精品解析：吉林长春市第六中学2025-2026学年高二下学期第三学程考试数学试题

长春市第六中学高二下学期第三学程考试 数学试题 满分：150分 答题时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合后可求它们的交集. 【详解】，，故， 故选：C. 2. 已知命题 ，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论. 【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出， 即充分性成立； 由可推出，不能推出，即必要性不成立； 因此命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 3. 某学校读书节活动中，甲、乙、丙、丁位同学获奖.现将人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的不同排法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【详解】第一步：将甲、乙全排列有种不同的排法； 第二步：将甲、乙看成一个整体再与丙、丁全排列有种不同的排法； 由分步计数原理得，共有种不同的排法． 故选C． 4. 已知一组数据为，若为这组数据的中位数，则的展开式中的系数为（ ） A. -80 B. -24 C. 24 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据样本数据求中位数，再根据二项式定理的通项法求的系数. 【详解】这8个数据的中位数为， 中，含的项为，所以的系数为. 故选：A 5. 如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（ ） A. 函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B. 2不是函数的极值点 C. 在处切线的斜率小于零 D. 在区间上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】结合导函数的图象，利用导函数与原函数的关系逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图知，当时，函数的图象呈递增趋势，即越来越大时， 导数值越来越大，函数上的切线斜率越来越大，则其图象越来越陡峭，故A正确； 对于B，因无论从的左边还是右边接近2时，导函数的值均为正数，故2不是函数的极值点，故B正确； 对于C，由图知，，即在处切线的斜率大于零，故C错误； 对于D，由图知，当时，恒成立，故在区间上单调递增，即D正确. 故选：C. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若随机变量，则方差 B. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为和，则模型乙的拟合效果更好 C. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. 若随机变量的分布列为，则 【答案】D 【解析】 【分析】依次利用二项分布方差性质、决定系数的意义、残差定义、离散型随机变量分布列的性质对各选项逐一判断即可. 【详解】对选项 A，随机变量，故， ，故A 错误； 对选项 B：决定系数 越接近 1，对应模型的拟合效果越好. 由于 ，故模型甲的拟合效果更好，故B错误. 对选项 C：根据残差的定义， 点处的残差为，点处的残差为， 由残差相等得 消去整理得 ，故C错误； 对选项 D：由离散型随机变量的分布列满足所有概率之和为 1， 则，化简可得， 解得 ，故，故D正确. 7. 已知在上恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由导数确定单调性后，由单调性得结论． 【详解】令，则，为增函数， 故，即解集为. 故选：B． 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的图象和性质，结合对称性的定义，即可判断选项. 【详解】由正态分布的性质可知，单调递增，所以没有对称轴， 因为正态分布密度曲线的对称轴是，所以， 即，所以函数的图象关于点对称. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若命题“，”是假命题，则的取值范围是 C. 若，，，则的最小值为 D. 若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出定义域判断A；转化为该命题的否定是真命题求即可判断B；根据基本不等式（“1” 的代换法）的性质求最值即可判断C；利用函数的单调性列不等式，解不等式即可判断D. 【详解】对于A，依题意，，解得，则函数的定义域为，故A正确. 对于B，若命题“，”是假命题，则其否定“”为真命题， 所以，即的取值范围是，故B正确； 对于C，因为， 则， 当且仅当且 ，即时取等号， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为函数为上的增函数，且， 所以，解得，故D错误. 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法验证A，B，C选项的正误，再结合通项求判断D的正误. 【详解】因为， 令，得，故选项A正确； 令，得， 即，故选项B正确； 令，得， 由及， 两式相加，得，所以， 所以，故选项C错误； 由，其展开式的通项为， 所以，故选项D正确. 11. 函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 方程有个不等实根 C. 函数有最大值 D. ，， 【答案】AD 【解析】 【分析】运用奇函数的定义可得时的解析式，可判断A；令，求出所对应的方程的解，即可判断；利用导数判断函数的单调性求出函数的极值，即可判断；由的值域可判断． 【详解】对于A，函数为定义在上的奇函数， 当时，，，故A正确； 对于B，当时，，解得，时，，解得， 又，所以有和0三个零点，故B错误； 对于C，当时，，， 当时，，递减；时，，递增， ∴时，有极小值， 当时，；当时，. 函数在上的值域为 由是奇函数，函数在上的值域为 又，所以的值域是，故C错误； 对于D，由C的讨论知，因此对任意的实数有，， ∴，即，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数在处取得极值5，则____． 【答案】 【解析】 【分析】求得，结合题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在处取得极值，可得， 解得，所以. 故答案为：. 13. 已知定义在上的偶函数满足，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，结合周期性可得出的值. 【详解】因为定义在上的偶函数满足，所以， 所以， 所以函数是周期为的周期函数，且， 因为，故. 故答案为：. 14. 现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题”，利用全概率公式求出，再由条件概率公式求解. 【详解】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题” 则表示学生甲选到不会做的题且答对，所以， ，，，， 由全概率公式， . 所以已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是函数的导函数，且． （1）求； （2）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）求导，通过赋值即可求出，进而可求的值； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与两坐标轴的交点即可求出三角形面积. 【小问1详解】 由题可知， 令，则，解得． 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，， 则所求的切线方程为，即， 所以该切线与坐标轴的交点为和， 则所求三角形的面积为． 16. 某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图： 一等级 非一等级 合计 A生产线 B生产线 合计 （1）根据已知数据，完成列联表并判断有的把握认为是否为一等级产品与生产线有关吗？ （2）以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？ 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表： 一等级 非一等级 合计 A生产线 20 80 100 B生产线 30 70 100 合计 50 150 200 没有的把握认为一等级产品与生产线有关； （2），A生产线的获利更稳定. 【解析】 【分析】（1）先由题设先写列联表，接着进行零假设和计算卡方值，由卡方值以及小概率值的独立性检验思想即可下结论； （2）设A，B两条生产线单件产品获利分别为元，依次求出两生产线的方差即可得解. 【小问1详解】 由题可得A生产线生产的100件产品中一等级产品数有，B生产线生产的100件产品中一等级产品数有， 所以列联表如下： 一等级 非一等级 合计 A生产线 20 80 100 B生产线 30 70 100 合计 50 150 200 零假设一等级产品与生产线无关， 由列联表得， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据可以推断不成立， 则可以推断成立，即没有的把握认为一等级产品与生产线有关. 【小问2详解】 设A，B两条生产线单件产品获利分别为元， 则由频数分布直方图可得的分布列为 P 20 18 16 X 0.2 0.6 0.2 所以， 所以， 由频数分布直方图可得的分布列为 P 20 18 16 Y 0.3 0.4 0.3 所以， 所以， 因为，所以A生产线的获利更稳定. 17. 在数列中，. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1）由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. （2）由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 【解析】 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩，得到如下数据： （1）从这10名学生中随机选出1人，求其数学成绩不低于120分的概率； （2）杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励，现在从这10名学生中随机选出3人，记为选出获得奖励的学生人数，求的分布列和数学期望； （3）杜老师针对测试内容与学习计划，对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行复习训练，且在训练中进行多轮测评．规定：在一轮测评中，这3个模块至少有2个模块达到90分以上，则该轮测试记为合格．在复习训练中，甲同学3个模块中每个模块达到90分以上的概率均为，每轮测评互不影响．若甲同学在复习训练中获得合格的次数的平均值达到5次，求至少要进行多少轮测评． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 P . （3）20 【解析】 【分析】（1）由题意信息得到不低于120分的人数为7人，结合总人数为10人即可求解； （2）首先求出不低于135分的人数为4人，由此得到X的可能取值以及每种取值对应的概率，由此得到分布列，最后由数学期望公式得到数学期望； （3）首先根据甲同学每个模块达到90分以上的概率，得到至少有2个模块达到90分以上的概率，又甲同学在轮测评中合格的次数Y满足，再利用二项分布的期望达到5即可求次数的最小值. 【小问1详解】 由题知其数学成绩不低于120分的人数为7人， 故其数学成绩不低于120分的概率为. 【小问2详解】 由题知其数学成绩不低于135分的人数为4人，的取值可能为0,1,2,3. ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 期望. 【小问3详解】 设甲同学在一轮测评中合格为事件A， 则， 又甲同学在轮测评中合格的次数Y满足， 则期望，解得， 所以至少要进行20轮测评. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）4 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【小问1详解】 当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得， 可知的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间. 当时，令解得， 令，解得；令，解得， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是4. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第六中学高二下学期第三学程考试 数学试题 满分：150分 答题时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题 ，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某学校读书节活动中，甲、乙、丙、丁位同学获奖.现将人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的不同排法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 已知一组数据为，若为这组数据的中位数，则的展开式中的系数为（ ） A. -80 B. -24 C. 24 D. 80 5. 如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（ ） A. 函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B. 2不是函数的极值点 C. 在处切线的斜率小于零 D. 在区间上单调递增 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若随机变量，则方差 B. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为和，则模型乙的拟合效果更好 C. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. 若随机变量的分布列为，则 7. 已知在上恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若命题“，”是假命题，则的取值范围是 C. 若，，，则的最小值为 D. 若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 方程有个不等实根 C. 函数有最大值 D. ，， 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数在处取得极值5，则____． 13. 已知定义在上的偶函数满足，且，则________. 14. 现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是函数的导函数，且． （1）求； （2）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 16. 某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图： 一等级 非一等级 合计 A生产线 B生产线 合计 （1）根据已知数据，完成列联表并判断有的把握认为是否为一等级产品与生产线有关吗？ （2）以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？ 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 17. 在数列中，. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，数列的前n项和为，证明：. 18. 杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩，得到如下数据： （1）从这10名学生中随机选出1人，求其数学成绩不低于120分的概率； （2）杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励，现在从这10名学生中随机选出3人，记为选出获得奖励的学生人数，求的分布列和数学期望； （3）杜老师针对测试内容与学习计划，对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行复习训练，且在训练中进行多轮测评．规定：在一轮测评中，这3个模块至少有2个模块达到90分以上，则该轮测试记为合格．在复习训练中，甲同学3个模块中每个模块达到90分以上的概率均为，每轮测评互不影响．若甲同学在复习训练中获得合格的次数的平均值达到5次，求至少要进行多少轮测评． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $