小题精练11 构造函数技巧(突破练)-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

小题精练11　构造函数技巧(突破练) (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·本溪模拟]定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)－f(x)>0，则下列函数一定是增函数的是(　　) A.y＝xf(x) B.y＝ C.y＝ D.y＝exf(x) 2.[2025·宿州模拟]已知a＝ln ，b＝e－1，c＝ln (e为自然对数的底数)，则实数a，b，c的大小关系为(　　) A.a<c<b B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 3.[2025·烟台模拟]已知f(x)是可导函数，且f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则(　　) A.f(1)<ef(0)，f(2 024)>e2 024f(0) B.f(1)>ef(0)，f(2 024)>e2 024f(0) C.f(1)<ef(0)，f(2 024)<e2 024f(0) D.f(1)>ef(0)，f(2 024)<e2 024f(0) 4.[2025·东莞模拟]已知f′(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)－xf′(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是(　　) A.f>2f B.f<2f C.f>f(1) D.f<f(1) 5.[2025·南通模拟]已知定义在R上的函数f(x) 满足f′(x)>2f(x)，f(2)＝e，则不等式 f(x)>e2x－3的解集为(　　) A.(－∞，2) B.(0，2) C.(2，＋∞) D. 6.[2025·北京朝阳区模拟]已知x1，x2∈R，则“x1>x2>1”是“x1－ln x1>x2－ln x2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.[2025·南阳模拟]我们熟悉的网络新词，有“yyds”“内卷”“躺平”等，定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)＝ex－x，h(x)＝ln x，φ(x)＝2 025x＋2 025的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b 8.[2025·中山模拟]已知不等式2λe2x＋ln λ≥ln x在x∈(0，＋∞)上恒成立，则实数λ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2024·济南质检]已知实数a，b满足a<b，则(　　) A.a2<b2 B.a3<b3 C.< D.a－sin a<b－sin b 10.[2025·安康模拟]若0<x1<x2<1，则下列关系式不成立的是(　　) A.ex2＋ln x1>ex1＋ln x2 B.ex2＋ln x1<ex1＋ln x2 C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1<x1ex2 11.[2025·滁州模拟]已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)＋2f′(x)>0，则下列结论正确的是(　　) A.f(ln 2)<f(0) B.f(ln 2)<f(1) C.f(2)<f(1) D.f(2)<ef(4) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·宁波模拟]若函数y＝ln x＋x2－x－a在[1，4]上恰有2个零点，则实数a的取值范围为________. 13.[2025·聊城模拟]已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，且当x∈(0， ＋∞)时，恒有f′(x)<1.若有f(2－ln t)－2≥f(ln t)－2ln t，则实数t的取值范围为________. 14.[2025·惠州模拟]若关于x的不等式aex－x2＋x>2ln x－ln a在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a的取值范围为________. 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 小题精练11 构造函数技巧（突破练） 1.C[因为ff(x)ex'=(x)-f(x)ex>0,所以y=f(x)ex在(0，+∞)上是 增函数，故选C] 2.A[令x)=lnxx,则f(x)=1一lnxx2,故当x∈(0，e)时，f(x)>0,x)单调递增， 当x∈(e,十∞)时，f(x)<0,fx)单调递减，而a=ln2=ln22=ln44=4) b=e-1=lnee=fe),c=ln33=ln33=f3),所以a<c<b.故选A] 3.Cg(x)=f (x)ex,g(x)=f (x)ex-f (x)exe2x=f(x)-f(x)ex, 因为fx))对于x∈R恒成立，所以g(x)0,所以g()在R上单调递减， 所以g(1)g(0),g(2024)g(0),所以f(1)e<f(0)e0,f(2024)e2024<f(0) e0, 所以f1)ef0),f2024)e20240),故选C.] 4.B[令Fx)=f(x)x,x>0,则F'(x)=xf(x)-f(x)x2, 因为当>0时，有x)一xf(x)>0恒成立，即当x>0时，F(x)在(0，+∞)上单调递 减， 所以F(12)<F(14),即1212<1414，即12)<214)，A错误，B正确， F(12)>F(1),即1212>f(1)1,即212)>1)，CD错误.故选B.] 5.C [g(x)=f(x)e2x,g'(x)=f (x)e2x-2e2xf (x)e4x=f (x)-2f(x) e2>0,所以g(x)在R上单调递增，不等式x)>e2x-3等价于g(x)>e-3=f(2)e2 ×2=g(2),解得>2，所以不等式x)>e2x-3的解集为(2，十∞)故选C] 6.A[设x)=x-lnx,则fx)=x-1x,则在(0,1)上fx)0,w)单调递减； 在(1，十∞)上fx)>0,x)单调递增.故>x2>1则x)≥x2),但x1)>x2)不能推 出x>x2>l.故x>x2>1”是“x1-lnx1>x2-nx2”的充分不必要条件.故选A] 7.C[根据题意，g'(a)=g(a),又g'(w)=e*-1,则ea-1=ea-a,解得a=l; 同理(x)=1x,即lnb=1b,令m(x)=lnx一lx,则m'(x)=lx十1x2>0,所以mc) 在(0，十∞)上单调递增，又m(1)=-1<0,m(e)=1-1e>0,所以m(x)在(1，e)上 存在唯一零点， ∴.1<b<e;又p'(x)=2025,则p(c)=2025c+2025=p'(c)=2025,解得c=0， 所以b>a>c.故选C] ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 8.C[由2e2x+ln≥lnx得2e2r≥nx-ln=lnx,即2xe2x≥xnx2, 令)=te,t∈(0，+∞)，则f()=(t+1)e>0,所以t)=te在(0，十∞)上单调递 增， 而2xe2x≥xnx=elnx2nx2等价于f2x)≥fln), 所以2x≥lnx2,即1≥xe2x, 令gx)=xe2x,x∈(0，+o∞)，则g'(x)=1-2xe2x； 所以g(x)在x∈(0,12)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；在x∈(12，+∞)时，g(x)<0, g(x)单调递减，所以g(x)最大值为g(12)=12, ∴.≥12e.故选C.] 9.BD[对于A,当a<b<0时，a2>b2,故A错误； 对于B,因为函数y=x3在R上单调递增，所以当a<b时，a3<b3,故B正确； 对于C,当a0<b时，la<lb,故C错误； 对于D,构造函数x)=x一sinx,则f(x)=1一cosx≥0， 故fx)在R上单调递增，所以a一sina<b一simb,故D正确 综上，选BD] 10.ABD[令fx)=e-lnx,则f(x)=e-lx,令h(x)=ex-lx,则hH(x)=e+lx2 >0恒成立，即f(x)=ex一lx在定义域(0，+∞)上单调递增，且f(le)=e一e<0, f(1)=e-1>0, 因此在区间(1e,1)上必然存在唯一xo,使得f(xo)=0,所以当x∈(0，xo)时fx)单 调递减，当x∈(xo,1)时x)单调递增，故A,B均错误： 令g(x)=exx,g(x)=ex(x-1)x2,当0<x1时，g(x)0,故gx)在区间(0,1)上 为减函数， ,0<x2<1,∴.exlx1>ex2x2,即x2el>xex2,∴.选项C正确，D不正确.故选ABD.] 11.BD[令gx)=e2fx),所以g'(x)=12e2x)+ex2f(x)=12ex2[x)+2f(x)], 因为x)+2f(x)>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增， 所以g(0)<gln2)g(1)g(2)g(4),即f0)2n2)e1e2)e24), 则ef2)>1),2)<e4),故AC错误，BD正确.故选BD] 12.lalvs4lallcol(ln 2-2,-54))[y=In x+14x2-32x-a=0,In x+ 14x2-32x=a, 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 y=a 1n2-2y=fx) 令x)=nx+14x2-32x,x∈[1,4]，则函数y=x),y=a的图象在区间[1,4]上 有两个交点，f(x)=1x十12x-32=x2-3x十22x=(x-1)(x一2)2x, 当1≤x<2时，f(x)≤0，当2<x≤4时，fx)>0,所以函数x)在[1,2)上单调递减， 在(2,4]上单调递增，所以x)mim=f2)=ln2-2,而1)=一54， 4)=n4-2>-54,如图，作出函数y=f),y=a的图象， 由图可知a∈lavs4 allcol(ln2一2，一f54)时两函数图象有两个交点，原函数有 两个零点] 13.[e,+∞)[因为x)为R上的奇函数，令g(x)=fx)一x, 则g(一x)=一x)十x=一x)十x=一g(x),即g(x)=x)一x为奇函数，g(0)=f (0)一0=0， 当x∈(0，+∞)时，则g(x)=f(x)一1<0，g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以g(x) 在R上单调递减，又2-lnt)-2≥fnt)-2lnt,即f2-lnt)-(2-lnt)≥nt) -In f, 即g(2-lnt)≥gnt),所以2-lnt≤lnt,解得lnt≥1=lne,所以t≥e,即实数t 的取值范围为[e,十∞)] 14.lalvs4alco1ff4e2),+o)[由aex-x2+x>2lnx-lna可得当x∈(0，+∞)时， aer+x+In a-x2+2In x=x2+In x2,ex+ia+x+In aeln x2+In x2, 令gx)=e十x,易知g'()=e+1>0恒成立，即g(x)在R上单调递增， 由er+na+x+lna>elnx2+lnx2可得gx+lna)Pg(lnx2), 故x+lna>lnx2,可得lna>lnx2-x,即lna>lnx2ex, 故a>x2e2, 令h(x)=x2ex(>0),则h(x)=2x一x2ex, 当x∈(0,2)时，h'(x)>0,此时(x)在(0,2)上单调递增； 当x∈(2，+∞)时，h'(x)<0,此时h(x)在(2，+∞)上单调递减，故h(x)max=h(2) =4e2,可得a>4e2.] 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究