第09讲幂、指数与对数（知识清单+6题型讲解练+强化训练）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修一）

第09讲幂、指数与对数 知识清单 知识点01：指数幂的拓展 1 知识点02：对数 2 知识点03：常用对数与自然对数 2 知识点04：对数的基本性质 2 知识点05：对数的运算性质 2 知识点06：对数的换底公式 3 题型归纳 题型01 指数幂的拓展 3 题型02 对数的概念判断与求值 4 题型03 指数式与对数式的互化 4 题型04 对数的运算 5 题型05 对数的运算性质的应用 6 题型06 运用换底公式化简计算 6 强化训练 7 知识点01指数幂的拓展 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； 2.规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； 3.对任意给定的正数、及实数、，有，， 知识点02 对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 知识点03常用对数与自然对数 知识点04对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 知识点05 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点06对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有logab＝. 题型01 指数幂的拓展 【例1】（23-24高一上·上海·期中）已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）在实数范围内，的四次方根是 ． 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 题型02 对数的概念判断与求值 【例2】（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 【变式1】（22-23高一上·上海松江·期中）对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【变式3】（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 题型03 指数式与对数式的 互化 【例3】若log32=x，则3x+9x的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为 ． 【变式2】设实数a，b，c为正数，且满足，，，求实数a，b，c的值． 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 对数的运算 【例4】（23-24高一上·上海黄浦·期中）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D．以上答案均不对 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，用含的代数式表示 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 题型05 对数的运算性质的应用 【例5】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示 ． 【变式3】已知，且，且，求的值． 题型06 运用换底公式化简计算 【例6】（24-25高一上·上海宝山·期中）下列表达式正确的是（    ） A． B．，，，， C． D． 【变式1】设，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则 .（结果用表示） 【变式3】（24-25高一上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，用表示. 一、单选题 1．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海青浦·期中）现有下列计算式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④⑤ D．④⑤ 3．（24-25高一上·上海奉贤·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（   ）． A．607 B．608 C．609 D．610 4．（24-25高一上·上海·期中）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（    ）天能达到最初的1800倍. A．129 B．150 C．197 D．199 5．（24-25高一上·上海金山·期中）对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高一上·上海奉贤·期中）化简 ． 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 8．（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 9．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 10．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 11．（24-25高一上·上海松江·期中）已知，则 ．（用的代数式子表示） 12．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ．（用a和b表示） 13．（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 三、解答题 14．（22-23高一上·上海静安·期中）已知正数a，b满足，求a，b，c的值. 15．求值：.（写出必要的解答过程） 16．（23-24高一上·上海虹口·期中）（1）设，且．求的值； （2）已知，，用及表示． 17．（23-24高一上·上海·期中）（1）已知，，用a、b表示. （2）设，为方程的两个根，求的值. 18．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，b均为正实数． (1)比较与的大小并证明； (2)若，且，求实数m的值． 19．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲幂、指数与对数 知识清单 知识点01：指数幂的拓展 1 知识点02：对数 2 知识点03：常用对数与自然对数 2 知识点04：对数的基本性质 2 知识点05：对数的运算性质 2 知识点06：对数的换底公式 3 题型归纳 题型01 指数幂的拓展 3 题型02 对数的概念判断与求值 5 题型03 指数式与对数式的互化 7 题型04 对数的运算 9 题型05 对数的运算性质的应用 11 题型06 运用换底公式化简计算 13 强化训练 15 知识点01指数幂的拓展 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； 2.规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； 3.对任意给定的正数、及实数、，有，， 知识点02 对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 知识点03常用对数与自然对数 知识点04对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 知识点05 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点06对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有logab＝. 题型01 指数幂的拓展 【例1】（23-24高一上·上海·期中）已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）在实数范围内，的四次方根是 ． 【答案】 【详解】由指数运算可知，， 所以的四次方根是或， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【答案】 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）将代入函数解析式，结合完全平方公式可求得的值. （2）将代入函数解析式可得具体方程，再结合完全平方公式可解得方程的解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以. （2）因为， 则， 所以， 又因为，且， 所以. 题型02 对数的概念判断与求值 【例2】（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 【答案】C 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】利用首数与尾数的概念求解即可. 【详解】 ，首数为，尾数为 故选：C． 【变式1】（22-23高一上·上海松江·期中）对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数中底数的取值要求进行求解判断即可. 【详解】对数中的实数的取值要求为：且， A：本选项显然不符合题意； B：，显然不符合题意； C：，或，显然不符合题意； D：且，所以有且，显然符合题意， 故选：D 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分析可知，对任意的，且，当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型03 指数式与对数式的 互化 【例3】若log32=x，则3x+9x的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用指对数互化即可求解. 【详解】由log32=x得3x=2，因此9x=(3x)2=4，所以3x+9x=2+4=6. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为 ． 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式与对数式互化关系即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 【变式2】设实数a，b，c为正数，且满足，，，求实数a，b，c的值． 【答案】 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】利用对数式指数式互化及条件即求. 【详解】由得，即， 由得，又， ∴. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型04 对数的运算 【例4】（23-24高一上·上海黄浦·期中）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D．以上答案均不对 【答案】C 【知识点】对数的运算 【分析】根据相反数得到，计算得到答案. 【详解】与互为相反数，则，即，. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】结合对数的运算，化简可得，得到并解出方程组即可. 【详解】由题可得：， 即， 所以，解得：. 所以. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，用含的代数式表示 ． 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数运算来求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据条件，利用对数的运算，即可求解. 【详解】因为，又，， 所以. 题型05 对数的运算性质的应用 【例5】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】利用对数的运算性质求解即可. 【详解】， 故选：C 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的概念判断与求值、对数的运算性质的应用 【分析】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如， 则， 此时，故D错误； 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示 ． 【答案】； 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】应用对数运算律计算化简即可. 【详解】因为，则 所以． 故答案为：. 【变式3】已知，且，且，求的值． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质化简即可求得. 【详解】因为，且，且， 所以①，②， 联立得，所以，所以． 故答案为： 题型06 运用换底公式化简计算 【例6】（24-25高一上·上海宝山·期中）下列表达式正确的是（    ） A． B．，，，， C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、运用换底公式化简计算 【分析】利用元素与集合的关系判断AC；利用对数的概念及换底公式的意义判断B；利用平方根的意义判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，而，与不一定相等，因此不一定等于，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 故选：A 【变式1】设，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据，利用换底公式求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：D 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则 .（结果用表示） 【答案】 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，用表示. 【答案】（1）；（2） 【知识点】指数幂的化简、求值、运用换底公式化简计算 【分析】（1）对题设条件两边平方后可得的值. （2）利用换底公式可求（用表示）. 【详解】（1）由题设有可得，故. （2）因为，故，故. 一、单选题 1．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算公式化简计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 2．（23-24高一上·上海青浦·期中）现有下列计算式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④⑤ D．④⑤ 【答案】D 【分析】由对数的运算性质与换底公式依次判断即可. 【详解】①右边， 当时，左边无意义，右边，故不成立； ②当时，，故不成立； ③，故不成立； ④由对数的运算性质，，式子成立； ⑤由换底公式，，故式子成立. 其中正确的是④⑤. 故选：D. 3．（24-25高一上·上海奉贤·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（   ）． A．607 B．608 C．609 D．610 【答案】B 【分析】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果. 【详解】因为，则， 即，所以的位数为. 故选：B. 4．（24-25高一上·上海·期中）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（    ）天能达到最初的1800倍. A．129 B．150 C．197 D．199 【答案】A 【分析】设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，列出方程，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为， 设经过天后蝗虫数量达到原来的倍， 则， ，， ，大约经过天能达到最初的倍． 故选：A 5．（24-25高一上·上海金山·期中）对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用取整函数的性质得到的取值情况，即可得到答案. 【详解】设，若是整数，则. 若不是整数，则，从而，故，这就得到. 而原式为，在中恰有是整数，所以其中有个不是整数. 故. 故选：C. 二、填空题 6．（24-25高一上·上海奉贤·期中）化简 ． 【答案】 【分析】将根式化为分式指数幂的形式，再结合指数幂运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】条件等式两边平方可求，结合立方和公式求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【分析】由根式的计算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 【答案】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海松江·期中）已知，则 ．（用的代数式子表示） 【答案】 【分析】根据对数的运算即可得． 【详解】由，，则． 故答案为：． 12．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ．（用a和b表示） 【答案】 【分析】由题意可得，利用换底公式结合对数运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】先由韦达定理得，，然后化简求解即可. 【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可知，. 则 . 故答案为：. 三、解答题 14．（22-23高一上·上海静安·期中）已知正数a，b满足，求a，b，c的值. 【答案】，，. 【分析】利用对数的运算公式和换底公式计算即可. 【详解】由得，， ，所以，则，. 15．求值：.（写出必要的解答过程） 【答案】2 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】解： . 16．（23-24高一上·上海虹口·期中）（1）设，且．求的值； （2）已知，，用及表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. 【详解】（1） . （2）依题意，， 所以. 17．（23-24高一上·上海·期中）（1）已知，，用a、b表示. （2）设，为方程的两个根，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据对数的换底公式和对数的运算性质即可用，表示出； （2）根据韦达定理得出，然后根据立方差和平方差公式化简分式，并代值求解． 【详解】（1）已知，， 则，故 （2）设，为方程的两个根，则，易知， . 18．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，b均为正实数． (1)比较与的大小并证明； (2)若，且，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法，对与相减，化简进而得解； （2）先用表示出，，代入，从而得解. 【详解】（1）解：因为， 又a，b均为正实数， 所以， 所以， 即； （2）因为， 所以，， 因为， 所以，即， 因为， 故. 19．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 【答案】（1）；（2）或；（3）（4） 【分析】利用对数运算的法则和换底公式求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以； （2） ， 设则 则即或 即或 或. （3），则. ，， 则 （4）， 1 学科网（北京）股份有限公司 $