小题精练40 二项分布、超几何分布与正态分布-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

小题精练40　二项分布、超几何分布与正态分布 (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·洛阳调研]已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，)，即P(ξ＝2)等于(　　) A. B. C. D. 2.[2025·南京模拟]一批零件共有10个，其中有3个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为(　　) A. B. C. D. 3.[2025·厦门模拟]已知随机变量X～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.3，则P(X≤3)＝(　　) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 4.[2025·泰安模拟]若随机变量X～B(10，0.7)；随机变量Y～B(10，0.8)，则下列结果正确的有(　　) A.E(X)＝0.7，E(Y)＝6.4 B.D(X)＝0.21，D(Y)＝1.6 C.P(X＝3)＝C0.73×0.37 D.P(Y＝3)＝C0.87×0.33 5.[2025·青岛模拟]某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 X 服从正态分布 N(100，σ2)，已知 P(90<X≤100)＝0.1，则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为(　　) A.784 B.490 C.392 D.294 6.[2025·长沙模拟]若X～B，则当k＝0，1，2，…，100时(　　) A.P(X＝k)≤P(X＝50) B.P(X＝k)≤P(X＝32) C.P(X＝k)≤P(X＝33) D.P(X＝k)≤P(X＝49) 7.[2025·江西质检]若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3.为了解使用新技术后的某果园的亩收入(单位：万元)情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值＝3.2，样本方差s2＝1.44.已知该果园使用新技术前的亩收入X(单位：万元)服从正态分布N(2.8，1.44)，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) A.P(X<4)>P(Y>2) B.P(X<4)＋P(Y>2)<1.68 C.P(X<4)<P(Y>2) D.P(X<4)＋P(Y>2)>1.68 8.[2025·杭州模拟]传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法.设s是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m次，每次接收端收到的信号Xi＝s＋εi(i＝1，2，3，…，m)，其中干扰信号εi为服从正态分布N(0，σ2)的随机变量，令累积信号Y＝Xi，则Y服从正态分布N(ms，mσ2)，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如X1的信噪比为，则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的________倍(　　) A. B.m C.m D.m2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·东莞模拟]下列结论正确的是(　　) A.已知随机变量X～B(n，p)，若D(X)＝20，E(X)＝30，则p＝ B.若随机变量η服从正态分布N(5，σ2)，且P(η<2)＝0.1，则P(2<η<8)＝0.8 C.从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为X，则E(X)＝ D.若随机变量X服从二项分布B，则X的分布列可表示为P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，3，4 10.[2025·成都模拟]已知X，Y都是服从正态分布的随机变量，且X～N(μ1，σ)， Y～N(μ2，σ)，其中μ1，μ2∈R，σ1，σ2∈R＋，则下列命题正确的有(　　) A.E(X)＝μ1 B.D(X)＝σ1 C.若μ1＝2，σ1＝1，则P(X≤1)＋P(X≤3)＝1 D.若μ1＝μ2＝0，σ1＝2，σ2＝3，则P(|X|≤1)>P(|Y|≤1) 11.[2025·聊城模拟]中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为X.另一随机变量Y～N(4，1)，则(　　) A.D(2X＋1)＝1.6 B.E(X)＝E(Y)，D(X)≥D(Y) C.P(X≤4)>P(Y≥4) D.P(X＝k)随k的增大先增大后减小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·福州模拟]某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.6，50.4)的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50，0.16)；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50，0.04).那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为________.(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<σ)＝0.682 7，P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5， P(|X－μ|<3σ)＝0.997 3) 13.[2025·常州模拟]设随机变量X～B(n，p)，记pk＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.在研究pk的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若(n＋1)p为正整数，当k＝(n＋1)p时，pk＝pk－1，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p不为正整数，则当且仅当k取(n＋1)p的整数部分时，pk取最大值.某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为________的概率最大. 14.[2025·石家庄模拟]几何分布(Geometric distribution)是一种离散型概率分布，定义：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率，即前k－1次失败，第k次成功的概率，因此实验次数k服从几何分布.现甲参加射击考核，甲每次命中的概率为0.68，考核通过的规则为命中即可获得“通过”，故考核通过的射击次数服从几何分布，若每次射击需要一发子弹，则甲至少需要申请________发子弹保证有98%的概率获得“通过”.(参考数据：lg 2≈0.3) 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 小题精练40二项分布、超几何分布与正态分布 1.D[因为随机变量服从二项分布B(6,13),所以P(ξ=2)=C26(13)2(23H =80243.故选D.] 2.C[由题意可知：恰有1个不合格品的概率为P=1317210CCC=715.故选C.] 3.C[随机变量X~N(2,σ2)，PX≤1)=0.3，则PX≥3)=PX≤1)=0.3， 故P(X<3)=1-PX≥3)=0.7，故选C.] 4.C[由XB(10,0.7),Y~B(10,0.8)可知，EX)=10×0.7=7,E(=10×0.8 =8,故A错误； D0=10×0.7×0.3=2.1,D)=10×0.8×0.2=1.6,故B错误； PX=3)=C3100.73×0.37,故C正确； P(Y=3)=C3100.83×0.27,故D错误.故选C.] 5.C[因为X~N(100,o2),且P(90<X≤100)=0.1，所以P(100<X≤110)=P (90<X≤100)=0.1，所以PX110)=0.5-P(100<X≤110)=0.5-0.1=0.4， 又因为高一有学生980人，所以该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约 为980×0.4=392.故选C] 6.C[由题意得：P(X=k)>PX=k-1),P(X=k)≥PX=k+1),) 即k100k-1100k100k+1100C(f1212312123)100-k-1, 化简得：983≤k≤1013，又k为整数，可得k=33,所以PCX=≤P(X=33),故 选C] 7.D[依题可知，=3.2，s2=1.44,所以Y~N(3.2,1.22), 故P(Y>2)=P(Y>3.2-1.2)=P(Y<3.2+1.2)≈0.8413. 因为XN(2.8,1.22),所以P(X<4)=PX<2.8+1.2)≈0.8413， 所以PX<4)=P(Y>2),P(X<4)+P(Y>2)≈1.6826>1.68.] 8.B[由Y服从正态分布N(ms,mc2),则Y的信噪比为(mslr(m)o)2=m(so)2,又接 收一次信号X1的信噪比为(so)2,所以soso=m,所以累积信号Y的信噪比是接收 一次信号的m倍.故选B] 9.BC[对于A,因为随机变量X~B(n,p),DX=20,E)=30,所以p=30, ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 p(1一p)=20,)解得p=f13n=90,故A错误； 对于B,由于n的均值是5，所以P(<5)=0.5,又因为P(2)=0.1,所以P (2<1<5)=0.5-0.1=0.4,则P(2<1<8)=2×P(2<<5)=2×0.4=0.8,所以B正确： 对于C,由于X服从超几何分布，所以E)=MN=2X38=34,所以C正确： 对于D,由于X服从二项分布，所以PX==Ck4(13)(23)4-k,所以D错误： 故选BC] 10.ACD[对于A,由正态分布的期望公式得，E)=41,故A正确； 对于B,由正态分布的方差公式得，D)=o21,故B错误： 对于C,由正态分布的对称性得，PX≤1)=PX≥3)，所以PX≤1)十PX≤3)=P X≥3)十PX≤3)=1，故C正确： 对于D,由山==0,01=2,02=3，则a21=4,o22=9,根据方差的性质知， 方差越小X分布更集中，所以PI≤1)>P(I≤1)，故D正确；故选ACD.] 11.CD[由题意XB(5,0.8),则E)=5×0.8=4,D)=5×0.8×0.2=0.8, 所以D2X+1)=4×0.8=3.2,故选项A错误； X~B(5,0.8),则PX=)=Ck5·0.8k.0.25-k,设当X=(k≥1)时概率最大， 则有P(X=k)≥P(X=k+1),PX=k)≥P(X=k一1)，) 即k5k+15k5k-15C0.8k0.25-2C0.8k+1·0.24-k,C0.8k0.25-≥C0.8k-1 0.26-k,) 解得3.8≤k≤4.8，由k∈Z,所以当X=4时概率最大， 则P(X=0)<PX=1)<P(X=2)<PX=3)<PX=4)>PX=5),即PX=)随k的增大 先增大后减小，故D选项正确： 又Y~N(4,1),则E(Y)=4,D=1,E)=4,DX)=0.8,所以E)=E(),D ()<D(),故选项B错误； PX≤4)=1-PX=5)=1-C550.85.0.25-5=0.67232,又P(Y≥4)=0.5，所以P X≤4)>P(Y≥4)，故选项C正确.故选CD.] 12.0.2718[技术改造前，易知u1=50,o1=0.4,则其优品率为P(49.6<X<50.4) =P(41一O1<X<41十o)=P(X-41<1)=0.6827;技术改造后，其中2=50,2=0.2， 则其优品率为P(49.6<X<50.4)=P(u2-2o2<X<2十2o2)= P(X-41<2o2)=0.9545, 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以优品率之差为0.9545一0.6827=0.2718.] 13.17[继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数X服从二项分布XB(80, 160, 由k=(n十1)p=81×16=816=13.5,结合题中结论可知，k=13时概率最大，即 后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的4次，所以出现 17次的概率最大.] 14.4设甲申请了n发子弹，则能获得“通过”的概率 P=0.68+0.68×0.32+0.68×0.322+…+0.68×0.32m-1=1-0.32"，令1-0.32"≥ 0.98,即0.02≥0.32”，即2100≥(32100y,两边取以10为底的对数得1g2100≥1g (32100)”,即1g2-2≥n1g32-2),即1g2-2≥n(51g2-2),即n≥lg2-25g2-2 ≈0.3-21.5-2=175=3.4，故n≥4.] ·独家授权侵权必究