小题精练9 导数的运算及几何意义-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 小题精练9导数的运算及几何意义 1.B[因为limlim\s\do-4(x→0)f(1+34x)-f(1)x=2,则f(1)=lim lim scdo4(x→0)f(1+3x）-f(1)34x=13 lim lim s\do4☑x→0)f(1+34x)-f(1) x=23,所以x)在x=1处的切线的斜率为23，故选B.] 2.A[因为x)=lnx-x+1,则f1)=ln1-1+1=0,f(x)=1x-1,所以f(1)=0, 所以切点为(1,0)，则切线方程为y=0.故选A] 3.B[可依次作出函数x)在x1,2,x3处的切线（图略）， 观察可得fx2)>f)）P0>f).故选B.] 4.A[由图可知：y=x)过(3,1)，所以3)=1， 又y=x+2过(3,1)，所以1=3k+2,k=-13,即f(3)=-13 而g(x)=xf(x)+fx),所以g(3)=3)+3f3)=1+3×1aws4alco1(-f13)=0, 故选A.] 5.B[对于A,y=x4,y"=12x2和y画24x的零点均为0，所以曲线y=4无拐 点，故A错误； 对于B,y=x4一4x2,y"=12x2一8和y国24x的零点不相等，所以曲线y=x4一4x2 有拐点，故B正确； 对于C,y=x3,y"=6x,y国6，所以曲线y=x3有拐点，故C错误； 对于D,y=x5-5x3,y"=20x3-30x,y国60x2-30,故(0,0)是y=x5-5x3的拐 点，即D错误故选BJ 6.D[由xy2+lny=2,得(xy2y+dny)'=2',则y2+2xyy+1yy=0,将点(2,1) 的坐标代入，得1+4yx=2十yx=2=0,即yx=2=一15，所以所求切线的方程为y-1 =一15(x-2),即x+5y-7=0.故选D] 7.C[设切点分别为(x1,x》,(x2,g(2》,x1>0,x20,且导数为f(x)=1x,g(x) =e', 所以切斜方程分别为y一(2+nx1)=1x1(c一x), 与y-e2=ex2(x-x2),所以f1xl1+lnx1=(1一x2)ex2, ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 且In Ix1=lne2台一lnx1=x2, 所以1+lnx1=(1+ln)X1xl→(1+lnx)x1一1)=0， 所以1=1或x1=le, 所以公切线的斜率为k=lx1=1或e.故选C.] 8.B[因为y=lnx十1，则y'=1x,设切点坐标为o,nxo十1)，则切线斜率k=1xO, 则切线方程为y一lnxo一1=IxOx一xo),整理得y=lxOx+lnxo,又因为切线过点(a ,b),则b=axO十nxo,设x)=lnx十ax,函数定义域是(0，十∞)，则直线y=b 与曲线x)=lnx十ax有两个不同的交点，则f(x)=1x一ax2=x一ax2, 当a≤0时，(x)>0恒成立，x)在定义域内单调递增，不合题意； 当a>0时，令fx)<0,解得0<x<a;令fx)>0,解得x心a; 可知fx)在(0，a)内单调递减，在(a,+∞)内单调递增， x)=Inx+号 v=b In a+1 则x)≥a)=na十1，且当x趋近于0或十∞时，x)趋近于+∞，结合图象可知 b>lna+1,综上所述，b>lna+1,a>0.故选B.] 9.ACD[由fx)=x3得fx)=3x2, 对于A:由f(1)=3,所以函数在点A(1,1)处的切线方程为y一1=3(x一1)，即y =3x一2，故A正确： 对于B:设切点为(x2,x32),所以f(2)=3x22,所以切线方程为y一x32=3x22 (x-x2), 又切线过点A(1,1),所以1一x32=3x22(1一x2),解得2=1或x2=一12，所以过 点A(1,1)的切线方程为y=3x一2或3x一4y+1=0,故B错误； 对于CD:f(x1)=3x21,则在点P(1,x31)的切线方程为y一x31=3x21(x一x1), 则x30-一x31=3x21(0一1)，即(x0一1)(x20+xo1十x21)=3x21(x0一x1),因为x0≠x1, 则x20十xo十x21=3x21,即x20+xo-2x21=0,即(Gx十2x)0x0一x)=0,所以 x0=一2x1, 又f(0)=0,当x≠0时fx)=3x2>0,又点Q(xo,x30)xo≠x1)在函数x)=x3上， 且与点P(x1,x31)相异，即过曲线上任意点（除原点外）的切线必经过曲线上另一点 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (不是切点)，对于切线1：y=x十b(k≠0)，则切点不是坐标原点，所以切线1：y =c十b(k≠O)与y=x)的图象必有两个公共点，故CD正确.故选ACD.] 10.CD[对于A,x)=2x十1，其导数f(x)=2,则有"(x)=0,不符合“凹函数” 的定义，故A错误； 对于B,x)=x3,定义域为R,其导数x)=3x2,则"(x)=6x,在定义域R上” (x)>0不恒成立，不符合“凹函数”的定义，故B错误； 对于C,fx)=x2+1,定义域为R,其导数fx)=2x,则有"()=2>0在R上恒成 立，符合“凹函数”的定义，故C正确： 对于D,x)=一lgx,定义域为(0，十∞)，其导数fx)=一1xln10,则有(x)= 1x2ln10>0在(0，十∞)上恒成立，符合“凹函数”的定义，故D正确.故选CD.] 11.ABC[对于A,若x)=sinx,则f(x)=cosx=sin(c十π2)， f2x)=一sinx=sin(x+元)， f3)(x)=-cosx=sin(x十3π2)，f4(x)=sinx=sin(x+2π)， 所以m(x)=sin(x十nπ2)，A正确； 对于B,若fx)=1x,则fx)=一1x2=一x一2,2(x)=(一x一2'=2x一3=(-1)2(2！ )x-3, 8(x)=(2x-3)'=-6x-4=(-1)3(3！)x-4,4)=(-6x-4y'=24x-5=(-1)(4！) x-5, 观察可知m(x)=(-1)y(n!)x-m+1),B正确； 对于C,x)=er的n阶导数fmx)=e, 得T3(x)=0)+(0)1!(x-0)+f(2)(0)2!(x-0)2+f(3)(0)3!(x-0)2 =1+x+x22+x36,C正确； 对于D,记g(x)=cosx,则g(x)=一sinx,g(2(x)=一cosx,g(3)x)=sinx, 因为g(π3)=12，g'(π3)=-3)2，g2(π3)=-12，g8)(π3)=3)2， 所以g(x)在π3处的3次泰勒多项式T3(x)=12-3)2x一π3)-14(x-元3)2+3)12(x π3)3， T3(1)=12-3)21-π3)-14(1-π3)2+3)121-π3)3=12-3)(3-π）6-(3-π) 236+3)(3-π)3324 =12-3)×(-0.141)6-(-0.141)236+3)×(-0.141)3324≈0.54，D错误 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 故选ABC] 12.一x2(答案不唯一)[取x)=一x2,其定义域为R,f(x)=一2x,显然其图象关 于原点对称，且在(0,1)上单调递减，则f(x)f0)=0,故可取y=一x2(答案不唯 一)] 13.10)2[由题意AB的最小值为曲线上点A到直线y=3x一3距离的最小值， y /v=3x- y=2e+r y 设fx)=2e+x-(3x一3)=2e-2x十3，则f(x)=2e-2为增函数， 令f(x)=0则x=0,故当x<0时f(x0,x)单调递减；当x>0时f(x)>0,x)单调 递增.故x)≥0)=5>0，即y=3x一3在曲线y=2e+x下方，则当A处的切线与 3x-y-3=0平行时AB取得最小值.设A(xo,yo),因为y'=2e+1,由y'=3可得 xo=0,故当A(0,2)时取最小值AB=|3×0-2-3r(32+(-1)2)=10)2.] o=. 14e”x-2gy十e=0[设公共点为o,为Xo0,则0=a0'即a= 2e) ,所以xoln a=12nxo, 所以na=12x0lnxo,由y'=12x-12,y2'=a1na, 1x 所以nk=02乙0 ，y2lx=x0=axoln a, 1-1 1 -2 又在公共点处有相同的切线，所以2 =axon a,即2C0 12x0nxo,所以lno=1,则xo=e,yo=el2,则lna=12x0lnxo=12elne=12e, 2e) 2 则a=e,所以切线方程为y-e=12e-12(x一e),即x-2ey十e=0.] ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究 小题精练9　导数的运算及几何意义 (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·武汉模拟]设f(x)是可导函数，且 ＝2，则f(x)在x＝1处的切线的斜率等于(　　) A.2 B. C.－1 D.－2 2.[2025·东营模拟]函数f(x)＝ln x－x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线方程是(　　) A.y＝0 B.x＝0 C.y＝1 D.x＝1 3.[2025·梅州模拟]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)的图象如图所示，则(　　) A.f′(x1)>f′(x2)>f′(x3) B.f′(x2)>f′(x3)>f′(x1) C.f′(x3)>f′(x2)>f′(x1) D.f′(x1)>f′(x3)>f′(x2) 4.[2025·宁波模拟]已知y＝f(x)是可导函数，如图所示，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　) A.0 B.1 C.－1 D.－2 5.[2025·南昌模拟]设函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的导函数为f″(x)，f″(x)的导函数为f(x).若f″(x0)＝0，且f(x0)≠0，则(x0，f(x0))为曲线y＝f(x)的拐点.下列结论正确的是(　　) A.曲线y＝x4有拐点 B.曲线y＝x4－4x2有拐点 C.曲线y＝x3无拐点 D.曲线y＝x5－5x3无拐点 6.[2025·吕梁模拟]如果方程F(x，y)＝0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数为隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程F(x，y)＝0中，把y看成x的函数y＝y(x)，则方程可看成关于x的恒等式F(x，y(x))＝0，在等式两边同时对x求导，然后解出y′(x)即可.例如，求由方程x2＋2y2＝1(y<0)所确定的隐函数的导数y′，将方程x2＋2y2＝1(y<0)的两边同时对x求导，则有2x＋4y·y′＝0(y是x的函数，需要用复合函数的求导法则求导)，得y′＝－(y<0).利用隐函数求导方法可求得曲线xy2＋ln y＝2在点(2，1)处的切线方程为(　　) A.x－5y－3＝0 B.5x＋y－11＝0 C.5x－y＋9＝0 D.x＋5y－7＝0 7.[2025·吉安模拟]函数f(x)＝2＋ln x与函数g(x)＝ex公切线的斜率为(　　) A.1 B.±e C.1或e D.1或e2 8.[2025·邵阳模拟]若过点(a，b)可以作曲线y＝ln x＋1的两条切线，则(　　) A.b<ln a B.b>ln a＋1 C.a<0 D.b>ea 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·台州模拟]关于函数f(x)＝x3的图象的切线，下列说法正确的是(　　) A.在点A(1，1)处的切线方程为y＝3x－2 B.经过点A(1，1)的切线方程为y＝3x－2 C.切线l：y＝kx＋b(k≠0)与y＝f(x)的图象必有两个公共点 D.在点P(x1，x)处的切线过点Q(x0，x)(x0≠x1)，则x0＝－2x1 10.[2025·南阳模拟]小明研究函数f(x)的图象与导函数，经查阅资料，发现f(x)具有下面的性质：若函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，且f′(x)在(a，b)上也存在导函数，则称函数y＝f(x)在(a，b)上存在二阶导函数，简记为y＝f″(x).若在区间(a，b)上f″(x)>0，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)上为“凹函数”.请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有(　　) A.f(x)＝2x＋1 B.f(x)＝x3 C.f(x)＝x2＋1 D.f(x)＝－lg x 11.[2025·临汾模拟]记f(n)(x)为函数f(x)的n阶导数，f(n)(x)＝[f(n－1)(x)]′(n≥2，n∈N*)，若f(n)(x)存在，则称f(x)n阶可导.英国数学家泰勒发现：若f(x)在x0附近n＋1阶可导，则可构造Tn(x)＝f(x0)＋(x－x0)＋(x－x0)2＋…＋(x－x0)n(称其为f(x)在x0处的n次泰勒多项式)来逼近f(x)在x0附近的函数值.下列说法正确的是(　　) A.若f(x)＝sin x，则f(n)(x)＝sin(x＋) B.若f(x)＝，则f(n)(x)＝(－1)n(n！)x－(n＋1) C.f(x)＝ex在x0＝0处的3次泰勒多项式为T3(x)＝1＋x＋＋ D.cos 1≈0.55(精确到小数点后两位数字，π取3.141) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·福州模拟]若函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，f′(x)的图象关于原点对称，且f′(x)在(0，1)上恒为负数，则f(x)的解析式可以为f(x)＝________(写出符合条件的一个即可). 13.[2025·烟台模拟]已知A，B分别为直线y＝3x－3和曲线y＝2ex＋x上的点，则|AB|的最小值为________. 14.[2024·沈阳模拟]已知函数y1＝x的图象与函数y2＝ax(a>0且a≠1)的图象在公共点处有相同的切线，则a＝________，切线方程为________. 学科网（北京）股份有限公司 $