精品解析：陕西省咸阳市高新一中2025-2026学年高二上学期阶段性质量检测（一）数学试题

咸阳市高新一中2024级阶段性质量检测（一）数学试题 考试时长：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 3. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 5. 如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（ ） A. 平面 B. C. 二面角的大小为 D. 直线与平面所成角的大小不变 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 10. 下列说法不正确的有（    ） A. 直线的倾斜角越大，斜率越大 B. 若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 直线在轴上的截距是3 11. 如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 与平面所成角的余弦值为 C. 三棱柱的外接球的表面积为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，则的值为______. 13. 已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. 14. 如图所示，在直四棱柱 中，，点在棱上，且，则点到平面的距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 16. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，且平行于过和两点的直线； （2）经过点，且与直线垂直. 17. 已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. （1）若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； （2）求面积的最小值及此时直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： （1）∥平面； （2）平面平面． 19. 如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形，为的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市高新一中2024级阶段性质量检测（一）数学试题 考试时长：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点间斜率公式可得斜率，再由倾斜角与斜率关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，所以， 因，所以， 故选：A. 2. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 3. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 4. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B 5. 如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，所以；因为点为的中点，所以， 易知，， 所以 ， 又，，， 所以 ． 故选：A 6. 已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，根据为直角可得，解出的值即可得出点的坐标. 【详解】设点，则， 由为直角可得，即， 因此，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：A 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【详解】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：. 8. 如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（ ） A. 平面 B. C. 二面角的大小为 D. 直线与平面所成角的大小不变 【答案】D 【解析】 【分析】由平面平面，平面，即可判断A；建立空间直角坐标系计算即可判断选项B；先找出二面角的平面角为即可判断选项C，利用向量方法求直线与平面所成角的大小判断D. 【详解】对于选项A：因为平面平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，， ，，， 对于选项B：，， 因为， 所以，即， 故选项B正确； 因为，在棱上，所以二面角即二面角， 因为，， 平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，， 所以二面角的大小为， 故选项C正确， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成角的的正弦值为， 随的值的变换其正弦值也变化，故直线与平面所成角也变化，D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合向量垂直的性质即可求解；对于B，结合向量的四则运算即可求解；对于C，利用投影的几何意义即可求解； 对于D，根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A，，， 又，， 即， 解得，故A正确， 对于B，， ， ，解得，故B正确， 对于C，在上的投影向量为，即， 代入坐标化简可得， 故，无解，故C错误， 对于D，与夹角为锐角， ，解得， 且与不共线，即，解得， 则与夹角为锐角，解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法不正确的有（    ） A. 直线的倾斜角越大，斜率越大 B. 若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 直线在轴上的截距是3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据直线的斜率公式即可判断B；分直线是否过原点讨论即可判断C；根据直线的截距式即可判断D. 【详解】对于A，当倾斜角为时，斜率为，当倾斜角为时，斜率为，故A错误； 对于B，直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误； 对于C，直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于D，直线，即，故直线直线在轴上的截距是，故D错误. 故选：ABD. 11. 如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 与平面所成角的余弦值为 C. 三棱柱的外接球的表面积为 D. 点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线线的关系可判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法可求与平面所成角的余弦值，判断B；求出三棱柱的外接球的半径，即可求出外接球表面积，判断C；利用向量法求点到平面的距离，判断D. 【详解】对于A，连接，因为， 所以为等边三角形，则，而， 所以，故A正确； 以为原点，在平面内过点D作的垂线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于B，平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的余弦值为，故B错误； 对于C，由题意知为等边三角形， 的外接圆半径， 三棱柱的外接球半径， 所以三棱柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则， 点到平面的距离，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由线段的斜率可计算出线段的垂直平分线的斜率，又有的中点是线段的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段的垂直平分线方程. 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 14. 如图所示，在直四棱柱 中，，点在棱上，且，则点到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由距离公式求解即可. 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为，则 令，则. 点到平面的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量夹角的坐标公式即可得解； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【小问1详解】 因为，， 则，，， 所以. 【小问2详解】 由题意可得：， 因为，且， 设，即， 则，解得. 16. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，且平行于过和两点的直线； （2）经过点，且与直线垂直. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出直线的斜率，即所求直线的斜率，再根据点斜式方程即可求解； （2）首先根据两直线垂直求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可求解. 【小问1详解】 因为， 所求直线的方程为， 整理得. 【小问2详解】 由得， 由得， 则所求直线的方程为， 整理得. 17. 已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. （1）若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； （2）求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1） （2）24， 【解析】 【分析】（1）根据题意，假设直线的方程为，代入所经过点即可得解； （2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解. 【小问1详解】 由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： （1）∥平面； （2）平面平面． 【答案】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2） 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形，为的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 在中，因为 所以 所以所以 又平面平面平面平面平面 所以平面 ∵平面 . （2） （3）存在， 【解析】 【分析】(1)由余弦定理求出，由勾股定理得，由面面垂直的性质定理可证得平面从而得到； (2)由（1）得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得点到平面的距离； (3)假设线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为.设根据（2）建立的空间直角坐标系，根据平面与平面夹角的向量求法，构建关于的方程，求出的值，即可求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面平面，所以又所以两两垂直. 以所在的直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 因为四边形是平行四边形，所以，所以，. 设平面的一个法向量 因为 所以即 令则所以 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 假设线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为. 设由（2）知,则 所以 设平面的一个法向量因为 所以即 令则所以 由（2）知平面的一个法向量为： 设平面与平面的夹角为则 解得或（舍）. 所以存在点使得满足要求，此时即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $