右焦点F(c,0)到渐近线y=x的 距离d==b,所以b=1,c=,e==.故选A.] 5.C[由题意知AF-AF2=2a=8,BF-BF2=2a=8, 所以AF+BF-AF-BF=AF+BF-AB=16, 又AB=6,所以AF+BF1=22, 所以△FAB的周长为AF1+|BF1+AB=28.故选C.] 6.D[旋转后两条渐近线分别为y=x和x=0,夹角为60°，旋转前后两条渐近线 的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线，所以旋转后，双曲线 的实轴所在直线的倾斜角为60°，斜率为，方程为y=x,联立解得或所以旋转后 的双曲线的两个顶点为(，或(-，-)， 所以实轴长为=2.故选D.] 7.B[依题意，双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F(-,0),F2(,0), 设F,到直线AB的距离为d,F2到直线AB的距离为d,则山=，d=,因为 △FAB的面积是△F2AB面积的3倍，所以d=3d2, 即-2-m=32-m,解得m=或4，联立方程组整理得3x2-4mx+m2+1=0, 则4=16m2-12(m2+1)>0,解得m2>3,所以m=4.故选B.] 8.B[如图，.CB=3F2A,∴.△FAF2∽△FBC,FF=2c,CF=4C,设AF= t,则BF=3t,AB=2t, 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 .BF2平分∠FBC,.==2,BC=2BF=6t,AF=BC=2t,由双曲线定义 可知AF2-AF1=t=2a,BF1-BF2=2a, ∴.BF2=AF2=AB=4a,即∠ABF2=60°，在△FBF2中，由余弦定理知 CoS∠FBF2== ,化简得c=a,由2+b2=c2得=，令一条渐近线与线段AB的交点P在第一象 限，则tan∠POF2=, ∴.sin∠POF2==故选B] 9.BC[对于A,双曲线C:-x2=1(a>0)的渐近线方程y=±ax, 则a=, 于是双曲线C的方程为3y2-x2=1,A错误； 对于B,双曲线C的离心率e==2,B正确； 对于C,F(0,),F2(0,-),IPA+AF2=IPA+AF+2a≥PF+=+=2,当 且仅当点A为线段PF与双曲线上支的交点时取等号，C正确， 对于D,由点M(2,)在双曲线上支上，得t=,S△M2=FF2=, △MFF2的周长MF1+MF2+FF2= ++=,设△MF,F2的内切圆半径为r,则S△M2=Xr=,解得r=,因此 △MF2的内切圆面积为，D错误.故选BC] 10.AC对于A:设点P(x,y),由已知得·=，整理得-y2=1, 所以点P的轨迹曲线E的方程为-y2=1(x≠±)，故A正确； 对于B:a2=3,b2=1,∴.c2=4,焦距为2c=4,故B不正确； 对于C:直线1与曲线E的方程联立 整理得(1-3)x2+122x-12K2-3=0,设A(c1,y1),B(x2,y2), ◆独家授权侵权必究 西学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+敦辅专家 4=1444-4(1-3k2)(-12k2-3)=12(2+1)>0,且1-32≠0， 则有x1+x2=,xx2=, 所以4B=·=·=,要满足AB=2,则需=2，解得k=0或k=±1， 当k=0时，A(,0),B(-,0),而曲线E上：x≠±，从而k=0不满足题意， 当k=±1时，直线1不过F(-,0)和F2(,0)两点，故满足题意，所以满足条件 的直线有2条，故C正确： 对于D:曲线E的渐近线为y=±x,直线y=·(x-2)经过焦点(2,0)，与渐近线 平行，且不经过（±，0），则有一个交点，故D不正确故选AC] 11.ABD[对于A,依题意，直线BF的斜率为，所以∠BFF2=,又BF1= BF2,所以△BFF2为等边三角形，故BF=IBF2=IFF2=2C=6,∠BF2F1=,在 △AFF2中，tan∠F2FA=>0,∠F2FA为锐角，∴.sin∠F2FA=,cos∠F2FA=, 所以sinA=sin(-∠FFA)=X-×=,根据正弦定理可得==，即==，解得 AF=14,AF2=10, 所以2a=4,即a=2,b==,所以双曲线C的方程为-=1， 对于A,B,双曲线C的渐近线方程为y=x,AB=6+10=16,故AB正确； 对于C,△ABF,的面积为BFABIsin=X6×16Xsin=24,故C错误； 对于D,△AFF2的面积为×6×14×=15，所以△AFF2内切圆的半径为=，故D 正确.故选ABD] 12.[因为双曲线厂：-=1(>0，b>0)的渐近线方程为y=x,依题意有=，即 b=a→c=2a,又右焦点为F(c,0), 且PF⊥x轴，所以P(c,),所以k=kop====.] 13.2[令FF2=2c,依题意，c2=a2+b2=(2)2,解得c=2,显然1AF2=AF+ 2a=2+2a,|BF2=BF-2a=2-2a,AB|=AF2-|BF2=4a, 而∠FAB=∠FBA,于是cOS∠FAF2===,在△AFF中，由余弦定理FF= AF+AF22-2AFAF2COs ZFAF2, 独家授权侵权必究 学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 得(4)2=20+(2+2a2-2×2×(2+2a)×,解得a2=2,即a=,所以双曲线的离 心率为=2] 14.小强 -=1 [由题意，小明正确则有α=4，小红正确有b=3,小强正确有 =,小同正确则有c-a=1, 由此分析小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定 是正确的，即c-a=1,则小明和小红正确，即双曲线C:-=1,故小强的说 法错误，] ◆独家授权侵权必究