小题精练15 解三角形及其应用-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

小题精练15　解三角形及其应用 1.C　[由余弦定理cos A＝＝＝－，且A∈(0，π)，则A＝.故选C.] 2.B　[由题意得B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理得 ＝，则 a＝＝＝，故选B.] 3.A　[由正弦定理得＝，即＝，故sin A＝，因为C＝45°，所以A∈(0°，135°)，故A＝30°.故选A.] 4.B　[由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C＝32＋12－2×3×1×(－)＝12，即c＝2， 又cos C＝－，C∈(0，π)，则sin C＝， 所以△ABC的面积S△ABC＝absin C＝×3×1×＝，又S△ABC＝c·h，即＝×2h，解得h＝，故选B.] 5.C　[因为acos B＝c＋bcos A，由正弦定理得sin Acos B＝sin C＋sin Bcos A， 又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，则sin Acos B＝sin Acos B＋sin Bcos A＋sin Bcos A，即2sin Bcos A＝0，因为0<B<π，所以sin B>0，则cos A＝0，又0<A<π，所以A＝，则△ABC为直角三角形.故选C.] 6.C　[由2bcos C＝2a－c，得2sin Bcos C＝2sin A－sin C， 故2sin Bcos C＝2sin(B＋C)－sin C，化简得2cos Bsin C－sin C＝0，因为0<C<π，所以sin C≠0，可得cos B＝，又0<B<π，所以B＝，由正弦定理得， a＝×sin A＝×＝.故选C.] 7.B　[在△ABC中，AB＝100，BC＝35，∠ACB＝53.2°，因为sin 53.2°≈0.8， 所以cos 53.2°≈0.6.由余弦定理得：AB2＝CB2＋CA2－2CA·CB·cos 53.2°， 所以1002＝352＋CA2－2CA×35×0.6⇒CA2－42CA－8 775＝0⇒CA＝117或CA＝－75(舍去).因为135－117＝18，所以A0A＝18 mm.故选B.] 8.A　[因为acos B＝(2c－b)cos A，由正弦定理可得：sin Acos B＝2sin Ccos A－ sin Bcos A，即sin(A＋B)＝2sin Ccos A，sin C＝2sin Ccos A， 又C∈(0，π)，sin C≠0，故cos A＝，由A∈(0，π)，解得A＝；由余弦定理，结合a＝3，可得cos A＝＝，即b2＋c2＝bc＋9≥2bc，解得bc≤9，当且仅当b＝c＝3时取得等号，故△ABC的面积S＝bcsin A＝×bc≤×9＝，当且仅当b＝c＝3时取得等号.即△ABC的面积的最大值为.故选A.] 9.ABD　[对于A，cos C＝1－2sin2＝1－2×＝，故A正确； 对于B，由A选项知cos C＝，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos C＝1＋25－2×5×＝21，故AB＝，故B正确； 对于C，由于在△ABC中，C∈(0，π)，故sin C>0，所以sin C＝＝，所以S△ABC＝BC·ACsin C＝×5×＝，故C错误； 对于D，设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理得2R＝＝＝2，故D正确.故选ABD.] 10.AC　[根据余弦定理cos A＝＝－， 所以A＝，故A正确； 若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π， 所以A＝B或A＋B＝，故B错误； acos B＋bcos A＝a×＋b×＝c， 故C正确； cos B＝，则sin B＝，sin A<sin B，所以A<B，则角A是锐角，则cos A＝， cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝，cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，故D错误.故选AC.] 11.ABC　[对于A，由S＝(a2＋c2－b2)，得acsin B＝·2accos B，则tan B＝， 而0°<B<180°，解得B＝60°，A正确； 对于B，锐角△ABC中，A＝120°－C，30°<C<90°，tan C>， ＝＝＋＝＋∈(，2)，则<a<2c，B正确； 对于C，当b＝2时，则4＝a2＋c2－ac≥ac， 当且仅当a＝c时取等号， 则S＝acsin B＝ac≤，C正确； 对于D，由三角形面积公式得a·sin30°＋c·sin30°＝acsin60°，则a＋c＝ac， 即＋＝1，因此a＋4c＝(a＋4c)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即a＝2c＝3时取等号，D错误.故选ABC.] 12.1　[由正弦定理：2sin Asin B＝4sin Csin Asin B，所以sin C＝，从而|cos C|＝. 而4＝a2＋b2－c2＝2ab|cos C|＝ab， 故ab＝4，得S△ABC＝absin C＝×4×＝1.] 13.　[因为2sin Asin Bsin C＝3sin2C＋sin2B≥2sin Bsin C，则sin A≥1，当且仅当sin C＝sin B时取等号，又sin A≤1，故sin A＝1，即3sin2C＝sin2B，3c2＝b2，＝.] 14.3　[在△ACF中，∠AFC＝180°－60°＝120°，由正弦定理可知，＝，即＝，则AF＝CE＝2， 在△ACF中，AC2＝AF2＋CF2－2AF·CF·cos∠AFC，39＝4＋CF2－2×2×CF×(－)＝CF2＋2CF＋4，解得CF＝5或CF＝－7(舍去)， 所以EF＝CF－CE＝5－2＝3.] 学科网（北京）股份有限公司 $ 小题精练15　解三角形及其应用 (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·岳阳模拟]△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，若b＝c＝1，a＝，则角A等于(　　) A. B. C. D. 2.[2025·杭州模拟]在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c.若b＝2，A＝45°，C＝75°，则a＝(　　) A. B. C. D. 3.[2025·泉州模拟]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝4，C＝45°，则A的值可以为(　　) A.30° B.60° C.120° D.30°或150° 4.[2025·南昌模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝1，cos C＝－，则边c上的高为(　　) A. B. C. D. 5.[2025·郑州模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos B＝c＋bcos A，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 6.[2025·南京模拟]在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c.若2bcos C＝2a－c，A＝，b＝3，则实数a的值为(　　) A.6 B.3 C. D. 7.[2025·无锡模拟]如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长100 mm，曲柄CB长35 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为(　　)(结果保留整数)(参考数据：sin 53.2°≈0.8)(　　) A.17 mm B.18 mm C.19 mm D.20 mm 8.[2025·济宁模拟]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，acos B＝(2c－b)cos A，则△ABC面积的最大值为(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·桂林模拟]在△ABC中，sin ＝，BC＝1，AC＝5，则(　　) A.cos C＝ B.AB＝ C.△ABC的面积为 D.△ABC外接圆的直径是2 10.[2025·成都模拟]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有(　　) A.若b2＋c2＝a2－bc，则A＝ B.若sin 2A＝sin 2B，则A＝B C.acos B＋bcos A＝c D.若sin A＝，cos B＝，则cos C＝－或－ 11.[2025·安庆模拟]在△ABC中，面积S＝(a2＋c2－b2)，则下列说法正确的是(　　) A.B＝60° B.若△ABC是锐角三角形，则<a<2c C.若b＝2，则S≤ D.若角B的平分线长为，则a＋4c≥10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·泰安模拟]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若asin B＋bsin A＝4csin Asin B，且a2＋b2－c2＝4，则△ABC的面积为________. 13.[2025·黄冈模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2sin Asin Bsin C＝3sin2C＋sin2B，则＝________. 14.[2025·成都模拟]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若AC＝，sin∠ACF＝，则EF＝________. 学科网（北京）股份有限公司 $