精品解析：江苏省无锡市江阴市第二中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期月质量检测卷 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合A的真子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得集合的元素个数，根据元素的个数与真子集个数的关系，可得答案. 【详解】由，则集合A的真子集的个数为. 故选：A 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】， ， 所以时成立，但时，不一定成立， 因此“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合韦恩图求出集合. 【详解】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A 4. 如果，则正确的是（ ） A. 若a>b，则 B. 若a>b，则 C. 若a>b，c>d，则a+c>b+d D. 若a>b，c>d，则ac>bd 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可逐一求解. 详解】对于A:取则，故A错， 对于B:若，则，故B错误， 对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确， 对于D:若，则，，故D错误. 故选：C 5. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验是否满足集合元素的互异性. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，符合题意. 综上可得 故选：C 6. 符合条件的集合的个数是（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法，列举出满足条件的集合即可. 【详解】符合条件的集合有： ，，，，共4个． 故选C 【点睛】本题主要考查由集合的包含关系确定集合的个数，熟记集合间的关系即可，属于常考题型. 7. 当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式“”的代换求最小值，注意取值条件即可． 【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 8. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】解得到或，分，和三种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，解得或， 变形为， 当，即时，不等式解集为空集，不合要求，舍去， 当，即时，解集为， 要想不等式组仅有一个整数解，则，解得， 与求交集得； 当，即时，解决为， 要想不等式组仅有一个整数解，则，解得， 与求交集得， 综上，的取值范围是或. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，只多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果集合 中只有一个元素，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BD 【解析】 【分析】直接分类讨论方程有一个解时实数的值即可. 【详解】由中只有一个元素，所以方程有一个解. ①当时，方程有一个解，集合M只有一个元素； ②当时，，得，此时方程有一个解. 所以或时，集合中只有一个元素. 故选：BD. 10. 已知方程的解集为A，方程的解集为B，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两个集合的交集代入方程计算参数，分别求集合，结合集合的交并补运算法则一一判定选项即可. 【详解】由题意可知满足方程，和方程， 即得， 所以原方程，， 易得， 所以，，，， 即AD正确，BC错误. 故选：AD 11. 下列不等式成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，结合题设条件，对各选项进行逐一判断． 【详解】选项A：，当且仅当，即，无实数解， 时，取得最小值，最小值为，故A成立； 选项B：，， ，当且仅当，即取等号，故B成立； 选项C：， 若，则，当且仅当，即时取等号， 若，则，当且仅当，即时取等号， 当时，原不等式成立；当时，原不等式不成立，故C不成立； 选项D：， 异号，且， ， ，当且仅当，即时取等号，故选项D成立． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则集合M ∩ N =________． 【答案】 【解析】 【分析】根据描述法表示的集合意义可知，代表两直线的交点，联立解方程组即可. 【详解】依题意联立，解得； 再根据两集合中元素的几何意义可知代表两直线的交点， 因此. 故答案： 13. 已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式求得集合，根据充分不必要条件可得集合之间的包含关系，从而建立不等式，可得答案. 【详解】， 由是成立的一个充分不必要条件，则是的一个真子集， 所以，解得. 故答案为：. 14. 若且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式可得． 【详解】由题意，当且仅当时等号成立， 解得，所以且等号能取得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设． （1）是否存在实数a，使，如果存在，求出实数a的值，如果不存在，说明理由； （2）若，求实数a的值． 【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合相等的概念，待定系数计算即可； （2）利用集合间的基本关系分类讨论计算即可. 【小问1详解】 解得，故， 若，则是方程的两个根， 即，解得，此时 即存在满足题意； 【小问2详解】 解得，即， 因为，则是方程的一个根， 代入得，解得或， 若，此时， 即，满足题意； 若，此时， 即，此时，不满足题意； 综上所述. 16. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，根据补集的定义求出集合，再根据交集的定义和运算规则求解； （2）根据已知条件得出，再分集合和集合两种情况讨论求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 当时，集合， ， 或， 或． 【小问2详解】 若，则, 当时，，解得， 当时，，解得， 又，，解得， 时，， 综上，实数m的取值范围为：． 17. 已知命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】{a|a≤－2，或a＝1}. 【解析】 【分析】分别就命题p，命题q为真命题时求出实数a的两个解集，若命题p与q都是真命题，即求出实数a的两个解集的交集. 【详解】由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈[1,2]上恒成立． 所以a≤(x2)min，x∈[1,2]．所以a≤1. 若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解． 所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0. 所以a≥1或a≤－2. 又因为p，q都为真命题，所以所以a≤－2或a＝1. 所以实数a的取值范围是{a|a≤－2，或a＝1}． 【点睛】此题考查命题间的关系，通过两个命题的真假求参数的范围，常用解法分别解出两个命题的取值范围，再根据两个命题的关系求解. 18. 若关于x的不等式的解集是． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数b的取值范围． 【答案】（1）；. （2） 【解析】 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值，最后解一元二次不等式即可； （2）讨论参数是否为0，分别讨论并得出不等式计算求解. 【小问1详解】 由题意知，是方程的两个根， 则，则 则不等式为， 则，所以解集为；. 【小问2详解】 因为关于x的不等式的解集为，由（1）， 所以关于x的不等式的解集为， 所以当时，解集为，符合题意； 当时，，所以； 所以实数b的取值范围是. 19. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．其底面为长方形ABCD，其中AD ≥ AB．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元． （1）若贮水池的总造价不超过312000元，求AD边长的范围； （2）怎样设计贮水池能使总造价最低? 最低总造价是多少? 【答案】（1）（单位：m） （2）当，时，贮水池的总造价最低，最低总造价是297600元． 【解析】 【分析】（1）先设，，且，再根据总容积即可得到的值，再根据总造价可得到关于的一元二次不等式，进而求解即可得到AD边长的范围； （2）结合（1），再根据基本不等式求其最小值即可． 【小问1详解】 设，，且， 则依题意可得，则，且， 则，且， 又总造价， 则，即， 整理得，解得， 所以AD边长的范围是（单位：m） 【小问2详解】 结合（1）有， 且总造价， 当且仅当时，等号成立， 所以当，时，贮水池的总造价最低，最低总造价是297600元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期月质量检测卷 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合A的真子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 如果，则正确的是（ ） A. 若a>b，则 B. 若a>b，则 C. 若a>b，c>d，则a+c>b+d D. 若a>b，c>d，则ac>bd 5. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 1或2 6. 符合条件的集合的个数是（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 7. 当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，只多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果集合 中只有一个元素，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 已知方程的解集为A，方程的解集为B，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列不等式成立是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则集合M ∩ N =________． 13. 已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是________________． 14. 若且，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设． （1）是否存在实数a，使，如果存在，求出实数a的值，如果不存在，说明理由； （2）若，求实数a值． 16. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 17. 已知命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p与q都是真命题，求实数a取值范围． 18. 若关于x的不等式的解集是． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数b的取值范围． 19. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．其底面为长方形ABCD，其中AD ≥ AB．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元． （1）若贮水池的总造价不超过312000元，求AD边长的范围； （2）怎样设计贮水池能使总造价最低? 最低总造价多少? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $