第08讲基本不等式及其应用（知识清单+2题型讲解练+强化训练）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修第一册）

第08讲基本不等式及其应用 知识清单 知识点01：算术平均值与几何平均值 1 知识点02：平均值不等式 1 知识点03：平均值不等式与最值 2 知识点04：三角不等式 2 题型归纳 题型01 基本（均值）不等式的应用 3 题型02 绝对值三角不等式 5 强化训练 6 知识点01.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 知识点02平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【注意】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 知识点03.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 知识点04.三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 题型01基本（均值）不等式的应用 【例1】（24-25高一上·上海·期中）已知， ①若，则的最小值为 ②若，则的最小值为 ③若，则的最小值为 ④的最大值为 上述列命题中，正确的命题是（    ） A．①②④ B．②④ C．③④ D．②③ 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【变式3】（23-24高一上·上海普陀·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 题型02 绝对值三角不等式 【例2】（24-25高一上·上海宝山·期中）下列不等式：①；②；③；④；解集为的不等式的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 【变式2】（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知实数a､b､c､d，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值. (1)求证：； (2)若任取a，，a与c的误差､b与d的误差最大值均为0.1，求ab与cd误差的最大值，并求出此时a､b､c､d的值. 【变式3】已知． (1)若均为正数，证明，并且写出等号成立的条件； (2)若，且恒成立，求的取值范围； 一、单选题 1．（22-23高一上·上海静安·期中）下列各式中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 2．设不等式（常数）的解集是M，设不等式（常数）的解集是N，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若不等式，当时总成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为，函数与交于点，函数与交于点，当（    ）时，的值最小. A．1 B． C． D．2 6．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 二、填空题 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是 ． 8．（24-25高一上·上海·期中）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 9．（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是 ． 10．（24-25高一上·上海·期中）已知一个矩形的周长为定值4，则它面积的最大值为 11．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则下列四个命题正确的个数是 ． ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则． 12．（23-24高一上·上海黄浦·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里=300步）． 三、解答题 13．（23-24高一上·上海·期中）（1）设为实数，比较和的值的大小； （2）用三角不等式证明对所有实数恒成立，并求等号成立的条件． 14．已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)若不等式对于任意及条件中的任意恒成立，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·上海·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 16．（23-24高一上·上海闵行·期中）为宣传2023年上海马拉松，某校现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有形状、大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度均为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为.    (1)设其中一个栏目的宽为，试把整个矩形海报的面积表示成的代数式，并求出的最小值； (2)如果要求整个矩形海报的面积不超过，并且的长度不超过的一半，求长度的取值范围. 17．（23-24高一上·上海松江·期中）2023年10月25日松江区第六届中学生社团节线上投票正式开始，为了加大宣传力度，作为华政附高的一份子，现在请大家为我校模拟政协社团设计一份矩形宣传海报，海报内容主要包括社团简介和社团活动两部分，即海报分为两个面积相等的宣传栏，如图所示为海报的宽x，为海报的高y.宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，四周空白的宽度为2cm，两栏之间的中缝留白的宽度为2cm.    (1)请用海报的宽x表示海报的高y，并写出x和y的取值范围； (2)为了节约成本，应该如何选择海报的高与宽的尺寸（单位：cm），可使得用纸最少（即矩形的面积最小），并求出这个最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲基本不等式及其应用 知识清单 知识点01：算术平均值与几何平均值 1 知识点02：平均值不等式 1 知识点03：平均值不等式与最值 2 知识点04：三角不等式 2 题型归纳 题型01 基本（均值）不等式的应用 3 题型02 绝对值三角不等式 7 强化训练 10 知识点01.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 知识点02平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【注意】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 知识点03.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 知识点04.三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 题型01基本（均值）不等式的应用 【例1】（24-25高一上·上海·期中）已知， ①若，则的最小值为 ②若，则的最小值为 ③若，则的最小值为 ④的最大值为 上述列命题中，正确的命题是（    ） A．①②④ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】D 【知识点】基本（均值）不等式的应用、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用条件等式、“1”的代换及基本不等式求各项的最值，即可判断. 【详解】①由题设，当且仅当时取等号，错； ②由题意，则， 当且仅当时等号成立，对； ③由题意，故， 则（舍）或，当且仅当时取等号，对； ④由 ，当且仅当时等号成立，错. 综上，正确的有②③ 故选：D 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 【答案】24 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】根据给定条件，列出篱笆总长表达式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令垂直于墙的矩形边长为，平行于墙的矩形边长为，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以所用篱笆总长C最小值是24. 故答案为：24 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为时，面积取得最大值. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. （2）依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 最小，最小值平方米. 【变式3】（23-24高一上·上海普陀·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 【答案】(1)的长应在 (2)当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）设出米，则米，求出矩形面积的表达式，根据矩形的面积大于32平方米解不等式可得答案； （2）利用基本不等式求解可得答案. 【详解】（1）设，则由与相似得 ，整理得， 矩形的面积， 即， 当时，得，整理得， 解得，或，又， 所以的长应在； （2）时，， 当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，当的长为米，矩形花坛的面积 题型02 绝对值三角不等式 【例2】（24-25高一上·上海宝山·期中）下列不等式：①；②；③；④；解集为的不等式的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式、绝对值三角不等式 【分析】根据时即可判定①，根据二次的性质即可求解②，根据绝对值三角不等式的性质即可求解③，根据分式的性质即可求解④. 【详解】对于①，当时，，当且仅当时取等号， 但当时，无意义，故的解集不是，错误， 对于②，，当取到等号，解集为不是，故错误， 对于③，，当时取等号，解集为，故正确； 对于④，由于恒成立，故等价于恒成立，故解集为，正确， 故正确的有③④， 故选：C 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 【答案】4 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值三角不等式求解. 【详解】解：因为，，，， 所以， ， 故答案为： 【变式2】（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知实数a､b､c､d，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值. (1)求证：； (2)若任取a，，a与c的误差､b与d的误差最大值均为0.1，求ab与cd误差的最大值，并求出此时a､b､c､d的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2.01，此时，，， 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】（1）由，根据即可得证； （2）根据（1）的结论及两个实数误差的定义运算即可得解. 【详解】（1） . （2）因为， 由（1） ， 此时只需等号成立. 【变式3】已知． (1)若均为正数，证明，并且写出等号成立的条件； (2)若，且恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)证明见解析，当且仅当时取等号； (2)的取值范围或. 【知识点】绝对值三角不等式、利用基本不等式证明不等式 【分析】（1）、三次利用基本不等式，再相加整理化简即可证明； （2）、利用绝对值三角不等式求出，根据题意可知，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】（1），，，，，，三式相加可得， ，当且仅当时取等号. ,,当且仅当时取等号. （2）若，，，， ，， ， 当且仅当时等号成立，， 恒成立，，即或． 的取值范围为或. 一、单选题 1．（22-23高一上·上海静安·期中）下列各式中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式以及取等条件可判断A,B,C，根据二次函数的性质可求解D. 【详解】对于A，当时，，所以最小值不为2，A错误； 对于B，， 当且仅当得不成立， 所以，故B错误； 对于C，， 当且仅当，时取得等号， 所以的最小值为2，C正确； 对于D，因为，所以，故D错误， 故选:C. 2．设不等式（常数）的解集是M，设不等式（常数）的解集是N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由绝对值三角不等式，可知，从而得到即可得解． 【详解】解：由绝对值三角不等式，可知． 不等式（常数）的解集为N，不等式 （常数）的解集为M， ， 故选：A． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若不等式，当时总成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质求得的最大值，然后解相应不等式可得. 【详解】因为， 所以不等式，当时总成立等价于， ，，，所以， 故选：C. 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据取等号时的等式分析出之间的关系，然后再逐项分析选项是否与所得到的之间的关系等价即可. 【详解】当不等式取等号时有， 所以，所以， 所以，所以， 所以或， 对于A：等价于或，不满足； 对于B：等价于或，不满足； 对于C：等价于或，不满足； 对于D：等价于或，即为或，满足； 故选：D. 5．如图，正方形的边长为，函数与交于点，函数与交于点，当（    ）时，的值最小. A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意将与分别表示出来，然后结合均值不等式即可得到结果. 【详解】因为点在函数上，则， 点在函数上，则，即， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的值最小. 故选:B. 6．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，时取等号， 即时，必有，， 所以成立， 所以由，可推出， 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，必有成立， 此时，不一定成立， 所以由推不出， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 二、填空题 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是 ． 【答案】3 【分析】根据恒成立问题结合绝对值的三角不等式分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则， 所以实数a的最大值是3. 故答案为：3. 8．（24-25高一上·上海·期中）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式的取等条件即可求解. 【详解】，即， 所以当，即或时等号成立. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是 ． 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式等号的成立条件可求解. 【详解】因为， 又， 当且仅当时，等号成立， 解得， 所以方程的解集是， 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·期中）已知一个矩形的周长为定值4，则它面积的最大值为 【答案】 【分析】设矩形的长和宽为，根据周长为结合基本不等式可求解出面积的最大值. 【详解】设矩形的长和宽为， 因为，所以， 所以面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为， 故答案为：. 11．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则下列四个命题正确的个数是 ． ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则． 【答案】3 【分析】根据不等式的性质判断ABC，取特殊值判断D即可. 【详解】因为，所以，所以，即，故①正确； 因为，由不等式性质可得，即，故②正确； 因为，所以由可得，即， 同理，由可得，所以，故③正确； 取，满足，而，故④错误. 故答案为：3 12．（23-24高一上·上海黄浦·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里=300步）． 【答案】 【分析】根据题目条件得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】设该小城的长宽分别为，，步里，步里， 则，即， 故周长为，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 三、解答题 13．（23-24高一上·上海·期中）（1）设为实数，比较和的值的大小； （2）用三角不等式证明对所有实数恒成立，并求等号成立的条件． 【答案】（1）；（2）证明见解析，时，等号成立 【分析】（1）利用作差法比较； （2）利用三角不等式证明. 【详解】解：（1）因为， 所以； （2）由三角不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立. 14．已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)若不等式对于任意及条件中的任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知变形, 展开后利用基本不等式求最小值. （2）结合已知条件, 可以先求出的最大值, 从而求出的最大值. （3）由（1）问可知, 结合, 求解即可. 【详解】（1）∵, , , ∴, 即的最小值为2, 当且仅当时等号成立. （2）, 当且仅当,即时取等号. 所以的最大值为. （3）由（1）问可知的最小值为2, ∵, ∴, 解得. 15．（24-25高一上·上海·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 【答案】(1)； (2)矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为. 【分析】（1）设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为，可得种植蔬菜矩形的宽为，再根据矩形的面积公式即可得答案； （2）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为， 则矩形温室的宽为,种植蔬菜矩形的长为，宽为， 所以； （2）解：因为， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 即当矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为 16．（23-24高一上·上海闵行·期中）为宣传2023年上海马拉松，某校现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有形状、大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度均为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为.    (1)设其中一个栏目的宽为，试把整个矩形海报的面积表示成的代数式，并求出的最小值； (2)如果要求整个矩形海报的面积不超过，并且的长度不超过的一半，求长度的取值范围. 【答案】(1)，，的最小值为 (2) 【分析】（1）设矩形栏目的高为，利用矩形栏目面积得，表示出海报广告的面积，利用基本不等式求出最小值即可； （2）根据题意列不等式结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）设矩形栏目的高为，由题意，所以， 则整个矩形海报广告的高为，宽为，(其中)， 则整个矩形海报广告的面积： ， 当且仅当，即时取等号，此时. 故当矩形栏目的宽为，高为时，可使整个矩形海报的面积最小为. （2）由题意，即， 所以，解得， 又的长度不超过的一半，所以，所以， 又，所以， 所以，即长度的取值范围为. 17．（23-24高一上·上海松江·期中）2023年10月25日松江区第六届中学生社团节线上投票正式开始，为了加大宣传力度，作为华政附高的一份子，现在请大家为我校模拟政协社团设计一份矩形宣传海报，海报内容主要包括社团简介和社团活动两部分，即海报分为两个面积相等的宣传栏，如图所示为海报的宽x，为海报的高y.宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，四周空白的宽度为2cm，两栏之间的中缝留白的宽度为2cm.    (1)请用海报的宽x表示海报的高y，并写出x和y的取值范围； (2)为了节约成本，应该如何选择海报的高与宽的尺寸（单位：cm），可使得用纸最少（即矩形的面积最小），并求出这个最小值. 【答案】(1)， (2)海报的高为，宽为； 【分析】（1）根据题意，结合题中图象，可得阴影部分面积等式，变化等式即可； （2）把x表示海报的高y的表达式代入，分离常数后，可利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）根据题意知，， 则，且有. （2）因为 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 故海报的高为，宽为时，用纸最少，此时用纸为 1 学科网（北京）股份有限公司 $