小题精练18 平面向量中的最值范围问题（突破练）-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 小题精练18平面向量中的最值范围问题（突破练） 1.D[因为a=(1,0),b=(cos0,sin),则a+b=(1+cos0,sin),可得a+b |=(1+cos0)2+sin20=2十2cos0,因为0∈-f(ππ2)，则2+2cos0∈[2,2]， 所以a十b的取值范围是[2,2].故选D] 2B[由=“+x可得12=(+=P+92+2x. =1+2x2+2x×1X2c0s45°=2x2+2x+1=2(x+12)2+12,因x∈R,故x=-12 时，|2min=12,即1的最小值为2)2.故选B.] 3.C[因为向量a,b的夹角为2π3，且d=2bl=4,则ab=a bcos.2π3=-4， 可得(a+b)2=a2+2tab+t2b2=42-8t+16=4(t-1)2+12≥12，当且仅当t=1时， 等号成立，所以a十tb(t∈R)的最小值是23.故选C.] 4.B【由投影向量的定义可知，当P在CD上时，.取得最大值， 延长DC交AB的延长线于点T,·的最大值为ABAT, 其中正八边形的外角为360°：8=45°，故AB=BC=2,∠CBT=45°， 故BT=2c0S45°=2，AT=AB+BT=2+2,故AB:AT=2(2+2)=4+22, 所以.最大值为4十22.故选B.] 5.C[因为a+b=a-2b,所以a+b2=a-2b2, 则ad2+2b+b12=d2-4ab+4b2,即b2=2ab≤2ab1. 又b为非零向量，b=12. 所以d≥12b=14,所以d的最小值为14，@无最大值.故选C.] ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 6.D[以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0),B(2,0),C(1,2),D0,2),E32,1),Fx,2)0≤x≤1)，所以= (32,1,=6,2),.=32x+2. 因为x的取值范围是0,1小，所以·的取值范围是2,72).故选D.] 7.B[设=2，=2+μ（≥0，u≥0且λ十2=2）， 则=2+μ≥0，u≥0且2十u=1),则P在线段9B上，如图所示，当P 与Q重合时，一在”上的投影向量的长度取得最大值，最大值为C4=1: 当P与B重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为12CB=2) 2; 则在上的投影向量的长度的取值范围是[2)2,1].故选B.] 8.B[因为a=bl=4,c=2,ab=-8,且c=a+ub(2∈R,u∈R), 所以c2=(1a+b)2=2a2+u2b2+21ab=1622+16u2-16=4, 所以(21-)2+32=1，令21-u=cos0,3=sim0, 所以21+u=cos0+3)3sin0=21)3sin(0+p),其中cosp=7)7, sinp=21)7, 所以2λ+u∈[-21)3,21)31， ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 即21十u的取值范围是[一21)3,21)31.故选B] 9ABC【广=3，即-=3-，得=14+34，由=克，= ，→→ u0,心0)，有=1n,=1u,则=14+34u,由P,D,0三 点共线，有141十34μ=1，所以有31+u=4u,A选项正确； >0,心0,142+34u=1≥2134μ，得u≥34， 当且仅当1=12，u=32时等号成立， 所以u的最小值为34，B选项正确： +u=(+)八avs4alco1f134)=u42+324u+1≥234μ+1=3)2+1，当且仅 当u4见=3孔4，即见=3)十14，u=3)4时等号成立，所以2十u的最小值为1十3)2，C 选项正确，D选项错误.故选ABC] 10.BCD[如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设DE=BF=x(O≤x ≤4)，则C(2,4),E(0,4-x),F(5-x,0),=(-2,一x),=(3-x,-4), =(5-x,x-4), 对于AB,.=2x一6十4=6r-6∈[一6,18】，故A错误，B正确： A 对于C,一.=2x-10-2+4=-2+6x-10=-x-3P-1, 当x=3时，·取得最大值，且最大值为一1，故C正确； 对于D,△CEF的面积S=2+52×4一2x2一4x2一(4一x)(5一x)2 =-12x2+32x+4=-121als4alco1x-f32)2+418,当x=32时，S取得最大 值，且最大值为418，故D正确.故选BCD.] ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 11.BCD「以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，所以B(0,2),A(2,0), 设∠EOA=0, 则E(2cos0,2sin)(0∈[0，π2])， =(2cos0,2sin60,=(-2,2), 所以.=4sin0-4eos0=42sin(0-n40, 因为0∈[0，π2]，所以0-π4∈[-π4，π41， 所以sim(0-π40∈[-2)2,2)21，所以·∈[-4,4，·的最小值为-4，故 A错误； =(2-2cos0,-2sim),=(-2cos0,2-2sim0), 所以·=-4cos0+4cos20-4sin0+4sin20=4-42sin(0+π4)，因为6∈[0，π21， 所以0+π4∈[π4,3π4，所以sin(0+π4)∈[2)2,1]，所以4-42sin(0+π4)∈[4-42 ，,01,一.∈4-42,01，一.一的最小值为4-42，故B正确： 因为CD=1,设C(t,0)t∈[0,1]D,所以OD=1-t2, 可得D0,1一t2), =(t-2cos0,-2sim0),=(-2cos0,1-t2-2sim0), 所以.一=-2icos0+4eos29-21-12sin0+4sin29=4-2tcos0+1-12sin)= 4-2sin(0+p),其中cosp=1-t2,sinp=t,又t∈[0,1]，所以cosp,sinp∈[0， 1],所以p∈[0，π2]，p+0∈[0，，sin(p+0)∈[0,1]，-sin(p+)∈[-1,0]， ·独家授权侵权必究。 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以.一∈2,41， .的最小值为2，最大值为4，故C,D正确故选BCD】 120,21广=(+)=+= -cos〈，)+1. 因为-1≤cos《,一)≤1，所以0≤.一≤2，即.广的取值范围为0,21川 13.120[由圆的对称性可得O为MN的中点，所以=12(+)=12a十12b =1a+12b,所以2=12. 因为=-，所以ab=(+)(-)=2-2=4- 2 所以当|取得最大值2时，b的最小值为0.] 14.[-1,0][如图，过P作PM∥AO,交OE于M,作PN∥OE,交AO的延长 线于，则=一+，又因为一=x+y,y=2,则点M为E中点，又B 是AC的中点，所以CM∥OA,则点P在CM上， ON O 由图形看出，当P与C重合时=一十2，此时x取最小值-1， 当P与M重合时=0·十2，此时x取最大值0，所以x的范围是[一1,0]] ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究 小题精练18　平面向量中的最值范围问题(突破练) (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·天津南开区模拟]已知向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　) A.[0，] B.(1，] C.[1，2] D.[，2] 2.[2025·泰州模拟]在平行四边形ABCD中A＝45°，AB＝1，AD＝，若＝＋x(x∈R)，则||的最小值为(　　) A. B. C.1 D. 3.[2025·沈阳模拟]已知向量a，b的夹角为，且|a|＝2|b|＝4，则|a＋tb|(t∈R)的最小值是(　　) A. B.3 C.2 D.2 4.[2025·泰州模拟]窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则·的最大值为(　　) A. B.4＋2 C.2＋ D.2 5.[2025·石家庄模拟]若非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－2b|，|b|＝，则(　　) A.|a|的最大值为 B.|a|的最大值为1 C.|a|的最小值为 D.|a|的最小值为1 6.[2025·泸州模拟]在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝AB＝2DC＝2，E为BC的中点，F为DC上的动点(含端点)，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7.[2024·河北二模]△ABC是等腰直角三角形，其中AB⊥AC，||＝1，P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋μ(λ≥0，μ≥0且λ＋2μ＝2)，则在上的投影向量的长度的取值范围是(　　) A. B. C.[1，] D.[，2] 8.[2025·福州模拟]已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝4，|c|＝2，a·b＝－8，若c＝λa＋μb(λ∈R，μ∈R)，则2λ＋μ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·深圳模拟]在△ABC中，点D为线段BC上的点，且＝3，过点D的直线分别与AB，AC所在直线相交于点P，Q，且＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，则(　　) A.3λ＋μ＝4λμ B.λμ的最小值为 C.λ＋μ的最小值为1＋ D.λ＋μ的最小值为1－ 10.[2025·岳阳模拟]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2，AD＝4，AB＝5，E，F分别在线段AD，AB上，且线段DE与线段BF的长度相等，则(　　) A.·的最小值为－4 B.·的最大值为18 C.·的最大值为－1 D.△CEF的面积的最大值为 11.[2025·东莞模拟]如图，已知扇形OAB的半径为2，∠AOB＝，点C，D分别为线段OA，OB上(包括线段的端点)的动点，且|CD|＝1，点E为上(包括端点)的任意一点，则下列结论正确的是(　　) A.·的最小值为0 B.·的最小值为4－4 C.·的最大值为4 D.·的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·十堰模拟]如图，A，B均为圆上的动点(可重合)，O为圆心，已知该圆的半径为1，则·的取值范围是________. 13.[2025·天津红桥区模拟]太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆弧上，点P是大圆上一动点，令＝a，＝b，若＝λ1a＋λ2b，则λ1＝________；a·b的最小值为________. 14.[2025·武汉模拟]如图所示，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)，则当y＝2时，x的范围是________. 　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $