第07讲不等式的求解（知识清单+8题型讲解练+强化训练）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修第一册）

第07讲不等式的求解 知识清单 知识点01：一元二次不等式 1 知识点02：分式不等式的解法 2 知识点03：简单绝对值不等式的解法 3 题型归纳 题型01 解不含参数的一元一次不等式 3 题型02 解含参数的一元一次不等式 6 题型03 用一元二次不等式确定参数 8 题型04 一元二次方程根的分布问题 11 题型05 分式不等式 14 题型06 由基本不等式证明不等关系 16 题型07 基本不等式求和的最大值与最小值 18 题型08 基本不等式“1”的妙用求最值 21 强化训练 23 知识点01.一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 知识点02分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 知识点03.简单绝对值不等式的解法 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 题型01 解不含参数的一元一次不等式 【例1】（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【答案】1 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】由题意知不等式的解集为，则，解之即可求解. 【详解】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解. 【详解】对于， 当时，解得，不满足题意； 当时，与矛盾，即不等式组无实数解， 综上，. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】利用一次函数的单调性与一元一次不等式的解法由条件可得到的关系式，再代入到中，解不等式即可. 【详解】将不等式 移项整理： ， 因为不等式的解集为， 所以， 所以， 代入中可得：， 又因为， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）把一些书分给几个学生，学生的人数不超过6人，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的人每人分5本，最后一人分不到3本，求书有多少本？学生有多少人？ 【答案】书26本，学生6人 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】结合题意列关于学生人数的不等式求解,并结合学生的人数求解书本的人数即可. 【详解】设学生有x人，x为正整数， 解得，x为正整数，所以． 故学生有6人，书本人数为 所以书26本，学生6人． 题型02 解含参数的一元一次不等式 【例2】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】对参数与的关系以及与的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可. 【详解】当时，，则，不等式解集为； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为； 当时，，则，不等式解集为； 故不等式解集不可能为. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得. 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【答案】0 【知识点】利用不等式求值或取值范围、解含参数的一元一次不等式 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 【变式3】（22-23高一上·上海宝山·期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】根据给定的解集，求出a，b的关系，再代入求解不等式作答. 【详解】因关于的不等式解集为，则1是方程的根，且， 因此，且，不等式化为：，而，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为： 题型03 由一元二次不等式的解确定参数 【例3】（23-24高一上·上海·期中）已知：一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求解对应系数的关系，代入所求的不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解集为， 所以，且，是对应方程的两个实数根. 所以解得，，其中， 不等式化为，即. 解得或，因此所求不等式的解集为. 故选：B 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】由一元二次不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则，， ，， 所以不等式为， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 【变式3】（23-24高一上·上海静安·期中）已知不等式的解集是， (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次不等式的性质即可求解； （2）先因式分解，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意得的两个根为，， ，， ，； （2）由（1）得，即， ①当时，由，得，所以不等式的解集为； ②当时，由，得或，所以不等式的解集为； ③当时，由，得或，所以不等式的解集为； 综上所述， 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：. 题型04 一元二次方程根的分布问题 【例4】已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】由已知可得判别式，再借助韦达定理及两根都大于1的条件列出不等式，求解即得. 【详解】设方程的两根为，依题意有：， 因都大于1，则，且，显然成立， 由得，则有，解得， 由解得：，于是得， 所以的取值范围是. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】由题意，利用一元二次方程实根的分布规律列式求解即可. 【详解】设，显然函数的图象开口向上， 又的两根一个比2大，另一个比2小，则， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程根的分布问题 【分析】由题意可得，是方程的两个不等实根，由判别式大于0可得范围．再由，取范围交集得解. 【详解】因为，， 所以，是方程的两个不等实根， 则△，解得． 而，即，解得，或（不和题意，舍去），所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3 题型05 分式不等式 【例5】（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式不等式 【分析】易得，再结合不等式的性质即可得出答案. 【详解】因为， 所以不等式等价于不等式. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·上海·期中）设条件，条件，则条件是条件的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】分别计算所表示的集合，再根据充分条件和必要条件的定义判定选项即可. 【详解】对应的集合为或，对应的集合为或 条件是条件的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）设，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由可得， 即， 解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】先将原不等式化为右边为零的形式，再转化成整式不等式，对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集. 【详解】由，得到，等价于且， 当时，解得或，当时，解得， 当，即时，，当，即时，， 当，即时，， 综上所述，当时，原不等式解集为或， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为. 题型06 由基本不等式证明不等关系 【例6】（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 【答案】 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【变式2】命题“已知，若且，则”，判断命题的真假，并证明. 【答案】真，证明见解析 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】利用基本不等式判断与证明命题的真假. 【详解】因为且，所以， 当且仅当时取等号， 所以正确， 所以该命题为真命题. 【变式3】阅读以下证明：，，，当，按照上述方法，能证明关于的一个怎样的不等式；当，你能把上述结论推广到怎样的一个不等式. 【答案】，. 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】利用基本不等式即可得出结果. 【详解】， . ， 即 题型07 基本不等式求和的最大值与最小值 【例7】下列各式中，最小值是2的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】逐个分析各个选项利用基本不等式或者函数的单调性求得最小值即可判断. 【详解】解：对于A．时，，因此不成立； 对于B，，不成立． 对于C．当且仅当即时取等号，正确． 对于D．令，则递增，当时有最小值，不正确． 故选：C． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 【答案】4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立， 所以代数式的最小值为. 故答案为： 【变式3】已知正实数满足， (1)求的最大值，并求取得最大值时的值； (2)求的最小值，并求取得最小值时的值． 【答案】(1)时，取得最大值． (2)，时，取得最小值． 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由基本不等式得出关于的不等式，解之可得． （2）由已知得，代入，然后凑配出积为定值，再用基本不等式得最小值． 【详解】（1）因为， 所以，当且仅当时等号成立， ，，， 所以， ，取等号时，（负的舍去）， 所以时，取得最大值． （2）由得， 所以， 取等号时，，（负数舍去），， 所以，时，取得最小值． 题型08 基本 不等式“1”的妙用求最值 【例8】若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．3 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据式子结构，利用基本不等式中“1的代换进行求解即可.” 【详解】∵x>0，y>0，x+4y=xy，∴， ∴x+y=（x+y）=5+当且仅当x=2y时，等号成立，此时x=6，y=3. 故选：C. 【变式1】（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】令，，从而可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】令，， 则，且， ∴， ∴ ， 当且仅当取等号，即时成立. 故答案为：. 【变式2】已知正数满足，若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】由题意得， 当且仅当，即，时取等号， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据基本不等式可得证； （2）根据基本不等式“1”的妙用可得最值及取等条件. 【详解】（1）由， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由， 则， 当且仅当，即时等号成立． 一、单选题 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段去绝对值符号，再解一元二次不等式即得. 【详解】当时，不等式化为，解得或，因此或； 当时，原不等式化为，即，解得，因此， 所以原不等式的解集是. 故选：A 2．（23-24高一上·上海·期中）若一元二次不等式，的解集分别为M、N，、、、、、均不为0，M、N既不是R也不是．则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】通过两个一元二次不等式解集的关系，结合充分、必要条件判断即可. 【详解】设，即 ， 则，可转化为， 因为，所以，所以不成立，即充分性不成立； 若，且，则区间端点相同，即方程的根相同， 则有且，则有， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，则使得都成立的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式可得，结合分析判断即可. 【详解】因为， 由可得，即，解得， 且，所以符合题意的取值范围是. 故选：B. 4．（23-24高一上·上海·期中）下列命题中错误的是（    ） A．当时，一定成立 B．若实数x，y满足，则 C．对任意，都有 D．对任意，都有 【答案】B 【分析】A项利用基本不等式进行判断；B项取特殊值判断；C、D项利用作差判断. 【详解】解：对于A项，由，等号成立时，，而，则成立，故A项正确； 对于B项，因为实数x，y满足，取，则， 故B错误； 对于C项，因为 ，等号成立时，，故C项正确； 对于D项，因为，故D项正确. 故选：B 二、填空题 5．（24-25高一下·上海宝山·期中）不等式的解集为 【答案】 【分析】化分式不等式为一元二次不等式，进而求解即可. 【详解】由，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 【答案】或或或 【分析】首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可. 【详解】①时，由题意知方程有唯一的实数根2，此时，且， 得不等式，即， 则当时，；当时，. ②当时，由题意知方程有唯一的实数根2， 即二次函数的图象与轴只有一个交点， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，不等式的解集为或或或； 故答案为：或或或 7．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 【答案】 【分析】由已知可得是方程的两根且，可求得，可求不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根且， 所以，所以， 由不等式，可得，因为， 所以，所以，解得或， 所以不等式解集为. 故答案为：. 三、解答题 8．（24-25高一上·上海浦东新·期中）解不等式组： 【答案】 【分析】将不等式化为，进而求解集即可. 【详解】由题设，可得， 所以不等式组的解集为. 9．（23-24高一上·上海徐汇·期中）求下列方程或不等式的解集： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分，，，四种情况讨论求解即可； （2）转化不等式为，进而求解即可. 【详解】（1）当时，方程为，即恒成立，符合题意； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，即恒成立，符合题意. 综上所述，方程的解集为或. （2）由， 得，解得， 所以不等式的解集为. 10．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知，关于x的不等式组没有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】分别求解出两个不等式的解集，根据不等式组没有实数解得到两个不等式的解集的交集为空集，由此列出不等式组求解出结果. 【详解】因为，所以，故不等式解集为， 又因为，即且，故不等式解集为， 因为不等式组没有实数解，所以与的交集为， 所以，所以， 故的取值范围是. 11．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式直接利用基本不等式即可得出所求的答案； （2）灵活运用1的代换，并结合基本不等式即可得出所求的答案． 【详解】（1）因为与均为正数， 所以由基本不等式可得：， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以， 所以的最大值为． （2）因为与均为负数， 所以，， 所以， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以 的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲不等式的求解 知识清单 知识点01：一元二次不等式 1 知识点02：分式不等式的解法 2 知识点03：简单绝对值不等式的解法 3 题型归纳 题型01 解不含参数的一元一次不等式 3 题型02 解含参数的一元一次不等式 5 题型03 用一元二次不等式确定参数 5 题型04 一元二次方程根的分布问题 6 题型05 分式不等式 6 题型06 由基本不等式证明不等关系 7 题型07 基本不等式求和的最大值与最小值 8 题型08 基本不等式“1”的妙用求最值 9 强化训练 9 知识点01.一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 知识点02分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 知识点03.简单绝对值不等式的解法 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 题型01 解不含参数的一元一次不等式 【例1】（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是 . 【变式2】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）把一些书分给几个学生，学生的人数不超过6人，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的人每人分5本，最后一人分不到3本，求书有多少本？学生有多少人？ 题型02 解含参数的一元一次不等式 【例2】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【变式2】（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【变式3】（22-23高一上·上海宝山·期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 题型03 由一元二次不等式的解确定参数 【例3】（23-24高一上·上海·期中）已知：一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【变式2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高一上·上海静安·期中）已知不等式的解集是， (1)求的值； (2)解不等式. 题型04 一元二次方程根的分布问题 【例4】已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 题型05 分式不等式 【例5】（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·上海·期中）设条件，条件，则条件是条件的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）设，则不等式的解集为 . 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 题型06 由基本不等式证明不等关系 【例6】（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 【变式2】命题“已知，若且，则”，判断命题的真假，并证明. 【变式3】阅读以下证明：，，，当，按照上述方法，能证明关于的一个怎样的不等式；当，你能把上述结论推广到怎样的一个不等式. 题型07 基本不等式求和的最大值与最小值 【例7】（下列各式中，最小值是2的为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 【变式3】已知正实数满足， (1)求的最大值，并求取得最大值时的值； (2)求的最小值，并求取得最小值时的值． 题型08 基本 不等式“1”的妙用求最值 【例8】若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．3 【变式1】（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【变式2】已知正数满足，若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 一、单选题 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期中）若一元二次不等式，的解集分别为M、N，、、、、、均不为0，M、N既不是R也不是．则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，则使得都成立的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海·期中）下列命题中错误的是（    ） A．当时，一定成立 B．若实数x，y满足，则 C．对任意，都有 D．对任意，都有 二、填空题 5．（24-25高一下·上海宝山·期中）不等式的解集为 6．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 7．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 三、解答题 8．（24-25高一上·上海浦东新·期中）解不等式组： 9．（23-24高一上·上海徐汇·期中）求下列方程或不等式的解集： (1) (2) 10．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知，关于x的不等式组没有实数解，求实数a的取值范围． 11．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $