小题精练8 抽象函数问题（突破练）-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

小题精练8　抽象函数问题(突破练) (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·枣庄模拟]已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x)＝f(2－x)，则f(2 024)＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.[2025·淄博模拟]f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为奇函数”是“h(x)为奇函数”________条件(　　) A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 3.[2025·长沙模拟]定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，若x>0时，f(x)>1，则f(x)(　　) A.先单调递减后单调递增 B.在R上单调递增 C.在R上单调递减 D.单调性不确定 4.[2025·淄博模拟]定义在R上的奇函数f(x)，f(5)＝0，且对任意不等的正实数x1，x2都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，则不等式x·f(－x)>0的解集为(　　) A.(－∞，5)∪(0，5) B.(－∞，－5)∪(5，＋∞) C.(－5，0)∪(0，5) D.(－5，0)∪(5，＋∞) 5.[2025·绍兴模拟]已知函数f(x)满足：对任意实数x，y，都有f(f(x＋y))＝f(x)＋f(y)成立，且f(0)＝1，则(　　) A.f(x＋1)为奇函数 B.f(x)＋1为奇函数 C.|f(x＋1)|为偶函数 D.|f(x)－1|为偶函数 6.[2025·丽水模拟]已知函数f(x)的定义域为R，f(x)的图象关于(1，0)中心对称，f(2x＋2)是偶函数，则(　　) A.f(0)＝0 B.f()＝0 C.f(2)＝0 D.f(3)＝0 7.[2025·杭州模拟]已知定义在R上的函数f(x)恒大于0，对∀x，y∈R，都有f(x＋2y)＝4f(x)·f2(y)，且f(1)＝1，则下列说法错误的是(　　) A.f(0)＝ B.f(x)·f(－x)＝f2(0) C.f(k)是奇数 D.f(x)有最小值 8.[2025·安康模拟]已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，f(1＋x)＝f(1－x)，函数f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，且对任意的x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，均有xf(x1)＋xf(x2)>xf(x2)＋xf(x1)，则下列关于函数y＝f(x)的说法中，正确的个数是(　　) ①f(x＋2)＝f(x－2)；②f<f；③函数y＝f(x)在[2，4]上单调递增； ④不等式f(x)≥0的解集为[4k，4k＋2](k∈Z). A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·温州模拟]已知函数f(x)的定义域为R，且满足f2(x)－f2(y)＝f(x＋y)f(x－y)，f(1)＝1，f(3)＝－1，则下列结论正确的是(　　) A.f(2)＝0 B.f(4)＝2 C.f(x)是奇函数 D.f(x＋4)＝f(x) 10.[2025·宁波模拟]已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(x)＋f(2＋x)＝0，若对任意x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，下列结论一定正确的是(　　) A.f(1)＝0 B.2是f(x)的一个周期 C.函数f(x)在(2，3)上单调递减 D.函数f(x)图象关于直线x＝2对称 11.[2025·宿迁模拟]已知定义在R上不为常数的函数f(x)满足f(2x)＋f(x＋y)f(x－y)＝0，则(　　) A.f(0)＝－1 B.f(3)＝[f(1)]3 C.f(x)f(－x)＝2 D.f(x)＋f(－x)≤－2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·沧州模拟]已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，如果x满足f(x)－f≤2，则x的取值范围为________. 13.[2025·武汉模拟]已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝4，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝________. 14.[2025·苏州模拟]若定义在区间[－2 024，2 024]上的函数f(x)满足：对于任意的x1，x2∈[－2 024，2 024]，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2 024，且x>0时， 有f(x)>2 024，若f(x)的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________. 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.C0m○ 您身边的互联网+敦辅专家 小题精练8抽象函数问题（突破练） 1.A[因为x)是奇函数且定义域为R,所以O)=0,由fx)=f2-x),则x+ 2)=2-(x+2)=孔-x)=-x),所以fx+4)=-x+2)=x),故函数的周期 为4，所以f2024)=4×506)=f0)=0.故选A.] 2.B[若x),g(x)均为奇函数，则有-x)=-x),g(-x)=-g(x) 所以h(-)=-x)+g(-x)=-[x)+gx]=-hx),所以“h(x)为奇函数”，故 充分性成立，若h(x)为奇函数，如h(x)=x,x)=x2+x,gx)=-x2,而 x),g(x)均不是奇函数，故必要性不成立.故选B.] 3.B[任取x1<x2,令x=-x1,y=x1,则fx2)-fx1)=fx2-x1+x)-fx)=fx -)+fx)-1-)=fx2-x)-1,因为x2-x>0,所以x2-x)>1, 所以f2)-x>0,所以fx)在R上单调递增故选B.] 4.C[不妨令0<x1<2,则x1-x2<0,因为[fx1)-x2)]x1-x2)>0,所以x) fx2)<0,即fx)<fx2),所以fx)在(0，+∞)上单调递增，又fx)为定义在R上的 奇函数，则-x)=-x),则x)在(-∞，0)上单调递增，又5)=0，所以f- 5)=-5)=0, ①当>0时，由不等式-x)>0,则-x)>0,所以-九x)>0,即x0,所以 x5),解得0<r<5 ②当x<0时，由不等式x-x)>0,则-x)<0,所以-x)<0,即x)>0, 所以x)>-5),解得-5<x<0, 综上可得，不等式x-x)>0的解集为(-5,0)U(0,5) 故选C] 5.D[令x=y=0,则f0)=f0)+f0),f0)=1,所以1)=2， 令y=-x,则0)=x)+-x),即f1)=f)+f-),又2=x)+-x), 所以y=x)关于(0,1)对称，所以x+1)关于(-1,1)对称，故A不正确； x)+1关于(0,2)对称，故B不正确；由A可知x+1)关于x=-1对称，故C 独家授权侵权必究 学科网书城田 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 不正确； 由A可知x)-1关于(0,0)对称，故x)-1为奇函数，所以x)-1为偶数，故 D正确 故选D] 6.D[x)的图象关于(1,0)中心对称，则x)=--x+2)(*): 2x+2)是偶函数，则f2x+2)=-2x+2),则x)的图象关于x=2轴对称，则 x)=-x+4)(*)；令x=1代入(*)得，1)=-1)，解得1)=0，代入(*)得 到f1)=f3)=0.故选D.] 7.D[对于A,x+2y)=4x)f(y),取y=0,则fx)=4fxf(0),f0)=,选项A 正确； 对于B,取y=-x,则-x)=4x)(-x),则x)-x)=,选项B正确； 对于C,取x=0,y=,则1)=40)f,则=， 取y=,x+1)=4x)=2x),=××…××1)=2-1,k∈Z, 则f)=1+2+…+22023==224-1,所以∑是奇数，选项C正确； 取函数x)=2【,符合题目条件，但此时fx)无最小值，故选项D错误故选D.] 8.C[由函数fx+1)的图象关于点(-1,0)对称，得x)的图象关于点(0,0)对称， 即函数x)是奇函数，由1+x)=1-x),得x)的图象关于直线x=1对称 fx+4)=x+3)+1]=1-(x+3]=-x-2)=-x+2)=-x+1)+1] =-1-(c+1)]=-孔-x)=x),因此x)是以4为周期的周期函数，①正确； 对任意的x1,2∈[0,1]，x1≠x2,均有xx1)+xx2)>xx2)+xfx1), 不妨设x>x,则(x-xx)>(x-xx),即x)>x2),因此fx)在[0,1]上单调递 增， 几-)=-+8)=0=0,0=-8)=0>0，②正确； 由函数fx)是R上的奇函数，在[0,1]上单调递增，得函数x)在[-1,1]上单调 递增 在[1,3]上单调递减，在(3,5)上单调递增，故在[2,4]上不单调，③错误， 由2)=0)=0，x)在[-1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，得当x∈[ 1,3]时，若x)≥0，则有x∈[0,2]，又函数fx)是以4为周期的周期函数，因 ·独家授权侵权必究 学科网书城田 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 此不等式fx)≥0的解集为[4k,4k+2](k∈Z),④正确.故选C.] 9.ACD[令x=2,y=1,则(2)-(1)=3)1)，解得f2)=0,故A正确； 令x=1,y=0,则(1)-(0)=11)，解得0)=0， 令x=0,则-()=y-y),即y)[y+-y)]=0, 因为y)不恒为0，所以y)+-)=0,且定义域为R,故函数为奇函数，故C 正确； 令y=x-2,则Px)-(x-2)=2x-2)2)=0,因为fx)不恒为0，且 3)≠1) 所以只能x)=-x-2),从而x+4)=-x+2)=x),周期为4，显然4)= fO)=0,故B错误D正确.故选ACD.] 10.ACD[对于A,由fx)是偶函数，x)+2+x)=0,得-1)+1)=21)= 0,则1)=0，A正确： 对于B,由对任意x1,∈[0,1]且x≠x2,都有(x1-x2)[x1)-x2)]>0, 得x)在[0,1]上单调递增，则0)1)=0，而0)+2)=0， 于是2)=-0)>0>0)，因此2不是x)的周期，B错误； 对于C,由fx)+2+x)=0,得-x)+2+x)=0,则函数fx)图象关于点 (1,0)对称，于是函数x)在[1,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减，C正确， 对于D,由f2+x)=-fx),得f4+x)=-f2+x)=x),4是fx)的一个周期， 4-)=-x)=x),则函数x)图象关于直线x=2对称，D正确；故选ACD.] 11.ABD[对于A,令y=x,则f2x)+2x)f0)=0,即2x)1+f0)=0,又函 数fx)不为常数，故1+0)=0，即0)=-1，故A正确； 对于B,令x=1,y=0,则2)=-1)]2，令x=0,y=1,则0)+1)-1)= 0,得1)=，令x=1,y=2,则2)+3)-1)=0，得3)=-2)=1)2) =[1)],故B正确； 对于C,令x=0,则O)+y:-)=0,所以y-y)=1,即x)-x)=1, 故C错误； 对于D,令y=0,则2x)=-(x)<0,所以x)<0,则-x)>0,--x)>0,又 fx)-x)=1,故x)+-x)=-[(-x)+(--x)]≤-2= ◆独家授权侵权必究 西学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+敦辅专家 -2, 当且仅当fx)=-x)=-1时等号成立，故D正确故选ABD] 12.(3,4][令x=4,y=2,则2)=4)-2)，则4)=2，由x)-0≤2可得： x(x-3)≤4)，因为x)是定义在区间(0，+∞)上的增函数，所以解得： 3<x≤4.] 13.6[因为gx+1)是偶函数，又因为g(x+1)=x+1),其中y=x为奇函数， 所以y=fx+1)必为奇函数，即有1-x)=-x+1),-x)=-x+2) 又因为f-x)=fx),所以f+2)=-x),fx+4)=-x+2)=x),所以函数y =x)的周期为4， 由函数gx+1)是偶函数，可得g(-x+1)=g(x+1),即g(-x)=g(x+2), 所以g(-0.5)=g(2.5)=1.52.5)=1.5-2.5)=1.5-2.5+4×2)=1.55.5)=6.] 14.4048[因为对于任意的x1,x2∈[-2024,2024]，都有x1+x2)=x1)+x2) -2024, 所以令x1=x2=0,得f0)=2024,再令x1=x,x1+2=0,将0)=2024代入可 得x)+-x)=4048,设x<x2,x1,x2∈[-2024,2024]，则x2-x>0, fx2-x)=fx2)+-x)-2024>2024,所以fx2)>4048--x)=fx), 所以fx)在[-2024,2024]上单调递增，所以fx)的最大值为M=2024),最小 值为N=-2024),所以M+N=f2024)+f-2024)=4048.] 独家授权侵权必究