小题精练7 函数与方程-【百强名校168优化组合卷】2026年高考数学高三二轮复习卷

小题精练7　函数与方程 (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2025·青岛模拟]函数f(x)＝ax－a(a>0，a≠1)的零点为(　　) A.0 B.1 C.(1，0) D.a 2.[2025·扬州模拟]函数f(x)＝2x＋x－4的零点所在区间为(　　) A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) 3.[2025·梅州模拟]三个函数f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3的零点分别为a，b，c，则a，b，c之间的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a 4.[2024·济宁模拟]若关于x的方程x2－ax＋1＝0(a∈R)有两个正根x1，x2，则a的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.[2025·扬州模拟]函数f(x)＝sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 6.[2025·武汉模拟]已知函数f(x)＝若曲线y＝f(x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，2) D.[0，＋∞) 7.[2025·湛江模拟]设f(x)＝|1－2x|，若关于x的方程f2(x)－3tf(x)＋2t2＝0有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为(　　) A.(0，1) B.(0，) C.[，1) D.(0，1] 8.[2025·长沙模拟]已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则＝(　　) A.(16，32－8) B.(16，32) C.(32＋8，48) D.(32，48) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2025·长沙模拟]已知a>1，函数f(x)＝下列结论正确的是(　　) A.∀x∈(a，＋∞)，f(x)>1 B.若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(1，2] C.若函数y＝f(x)－a有2个零点，则a的取值范围是(1，2] D.若f(x)的图象上不存在关于原点对称的点，则a的取值范围是[，) 10.[2025·怀化模拟]已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A.x1＋x2>0 B.x1x2<0 C.ex1＋ln x2＝0 D.x1x2－x1＋x2>1 11.[2025·无锡模拟]在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(LEJBrouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x0为函数的不动点，则下列说法正确的(　　) A.f(x)＝－x，x>0为“不动点”函数 B.f(x)＝＋x－3的不动点为2 C.f(x)＝恰好有两个不动点 D.若定义在R上仅有一个不动点的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，则f(x)＝x2－x＋1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·恩施联考]设x1满足2x＋lg x＝3，x2满足lg(1－x)－2x＝1，则x1＋x2＝________. 13.[2025·河南四市联考]已知函数f(x)是偶函数，对任意x∈R，均有f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x，则函数g(x)＝f(x)－log5(x＋1)的零点有________个. 14.[2025·徐州模拟]若函数f(x)＝有两个零点，则实数a的取值范围为________. 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 小题精练7函数与方程 1.B[令x)=a一a=0,解得x=1,即函数的零点为1.故选B.] 2.C[因为函数x)=2x+x一4是R上的增函数，又1)=一1<0,2)=2>0，f (1)2)<0,所以函数x)的零点所在区间为(1,2).故选C] 3.B[因为函数x)=x3+x一3，g(x)=lnx十x一3，h(x)=ex十x一3均为增函数， 又1)=-1<0,2)=7>0， 所以函数x)的零点在(1,2)上，即a∈(1,2)， 因为g(2)=ln2-1<0,g(3)=n3>0, 所以函数g(x)的零点在(2,3)上，即b∈(2,3)， 因为h(0)=一2<0，h(1)=e一2>0，所以函数h(x)的零点在(0,1)上，即c∈(0,1)， 综上，c<a<b.故选B] 4.B[根据题意得4=a2一4>0，x1十x2=a>0,)解不等式组得a≥2. 故a的最小值为2.故选B.] 5.D[因为x)=sinx一sin2x=sinx-2 sin xcos x=sinx(1-2cosx), 令fx)=0,得sinx=0或1-2cosx=0,即sinx=0或cosx=12, 又x∈[0,2， 所以当sinx=0时，解得x=0或x=元或x=2元π；当cosx=12时，解得x=π3或x =5π3； 所以函数x)=simx一sin2x在[0,2上共有5个零点.故选D] 6.C[当x≤0时，x)=x2+2x,其在(-∞，一1)上单调递减，在（一1,0）上单调 递增，当0<x<1时，x)=ln(1一x)在(0,1)上单调递减，且0)=0.作出x)的图 象，如图，易知a的取值范围是[-1,2).故选C] y=2x 3 1 -3-2入-191 y=f(x),' 7.C[由P(x)一3坎x)十22=0得x)=t或x)=2t,作出函数x)的图象，易知当 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 t≤0时，不符合题意； y=fx》 0 当>0时，2t,结合函数x)的图象知，要使方程(x)一3x)十22=0有三个不 同的解， 需满足方程x)=t有两个解，方程x)=2t有且只有一个解， 由图象知0<tK1,221,)所以12≤tK1.故选C] 8.A[作出函数y=x)和函数y=m的图象可知， A BC D y=m 7:4-3 0x11x23 y=f(x八 假设两个函数的图象共有4个交点A,B,C,D, 且横坐标分别为1，x2,,x4,x1<x2<x3<x4,0<1<1<x22, 由fx1)=x32),得|log2x=log2x，则有-log2=log22,所以1og2+log2x2=0, 所以x1x2=1.由于二次函数y=x2一8x+13图象的对称轴为直线x=4,C,D两点 关于直线x=4对称，所以3十x4=8,则(x3十x4)x3x1x2=8x3.令x2一8x十13=0， 解得x=4一3或x=4+3,所以3∈(2,4-3)，所以(x3+x4)x3x1x2=8x3∈(16， 32-83).故选A] 9.ABD[对于A,因为a>1,函数y=logax在(a,+∞)上单调递增，所以当x∈(a, +∞)时，fx)=log>a)=logaa=1,正确； 对于B,由fx)在(0，+∞)上单调递增知a>1,a2-3≤logaa=1,, 解得1<a≤2，正确； 对于C,当a=2.1时，函数x)=x2-3,x≤2.1，log2.1x,x>2.1,)作出函数y=f (x)的图象，如图1，由图知，直线y=2.1与函数y=x)有两个交点，则方程2.1 =x)有两个根，即函数y=x)一2.1有2个零点，显然2.1(1,2]，错误： 对于D,易知函数y=x2一3的图象与函数y=一x2+3的图象关于原点对称，作出 示意图2，要使x)的图象上不存在关于原点对称的点，则一（一a)2十3>0，一 a2+3≤logaa=1,)即a2<3,a2≥2，a>1,解得2≤a3,即a的取值范围是[2,3)， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 正确.故选ABD] y=2.1 y=f(x) -ao ai x=2.1 图1 图2 10.BC[依题意，1十ex1=0台e1=一x,x2十lnx2=0台lnx2=一x2, x-y=0 x+y=0 则x1,x2分别是直线y=一x与函数y=e,y=lnx图象交点的横坐标， 而函数y=e与y=lnx互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，又直线y =一x垂直于直线y=x,则点(x1,e)与点(2，ln2)关于直线y=x对称， 则x2=ex1=一1>0，于是x1十x2=0,x2<0,ex1+lnx2=0,BC正确，A错误； x1x2一十x2一1=(1一1)(x2十1)0，即x12一1十x2<1,D错误.故选BC] 11.AD[对于A,由x)=x,得1x一x=x,而>0，解得x=2)2,因此fx)为“不 动点”函数，A正确； 对于B,由x)=x,得x2+5+x一3=x,即x2+5=3,即x2+5=9,解得x=士 2, 经检验符合题意，因此x)的不动点为±2，B错误； 对于C,当x≤1时，fx)=2x2-3,由fx)=x,得2x2一3=x,解得x=一1； 当x>1时，x)=2一x,由x)=x,得2一x=x,无解，因此函数x)只有一个不 动点，C错误； 对于D,设该不动点为t,即)=t,由x)一x2十x)=x)一x2+x, 得)-x2+x=t,即fx)=x2-x十t,于是2-t+t=t,解得t=0或t=1, 当t=0时，x)=x2-x,由x)=x,得x2一x=x,解得x=0或x=2,此时x)有 两个不动点，不符合题意， 当t=1时，x)=x2-x+1,由x)=x,得x2-x+1=x,解得x=1,x)只有一 个不动点，符合题意，因此x)=x2一x十1，D正确.故选AD] ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 12.1[设t=1一x,则x=1一t, 则1g(1一x)-2x=1变形为lgt-2(1-)=1,即2t+lgt=3, 由题意知x1满足2x十lgx=3,则2x1十lg1=3, 易知函数y=2x十lgx一3在(0，+∞)上单调递增， 所以此函数只有一个零点， 因为2t十lgt=3,所以=x1, 又t=1一x2,所以x=1-2,所以x1十x2=1.] 13.4[由题意知函数x)的图象关于y轴对称，由x)=x+2)知x)的周期是2， 在同一平面直角坐标系中画出函数y=fx)的图象与y=log5(x十1)的图象，如图所 示： x=-1 y=f(x)y=log,(x+1) 3-2-101234567x 共有4个不同的交点，即gx)=x)一1ogs(x十1)有4个零点.] 14.avs4 allcol(-14),0)U(0,1][①当a=0时， 如图1，fx)=x-1,x>0,ex,x≤0，由于x≤0时0<er≤1，x>0时x-1>-1, y=f(x)1 -19 图1 此时x)只有一个零点，所以a=0不符合题意； ②当a<0时，x)=x+f一axex+(一a),x≤<0，函数x)的大致图象如图2所示， 由于x≤0时，e+(-a)>0,x>0时，x+-ax-1≥2 rcvnalvs-4 alcol(f-ax》 一1=2一a一1，当且仅当x=一ax,即x=一a时取等号，此时在(0，+∞)上有f (x)mim=2一a一1，要使fx)有两个零点，只需x)min=2一a一1<0，即一14<a<0; =fx) y=f(x) y=-a 2-a- 图2 图3 ③当a>0时，x)=x一faxex一a,x≤0，函数x)的图象如图3所示，由于函数y =x一ax一1在(0，十∞)上是增函数，x→0，x)→-∞，x→十∞，x)→十∞，故 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 与x轴有且只有一个交点，要使x)有两个零点，只需函数y=ex一a(x≤0)有一个 零点即可，当0<a≤1时，y=er一a(x≤0)恰好只有一个零点.综上所述，实数a 的取值范围是las4alco1一f14),OU(0,1]] ·独家授权侵权必究