专题02 三角形中的几何模型（七大题型）（高效培优专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题02 三角形中的几何模型 题型一：A字模型 题型二：飞镖模型（或燕尾模型） 题型三：8字模型 题型四： 双内角平分线模型 题型五：内外角平分线模型 题型六：双外角平分线模型 题型七：高分线模型 题型一：A字模型 【模型解读】 【结论1】如图（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A . 证明：∵∠DBC=∠A+∠ACB ,∠ECB=∠A+∠ABC , ∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180°. 【结论2】如图（2），∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 证明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A+∠D+∠E=180° , ∴∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 【针对训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，和是的两个外角，若，则的度数为 .    4．（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如图，把沿着折叠，使点A落在四边形的内部，并且，，则的度数是 ． 题型二：飞镖模型（或燕尾模型） 【模型解读】 结论：如图，∠BCD=∠A+∠B+∠D . 证明：延长BC交AD于点F .∵∠1=∠A+∠B ,∠BCD=∠1+∠D ,∴∠BCD=∠A+∠B+∠D . 5．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如下图．等于（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，，试求 ； 8．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，若，则 ．    9．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，，分别平分与，且交于点()，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 题型三：8字模型 【模型解读】 结论：如图，∠A+∠B=∠C+∠D . 证明：∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B . ∵∠BEC是△CDE 的外角,∴∠BEC=∠C+∠D ,∴∠A+∠B=∠C+∠D . 【针对训练】 10．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，，与相交于点O，，．求的度数． 11．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，与分别是和的角平分线，则与，之间的数量关系是 ．    12．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，和相交于点O，分别平分和，若，则 ． 13．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，相交于点O，，分别平分，，且交于点P．    （1）若，，则 °； （2）若，则 ． 14．【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：． 【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：． 15．【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 题型四： 双内角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是， 的平分线，则 . 【针对训练】 16．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，，点D是和平分线的交点，则 ． 18．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，，平分，平分． （1）若，则的度数为 ． （2）若的度数为，的度数为，则与的数量关系是 ． 19．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，已知在中，与的平分线交于点P． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 20.在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 题型五：内外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【针对训练】 21．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，与的平分线交于点P，设的度数为x度，的度数为y度，则y与x之间的函数关系式为 ． 24．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，和外角的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得，已知、、的和为，则 ． 25．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则 度．    26．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点． （1）当与满足 的关系时，； （2）当时， ．    27．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）已知：在中，平分，、相交于点．    (1)如图①，若，，，则____________； (2)如图②，若平分，且，则_______________； (3)如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 28．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 题型六：双外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【针对训练】 29．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，中，．若的两个外角平分线，交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点是和的平分线的交点． （1）若，则的度数为 ； （2）若分别是延长上的点，和的平分线交于点P，，则的度数为 ，（用含的代数式表示） 31．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是内一点，连接、、，是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，的外角平分线和的外角平分线相交于点，若，，则 ． 32．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 题型七：高分线模型 【模型解读】 条件：是高， 是角平分线.结论： 条件：是高，是角平分线，是 延长线上一点，过作 . 结论： 【针对训练】 33．（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 34．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点M为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 35.如图，在中，AD是的平分线，P为线段AD上一个动点，于点P，交BD的延长线于点E． (1)若，，求和； (2)若，，求的度数； 36．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，CD是的角平分线，点在AC上，BE交CD于点，． (1)若，如图1，求的度数； (2)若，如图2，，求的度数． 37．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 39．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，过点C作交的延长线于点Q． (1)若，，则______°，______°． (2)若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含m的代数式表示）． (3)若中一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形中的几何模型 题型一：A字模型 题型二：飞镖模型（或燕尾模型） 题型三：8字模型 题型四： 双内角平分线模型 题型五：内外角平分线模型 题型六：双外角平分线模型 题型七：高分线模型 题型一：A字模型 【模型解读】 【结论1】如图（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A . 证明：∵∠DBC=∠A+∠ACB ,∠ECB=∠A+∠ABC , ∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180°. 【结论2】如图（2），∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 证明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A+∠D+∠E=180° , ∴∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 【针对训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， ， 在中，． 故选：B． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，和是的两个外角，若，则的度数为 .    【答案】/234度 【详解】解：和是的两个外角， ， ， ． 故答案为：． 4．（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如图，把沿着折叠，使点A落在四边形的内部，并且，，则的度数是 ． 【答案】/45度 【详解】解：延长和交于O， 把沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部， ，， ，， ，， ，， ， 故答案是：． 题型二：飞镖模型（或燕尾模型） 【模型解读】 结论：如图，∠BCD=∠A+∠B+∠D . 证明：延长BC交AD于点F .∵∠1=∠A+∠B ,∠BCD=∠1+∠D ,∴∠BCD=∠A+∠B+∠D . 5．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：过点，，作射线，如图 ∵， ∴ ∵，，， ∴ 故答案为 ： 6．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如下图．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，延长，交于点G， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，，试求 ； 【答案】/105度 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，若，则 ．    【答案】/250度 【详解】解：如图，进行标注，   是的一个外角， ， 是的一个外角， ，即， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，，分别平分与，且交于点()，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【详解】解：，与之间的数量关系是， 证明：如图，延长交于点，设与交于点， 平分， ， 平分， ， ，， ， ， ， 又，， ， ． 题型三：8字模型 【模型解读】 结论：如图，∠A+∠B=∠C+∠D . 证明：∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B . ∵∠BEC是△CDE 的外角,∴∠BEC=∠C+∠D ,∴∠A+∠B=∠C+∠D . 【针对训练】 10．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，，与相交于点O，，．求的度数． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵， ∴． 11．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，与分别是和的角平分线，则与，之间的数量关系是 ．    【答案】 【详解】解：∵与分别是和的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，和相交于点O，分别平分和，若，则 ． 【答案】70 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵分别平分和， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， 即． 故答案为：70 13．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，，相交于点O，，分别平分，，且交于点P．    （1）若，，则 °； （2）若，则 ． 【答案】 65 3 【详解】解：（1）由对顶角相等可得，设， 中，， ∴， 中，， ∴， 是的外角，则， 是的外角，则， ∴， ∴， 故答案为：65； （2）设，，，， 由（1）解答可得： ， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3； 14．【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：． 【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：． 【详解】证明：（1）在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）同（1）中模型可得，在相交线中，有， 在相交线中，有， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴． 15．【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）①设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， 故答案为：； ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 题型四： 双内角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是， 的平分线，则 . 【针对训练】 16．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ，分别是，的平分线， ，， ， ， 故选A． 17．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，，点D是和平分线的交点，则 ． 【答案】/111度 【详解】解：∵D点是和角平分线的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，，平分，平分． （1）若，则的度数为 ． （2）若的度数为，的度数为，则与的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：（1）如图，连接，      ， ∵平分，平分， ， ， ， 故答案为： （2）由折叠可知：， ， ． 即． 故答案为： 19．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，已知在中，与的平分线交于点P． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴，分别为与的平分线， ∴， ∴． （2）解：∵中，， ∴， ∴，分别为与的平分线， ∴， ∴． 20.在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 【详解】（1）解：在中， ∵，的角平分线，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴； （3）解：∵P，Q分别是线段，上的点，射线与的平分线所在的直线相交于点H， ∴有以下两种情况： ①射线与的平分线相交于点H，设射线交于K，如图1所示： 由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②射线与的平分线所在的直线相交于点H时，设射线交于K，如图2所示： 同理：， 在中，， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 题型五：内外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【针对训练】 21．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：平分，平分， ，， ①，②， 由②得：， ③， 由①和③得：， ， ， 同理， ， ， 故选：C． 22．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：为外角的平分线，平分， ，， 又是的外角， ， ，故选项A不符合题意； ，分别平分，， ，， ， ， 故选项C、D不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 23．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，与的平分线交于点P，设的度数为x度，的度数为y度，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【详解】解：∵与的平分线交于点P，设的度数为x度，的度数为y度， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，和外角的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得，已知、、的和为，则 ． 【答案】 【详解】解：∵中，和外角的平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵和的平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、、的和为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则 度．    【答案】/15度 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 整理得：， ∵， ∴， 同理可得：， 故答案为：．    26．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点． （1）当与满足 的关系时，； （2）当时， ．    【答案】 /度 【详解】（1）解：平分， ， ， 当时，， 故答案为：； （2）解：平分，平分， ， 又 , 当时, ， 故答案为： 27．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）已知：在中，平分，、相交于点．    (1)如图①，若，，，则____________； (2)如图②，若平分，且，则_______________； (3)如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：在中，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：； 故答案为：； （3）解：∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， 即， 解得：． 28．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：如图，设与交于点， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ； （3）解：平分，平分， ，， ， 平分，平分， ∴由（2）可知：， ， ， ， ． 题型六：双外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【针对训练】 29．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，中，．若的两个外角平分线，交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴的两个外角和为：， ，的两个外角的角平分线， ， ， 故选：B． 30．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点是和的平分线的交点． （1）若，则的度数为 ； （2）若分别是延长上的点，和的平分线交于点P，，则的度数为 ，（用含的代数式表示） 【答案】 /105度 【详解】解：（1）∵是和的平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是和的平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 31．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是内一点，连接、、，是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，的外角平分线和的外角平分线相交于点，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示： 设的延长线交于，，则， ， ， 平分， ， ， 在中，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 32．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 题型七：高分线模型 【模型解读】 条件：是高， 是角平分线.结论： 条件：是高，是角平分线，是 延长线上一点，过作 . 结论： 【针对训练】 33．（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 【答案】 ； ． 【详解】（）∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点M为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵平分，且， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：①如图，当时，则； ②如图，当时， 则， ∴； 综上，的度数为或． 35.如图，在中，AD是的平分线，P为线段AD上一个动点，于点P，交BD的延长线于点E． (1)若，，求和； (2)若，，求的度数； 【详解】（1）解：在中，， ∵AD平分， ∴ ． ∵是的外角， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 36．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，CD是的角平分线，点在AC上，BE交CD于点，． (1)若，如图1，求的度数； (2)若，如图2，，求的度数． 【详解】（1）解：CD是的平分线， ． ， ． ， ； （2）解：，CD是的平分线， ，， ， ， 37．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 【详解】（1）在中，已知，则， 是的平分线， ． 是边上的高线， ， 在中， ， ； （2）猜想：，证明如下： ，， ∴； （3）当是钝角时，上述猜想成立， 设． 根据三角形内角和定理，， 是的平分线， 是边上的高线， ， 在中， 所以当是钝角时，上述猜想仍然成立． 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 【详解】解：（1）是边上的高线， ， 是的角平分线，， ， 又， ； （2）解为的角平分线， ， 是边上的高， ， ； （3）如图：作出的平分线，与交于D点．作出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F， 证明：在中，， ， 又平分， ， ． 又平分， ， ， ， ， ， ． 39．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，过点C作交的延长线于点Q． (1)若，，则______°，______°． (2)若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含m的代数式表示）． (3)若中一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【详解】（1）解： 在中，，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， 在中，； ， ∵， ， 在中，， （2）解：、均不发生变化，，，理由如下： ， ，， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 由（1）可知：， 在中，； （3）解：由（1）（2）可知：在中，，，， 当若中存在一个内角等于另一个内角的4倍时，有以下4中情况： ①当时，则， 解得：； ②当时，则， 解得：； ③当时，则， 解得：； ④当时，则， 解得：， 综上所述：若中存在一个内角等于另一个内角的4倍时，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$