小题精练17 平面向量的数量积及其应用-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

小题精练17　平面向量的数量积及其应用 (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·黄冈模拟]已知向量a＝(1，)，b＝(sin θ，cos θ)，θ∈(0，π)，若a⊥b，则θ＝(　　) A.π B.π C. D. 2.[2025·青岛模拟]已知向量a＝(－1，2)，b＝(－3，1)，则a在b上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 3.[2025·绵阳模拟]在半径为r的⊙O中，弦AB的长度为a，则·的值为(　　) A. B. C.ar D.与∠OAB有关 4.[2025·成都模拟]已知向量|b|＝2|a|＝2，a·b＝2，则cos〈a，a－b〉＝(　　) A. B. C. D. 5.[2025·盐城模拟]△ABC中，若AB＝6，∠BAC＝，∠ACB＝，则·＋·＝(　　) A.54 B.27 C.9 D.3 6.[2025·宜春模拟]已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(a－b)＝－1，则|2a－b|＝(　　) A.5 B. C.6 D.8 7.[2025·宜春模拟]在△ABC中，已知AB＝AC＝2，＝2，若·＝2，则·＝(　　) A.－1 B.1 C.2 D.－2 8.[2025·海淀模拟]已知点N在边长为2的正八边形A1A2…A8的边上，点M在边A1A2上，则 ·的取值范围是(　　) A.[－4－2，2] B.[－4，4＋2] C.[－2，4＋2] D.[－2，4] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·杭州模拟]已知平面向量a＝(，1)，b＝(x，－3)，则下列命题正确的是(　　) A.若a∥b，则x＝－3 B.若a⊥b，则x＝ C.若|a＋b|＝，则x＝0 D.若〈a，b〉＝，则x＝－ 10.[2025·武汉模拟]已知圆x2＋(y－1)2＝1与y轴交于O(原点)，C两点，点A是圆上的动点，B(2，0)，则(　　) A.||的最大值为＋1 B.∀x∈R，|－x|的最小值为1 C.－2≤·≤2 D.令＝λ＋μ，则存在两个不同的点A，使λ＋μ＝1 11.[2025·南京模拟]已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，cos A＝，AO＝2，则(　　) A.＝＋ B.·≤3 C.△ABC的面积的最大值为3 D.a的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·北京东城区模拟]已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－b|＝，则 〈a，b〉＝________. 13.[2025·武汉模拟]已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝2i＋3j，b＝i＋2λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________. 14.[2025·安康模拟]菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，以D为圆心作圆且与AB相切于E，Q是⊙D与CD的交点，则＝________. 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 小题精练17平面向量的数量积及其应用 1.B[由题意知，ab=sin0+3cos0=0,则tan0=-3,又0∈(0，)，所以0=2m3 .故选B] 2.A[依题意，ab=-1×(-3)十2×1=5，b=(-3)2十12=10，所以a在b 上的投影向量为abb2b=12b=(-32,12).故选A] 3.B[取线段AB的中点D,得OD LAB,所以1cosA=|=12,所以. =|1cos4=-122=a22.故选B】 4.B[因为bl=23,d=3,b=2,所以a-b=(a-b)2=a2+b2-2ab=11, 所以cos(a,a-b)=a(a-b)|ala-b|=1r(33)=33)33.故选B.] 5.A[在△ABC中，若AB=6,∠BAC=π3，∠ACB=π4，由正弦定理得BC=元3π4 =36, 所以.一+一=2=54故选A 6.B[由d=2,b=3,a(a-b)=-1,得2-ab=-1, 则ab=a2+1=5, 因此(2a-b)2=4a2-4b+b2=4×4-4×5+9=5, 所以2a一b=5.故选B.] 7D[由题意D为BC边靠近C点的三等分点， 所以=-=-13--1-)=23+13， 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以.=aws4aco1024C-→)4B→)-(-)=232-13.-132=2， 又AB=AC=2,所以·=-2.故选D.] 8.C[以A1为原点，AA2为x轴，AA6为y轴建立平面直角坐标系， A1 MA2x 设Nx1,y),M2,0),则=(2,0)，=(1，y), 所以·=x12,由于正八边形的每个外角都为π4： 则x2∈[0,2]，1∈[-2,2+2]， 所以·=x∈[-22,4十22]，故选C.] 9.ABD[若a∥b,则1×x=-3X3,解得x=一33，故A正确； 若a⊥b,则3x十1X(-3)=0,解得x=3,故B正确； 若a十b=(r(3)+x)2+(1-3)2=7,x=0或x=-23,故C错误； 若〈a,b〉=5π6，则cos(a,b〉=cos5π6=3)-32rx2+9)=一3)2， 解得x=-3,故D正确，故选ABD.] 10.ACD.圆x2+0y-1)2=1的圆心为M0,1),半径r=1, MB=22+(-1)2=5,mx=MB十r=5+1,故A正确； 由题知C(0,2),故-x=(2十2x,-2), 故-x=(2+2x)2+(-2x)2=22x2+2x+1=2rc12, 当x=一12时，|一x取得最小值为212)=2，故B错误； ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 根据向量投影的几何意义，知一在方向上的投影的取值范围为[一1,1川，广= 2,故·∈[-2,2]1，故C正确； 若=入十u,且十u=1,则A,B,C三点共线.：直线BC的方程为x十y一2 =0,∴.圆心M到直线BC的距离为1一2r(12十12)=1r(2)<,所以直线BC与 圆相交，故存在两个不同的点A,使入十u=1,故D正确.故选ACD] 11.ABC[延长AO交BC于点D.因为O是△ABC的重心， B☑ D 所以点D是BC中点，=23，则=12（十）. 对于选项A:因为=23=23×12（十）=13十13，故选项A正确； 对于选项B:由=13+13得，“+=3， 所以92=(+“=“2+2+2.≥2+2.，当且仅当1= 时等号成立.又因为.一=sA=15,即=5一.一，A0=2, 所以2×5.+2.≤9X22,即·≤3，当且仅当1=时等号成立，故 选项B正确； 对于选项C:因为H=AB一)一)cosA=5,≤15，当且仅当1=时等 号成立，simA=1-cos2A=6)5,所以S△4Bc=12)‖sin A≤12×15×6)5=36， ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 故选项C正确； 对于选项D:由92=（十）=2+2十2·，A0=2, 得P+2=92-2.·=36-2=36-2为，所以由余弦定理2= b2+c2-2 becos A可得： a2=|2+2-2H1cosA=36-451‖|≥36-45×15=24，即a≥26，当 且仅当||=|时等号成立，所以a的最小值是26，故选项D错误.故选ABC] 12.π3[因为d=2,b=1,a-b=3,所以 |a-b12=2-2ab+b2=4-2×2×1cos(a,b〉+1=3，所以cos(a,b〉=12， 因为〈a,b〉∈[0，，所以〈a,b〉=π3.] 13.(-13,34)U(34,+∞)[.a与b的夹角为锐角， ∴.ab>0,.'a=2i+3j,b=i+2, ∴.ab=22+62+(4+3)i=2+6>0,∴.-13， 当a与b同向时，设a=b,即2i+3j=i+2j,有u=2,21=3,故1=34，所 以a与b的夹角为锐角时，则1的取值范围是（一13,34）U(34,十∞)] 14.3十1[由题可知D=3,|=1,则=3， 所以.=1os60=1,.=1os0=3, 故”一=(+)=.一+.=1十3，故40-)-)AB-)=1+3] ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究