期中专题复习03：一元二次方程根与系数关系-2023-2024学年九年级数学上学期期中专项复习（苏科版）

一元二次方程根与系数关系专题复习三 总结归纳： 根与系数考察比较灵活，月考，期中期末考试都是常考题，中考也是重点考察内容，考察的难度经常为中等题和难题的形式出现，也就要求学生对根与系数要掌握扎实的同时学会灵活变通，比如复杂代数式如何变形成跟韦达定理相关的代数式等，所以遇到比较复杂的情况，一定是想办法变形，找与韦达定理得关系，比如：，这样就找到了与韦达定理之间的关系 （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点一：韦达定理基础应用 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2= 考点一：韦达定理基础应用 1．（2022•盐城一模）设α，β是一元二次方程x2+5x﹣99＝0的两个根，则α•β的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．99 D．﹣99 2．（2022•秦淮区二模）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（　　） A．y1＝4，y2＝﹣4 B．y1＝2，y2＝﹣6 C．y1＝4，y2＝﹣6 D．y1＝2，y2＝﹣4 3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知，是关于的方程的两个实数根，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D．方程的根有可能为0 4．（2022春•开福区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值． 知识点一：韦达定理与复杂代数式 注意：这类的考察比较灵活，所以要对代数式进行化简，找与韦达定理得关系 常见类型：1、 2、 3、 考点二：韦达定理与复杂代数式 1．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如果x、y是两个实数（）且，，则的值等于（    ） A． B． C． D．2023 2．（2023秋·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）若一元二次方程有两个实数根，，那么，，这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题： (1)已知a、b是方程的两根，求的值． (2)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得？若存在，求出该式的k值，若不存在，请说明理由． 3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知：α，β（）是一元二次方程的两个实数根，，，…，． (1)直接写出的值：　 　，　 　； (2)经计算可得：，当时，请猜想之间满足的数量关系，并给出证明． 4．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根为、，满足，求的值． 5．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程的两根分别为，，则：，．请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： (1)已知方程的两根分别为，，求和的值． (2)已知方程的两根分别为，，求的值． (3)若，是两个不相等实数，且满足，，那么　　． 知识点三：韦达定理与新定义/阅读材料 新定义与阅读材料重点是理解新定义或者阅读材料的意思，其次因为定义解题。 一般情况：第一问属于简单的应用，只要学会按照定义或者要求解题就行 第二问属于灵活变通，需要我们理解定义并应用，同时要考虑到其他的数学知识解题 考点三：韦达定理与新定义/阅读材料 1．（2022秋·江苏·九年级期中）阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”. 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ； （2）