专题01 数轴上的动点问题（高效培优期中专项训练）七年级数学上学期湘教版2024

专题01 数轴上的动点问题 考点01 数轴上两点之间的距离 1 考点02 数轴上翻折问题 3 考点03 数轴上的整点覆盖问题 5 考点04 数轴上动点问题之规律探究问题 6 考点05 数轴上动点问题之定义新运算 8 考点06 数轴上动点问题之定值问题 11 考点07 数轴上动点相遇问题 14 考点08 数轴上动点问题与绝对值的非负性综合 15 考点01 数轴上两点之间的距离 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）【问题背景】 如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上数x到原点的距离为3，且x在原点左边，则x的值为 ； 【探索求知】 （2）若数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，求a表示的数； 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧，点P的速度是每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，则运动几秒时，点P与点Q之间的距离为1？（请写出求解过程） 2．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）数轴上点的初始位置表示的数为1，将点做如下移动：第1次点向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值为 ． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点C表示的数为______，并用含 t的代数式表示点P所表示的数为______； (2)设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离，这两段距离何时相等，请求出此时t的值． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 考点02 数轴上翻折问题 5．（25-26七年级上·吉林松原·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴． (1)操作一：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，此时表示数的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，回答下列问题： ① 表示数的点与表示数______的点重合； ② 若折叠后，数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为（点在点的左侧），求两点所表示的数分别是多少； ③ 在②的条件下，在数轴上找一点，设点表示的数为，当点到点的距离之和为时，直接写出的值． 6．（25-26七年级上·广东珠海·阶段练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：________；：________； (2)观察数轴，与点的距离为的点表示的数是：________； (3)若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数________表示的点重合； (4)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧，且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：：________，：________． 7．（2025七年级上·内蒙古·专题练习）综合性探究：“数形结合”思想解决以下问题． (1)请根据图1中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：A： ；B： ；    (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是 ． (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合，则点B与表示数 的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是 ， ． (5)点P与点Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，它们运动的时间为．点P与点Q在点A与点B之间相向运动，当时，直接写出点P对应的数． (6)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．如图2，求的值．    8．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则折痕处对应的点表示的数是___________，此时表示数的点与表示数___________的点重合． (2)操作2：若点、表示的数分别是、4，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，若线段上（含线段端点）恰好有3个整数点，则时间的最小值是___________． (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是___________． 考点03 数轴上的整点覆盖问题 9．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）电子跳蚤在数轴上的点，第一步向左跳一个单位到，第二步由向右跳2个单位到．第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰好是2016 (1)求电子跳蚤的初始位置点所表示的数 (2)在数轴上，某条线段的长度为所表示的数，则这条线段覆盖的整数有多少个？ 10．（2024七年级上·云南·专题练习）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等．已知点表示，点表示． (1)表示原点的是点_______，点表示的有理数是_______； (2)数轴上有两点，，点到点距离为个单位长度，点到点距离为个单位长度，则点，之间的距离为多少？ (3)点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到点的距离与点到点的距离之和是，则这样的点共有几个？ 11．（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 考点04 数轴上动点问题之规律探究问题 13．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，数轴上，点的初始位置表示的数为，现点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，点表示的数，是 ，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是 ． 14．（14-15七年级上·江苏·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示的点与圆周上表示数字几的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 16．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位长度，第2次向负方向爬行2个单位长度，第3次又向正方向爬行3个单位长度，…，按上述规律，它第2025次刚好爬到数轴上的原点处，小虫的起始位置A点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 考点05 数轴上动点问题之定义新运算 17．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为4，请判断点是否为，的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点A，B的“关联点”，求此时点所表示的数； ②若点在点的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点所表示的数． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】的美好点的是______；写出【N，M】的美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 19．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【定义新知】：在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点两点间的距离，即．在数轴上互不重合的三个点中，如果，那么点叫做两个点的“伴点”． 例如：如图1，数轴上点分别表示， 因为，， 所以，, 所以，点是点的“3伴点”； 因为，， 所以，， 所以，点是点的“4伴点”． 【初步应用】：如图2，数轴上点分别表示． （1）点是点的“ ____ 伴点”；点 ____ 是点的“6伴点”（只能填写图2中表示的字母）； （2）若点是点的“3伴点”，求点在数轴上表示的数． 【综合应用】： （3）在【初步应用】中的条件下（如图2所示），若点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，是的“7伴点”，请直接写出的值． 考点06 数轴上动点问题之定值问题 20．（21-22七年级上·浙江台州·期中）阅读理解：已知、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是有序点对的好点． (1)如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为2．因为点到点的距离是2，点到点的距离是1，所以点是有序点对的好点，但点不是有序点对的好点． 同理可以判断：点 有序点对的好点，点 有序点对的好点（填“是”或“不是”）； (2)如图2，数轴上点表示的数为，点表示的数为5，若点是有序点对的好点，求点所表示的数，并说明理由？ (3)如图3，数轴上点表示的数为，点表示的数为10．现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动t秒．当点、、中恰有一个点为其余两有序点对的好点，求t的所有可能的值． 21．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，c是最大的负整数，且a、b满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合； (3)点B，C开始在数轴上运动，点B与点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，点B与点C之间的距离表示为，则当时，求时间t的值； (4)在（3）的条件下，若点A以每秒1个单位长度的速度同时向左运动，点A与点B之间的距离表示为，则的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 22．（24-25七年级上·全国·期末）在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 23．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在数轴上点A表示，点B表示b，点C表示c，并且是多项式的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当时，分别求的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 24．（21-22七年级上·湖北十堰·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 考点07 数轴上动点相遇问题 25．（20-21七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知如图，在数轴上有，两点，所表示的数分别为，，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为秒，解答下列问题： (1)运动前线段的长为______；运动1秒后线段的长为______； (2)运动秒后，点，点运动的距离分别为______和______； (3)求为何值时，点与点恰好重合； (4)在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段的长为5，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 26．（24-25七年级上·吉林通化·期末）如图，已知数轴上原点为0，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点A表示的数为___________，点B表示的数为___________； (2)点P表示的数为___________（用含x的式子表示）；点Q表示的数为___________（用含x的式子表示）； (3)运动过程中，当x为多少秒时，点P和点Q重合？ (4)假如点P、Q的速度保持不变，直接写出x为何值时线段是4个单位长度． 27．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图，数轴上有、、、四点，点是原点， ， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 考点08 数轴上动点问题与绝对值的非负性综合 28．（24-25七年级上·北京·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 29．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 30．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）数轴上，把点表示的数记为，点表示的数记为，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点，之间的距离记作或，例如：当，时，点，之间的距离；当，时，点，之间的距离；当，时，点，之间的距离；由此我们知道，一般情况下，点，之间的距离或，如图，数轴上点，分别表示数，． (1)填空： ； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为秒． ①移动中，点表示的数是 ，点表示的数是 ，点，之间的距离 （用含有的代数式表示）； ②移动中，若点，之间相距个单位长度，求的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数轴上的动点问题 考点01 数轴上两点之间的距离 1 考点02 数轴上翻折问题 6 考点03 数轴上的整点覆盖问题 11 考点04 数轴上动点问题之规律探究问题 13 考点05 数轴上动点问题之定义新运算 16 考点06 数轴上动点问题之定值问题 22 考点07 数轴上动点相遇问题 28 考点08 数轴上动点问题与绝对值的非负性综合 32 考点01 数轴上两点之间的距离 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）【问题背景】 如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上数x到原点的距离为3，且x在原点左边，则x的值为 ； 【探索求知】 （2）若数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，求a表示的数； 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧，点P的速度是每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，则运动几秒时，点P与点Q之间的距离为1？（请写出求解过程） 【答案】（1） （2）或9 （3）或秒 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由数轴上数x到原点的距离为3，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出x的值，再结合x在原点左边，即可确定x的值； （2）根据数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，可列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由点A，B之间的距离结合点A表示的数，可找出点B表示的数，当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解：（1）根据题意得：， 解得：或， 又∵x在原点左边， ∴x的值为． 故答案为：； （2）根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：a表示的数为或9； （3）∵点A表示的数是，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧， ∴点B表示的数是， 当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：运动或秒时． 2．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）数轴上点的初始位置表示的数为1，将点做如下移动：第1次点向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查数字的变化规律以及数轴上点的距离，根据题意，找到数轴上点所对应的数的变化规律，是解题的关键． 由题意得：序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加3，找出规律即可． 【规范解答】解：第1次点向左移动3个单位长度至点，则表示的数； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； 表示的数是，表示的数是， ∵， ∴令， 当为奇数，即时，点表示的数为， 由， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为，此时； 当为偶数，即时，点表示的数为， 由， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为，此时， 综上，满足条件的的最小值为． 故答案为： 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，C在原点左侧，且，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点C表示的数为______，并用含 t的代数式表示点P所表示的数为______； (2)设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求线段的长度； (3)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三点同时出发，在运动过程中，P到R的距离、P到Q的距离，这两段距离何时相等，请求出此时t的值． 【答案】(1)； (2)点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5 (3)t的值为1或 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P所表示的数；（2）根据各点之间的关系，用含t的代数式表示出点M，N表示的数；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设点C表示的数为x，根据，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出点C表示的数，根据点P的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，即可用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P所表示的数； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，结合M是的中点，N是的中点，可得出点M表示的数为，点N表示的数为，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设点C表示的数为x， 根据题意得：， 解得：， 数轴上点C表示的数为， 当运动时间为t秒时，点P表示的数为． 故答案为：，； （2）解：线段的长度不发生变化，其值为． 当运动时间为t秒时，点P表示的数为， 是的中点，N是的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：t的值为1或． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 【答案】(1)10，1 (2)或或 (3)当时，；当时， 【思路引导】kkk本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）分点Q向左运动和返回运动两种情况，根据两点间距离公式列方程求解； （3）分点向左运动和返回运动两种情况，先求出、表示的数，再利用距离公式计算MN的长度． 【规范解答】（1）解：表示的数为，点表示的数为6， 中点表示的数是 故答案为：10，1； （2）解：当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 当点返回到点时，， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述，当或或时，两点间距离为3． （3）解：点为的中点，点为的中点， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ． ∴当时，；当时，． 考点02 数轴上翻折问题 5．（25-26七年级上·吉林松原·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴． (1)操作一：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，此时表示数的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，回答下列问题： ① 表示数的点与表示数______的点重合； ② 若折叠后，数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为（点在点的左侧），求两点所表示的数分别是多少； ③ 在②的条件下，在数轴上找一点，设点表示的数为，当点到点的距离之和为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②点表示的数为，点表示的数为；③或 【思路引导】（）根据中点坐标公式求出折叠点对应的数即可求解； （）①根据中点坐标公式求出折叠点对应的数即可求解；②设点表示的数为，则点表示的数为，根据中点坐标公式列出方程即可求解；③由②可得，可知点不在点之间，再分点在点左边和点N右边，根据数轴上两点间距离列出方程解答即可求解； 本题考查了有理数与数轴，中点坐标公式，两点间距离，掌握中点坐标公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵表示数的点与表示数的点重合， ∴折叠点对应的数为， ∴表示数的点与表示数的点重合， 故答案为：； （2）解：①∵表示数的点与表示数的点重合， ∴折叠点对应的数为， 设表示数的点与表示数的点重合， 则， ∴， 故答案为：； ②设点表示的数为，则点表示的数为， ∵折叠后，两点也重合， ∴， 解得， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为； ③∵点表示的数为，点表示的数为； ∴， ∵点到点的距离之和为， ∴点不在点之间， 当点在点左边时，， 解得； 当点在点右边时，， 解得； 综上，的值为或． 6．（25-26七年级上·广东珠海·阶段练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：________；：________； (2)观察数轴，与点的距离为的点表示的数是：________； (3)若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数________表示的点重合； (4)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧，且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：：________，：________． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)， 【思路引导】本题考查数轴： （1）直接读图即可得到A、B点对应的数； （2）从A点往左右各数4格即可找到对应点所表示的数； （3）根据折叠的性质即可求解； （4）求出M、N与对称点的距离即可求解． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，点表示数，点表示数； 故答案为：，； （2）解：点表示数，与点的距离为的点表示的数是：或； 故答案为：或； （3）解：当点与表示的点重合，则点与数表示的点重合． 故答案为； （4）解：由对称点为，且、两点之间的距离为（在的左侧）可知， 点、到的距离为， ∴点表示数，点表示数． 故答案为：，． 7．（2025七年级上·内蒙古·专题练习）综合性探究：“数形结合”思想解决以下问题． (1)请根据图1中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：A： ；B： ；    (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是 ． (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合，则点B与表示数 的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是 ， ． (5)点P与点Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，它们运动的时间为．点P与点Q在点A与点B之间相向运动，当时，直接写出点P对应的数． (6)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．如图2，求的值．    【答案】(1)，16 (2)或 (3) (4)， (5)或0 (6) 【思路引导】本题考查数轴的综合应用，一元一次方程的应用，重点考查数形结合思想； （1）根据数轴判断即可； （2），，即可得到与点A的距离为4的点表示的数； （3）先找出折合点的对应的数，然后再利用数轴上两点间距离计算即可； （4）根据折合点表示的数和M、N两点间的距离，求出点M和点N表示的数即可； （5）分两种情况：当P、Q相遇前，当P、Q相遇后，分别列出t的方程，解方程即可； （6）根据图形找规律，然后进行计算． 【规范解答】（1）解：由数轴可得，点A表示的数是，点B表示的数是16． 故答案为：，16； （2）解：∵，， ∴与点A的距离为4的点表示的数是：或． 故答案为：或； （3）解：∵将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合， ∴折合点表示的数是：， ∴与点B重合的点表示的数为： ． 故答案为：； （4）解：∵数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合， ∴点M表示的数为：， 点N表示的数为：； 故答案为：，； （5）解：当P、Q相遇前，根据题意得： ， 解得：， 此时点P表示的数为：； 当P、Q相遇后，根据题意得： ， 解得：， 此时点P表示的数为：； 综上分析可知：点P的表示的数为：或0； （6）解：根据题意得： ． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则折痕处对应的点表示的数是___________，此时表示数的点与表示数___________的点重合． (2)操作2：若点、表示的数分别是、4，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，若线段上（含线段端点）恰好有3个整数点，则时间的最小值是___________． (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是___________． 【答案】(1) (2) (3)1或或或3 【思路引导】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的几何应用，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点所表示的数差的绝对值；本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想． （1）根据对称性找到折痕的点为3，根据两点间的距离可得答案； （2）根据覆盖部分整点个数可得当距离为2时，点和都在整点上，这时线段上恰好有3个整点，即可求出最小值； （3）根据题意分情况讨论，分别根据三条线段的长度之比为列式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵数轴上表示1的点与表示5的点重合， ∴折痕点表示的数是， ∴表示数的点与它重合的点表示的数为：， 故答案为：； （2）解：点表示的数为， 点表示的数为， 则, 令, 解得或， 即当秒或秒时，线段上恰好有3个整点， ∴时间的最小值是， 故答案为：； （3）解：设表示的点是，表示5的是， ， ， 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 故答案为：1或或或3． 考点03 数轴上的整点覆盖问题 9．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）电子跳蚤在数轴上的点，第一步向左跳一个单位到，第二步由向右跳2个单位到．第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰好是2016 (1)求电子跳蚤的初始位置点所表示的数 (2)在数轴上，某条线段的长度为所表示的数，则这条线段覆盖的整数有多少个？ 【答案】(1)1966 (2)1966或1967 【思路引导】本题考查了数轴、图形的变化规律，得到每跳动 2 次相对于原数的规律是解题的关键． （1）根据题意易得每跳动 2 次，向右平移 1 个单位，跳动100 次，相当于在原数的基础上加了50 ，据此求解即可． （2）根据数轴的特征分情况求解即可． 【规范解答】（1）解：设点所对应的数为， 由题意得，每跳动2次，向右平移1个单位，跳动100次，相当于在原数的基础上加了 50， 则， 解得：， 即电子跳蚤的初始位置点所表示的数为1966． （2）解：在数轴上，某条线段的长度为所表示的数1966， 当线段的两个端点均为整数时（例如线段为），覆盖的整数有个； 当线段的端点不都为整数时（例如线段为），覆盖的整数有1966个． 10．（2024七年级上·云南·专题练习）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等．已知点表示，点表示． (1)表示原点的是点_______，点表示的有理数是_______； (2)数轴上有两点，，点到点距离为个单位长度，点到点距离为个单位长度，则点，之间的距离为多少？ (3)点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到点的距离与点到点的距离之和是，则这样的点共有几个？ 【答案】(1)， ； (2)或个单位长度； (3)个． 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、数轴上的整点问题，解决本题的关键是根据数轴上两点之间的距离等于这两个点所表示的数的差的绝对值求出两点之间的距离． 设任意相邻两点之间的长度为个单位长度，根据从点到点之间共有个空格，两点之间的距离为，列一元一次方程求出的值，根据原点在点的右侧距离点 个单位长度，可以确定原点的位置，再根据点与点之间的距离确定点表示的数； 因为点表示的是原点，根据点、与原点的距离确定点、表示的数，根据两点表示的数求出两点之间的距离，注意分情况讨论； 因为点到点的距离与点到点的距离之和是，可以判断点在线段上，包括线段的两个端点，有到之间一共有个整数点，从而可得点的个数． 【规范解答】（1）解：设任意相邻两点之间的长度为个单位长度， 根据题意可得：， 解得：， ， 表示原点的点是点， 点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：点到点距离为个单位长度， 点表示或， 点到点距离为个单位长度， 点表示或， 当点、表示的数相等时，点、之间的距离为， 点、表示的数不相等时，点、之间的距离为， 点、之间的距离为或个单位长度； （3）解:根据题意可知，点在点、之间，可以和或重合， 为整数， 这样的点一共有个． 11．（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【思路引导】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【规范解答】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【答案】C 【思路引导】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案． 【规范解答】解：当线段的两端点是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 当线段的两端点不是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 线段盖住的整数点至少有个 故选：C． 【考点剖析】本题考查了数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的定义是解题的关键． 考点04 数轴上动点问题之规律探究问题 13．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，数轴上，点的初始位置表示的数为，现点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，点表示的数，是 ，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是 ． 【答案】 7 13 【思路引导】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律．序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加，于是可得到表示的数为，表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离不小于时，的最小值是． 【规范解答】解：第一次点向左移动个单位长度至点，则表示的数，； 第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为； ； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以点与原点的距离不小于， 那么的最小值是． 故答案为：，． 14．（14-15七年级上·江苏·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示的点与圆周上表示数字几的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴知识．找出数轴上的数字与圆周上数字的对应关系是解答此类题目的关键．由于圆的周长为个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以，如果余数分别是、、、，则分别与圆周上表示数字、、、的点重合,即可求出答案． 【规范解答】解：∵， ， ∴数轴上表示数的点与圆周上表示数字3重合． 故选：D． 15．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 16．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位长度，第2次向负方向爬行2个单位长度，第3次又向正方向爬行3个单位长度，…，按上述规律，它第2025次刚好爬到数轴上的原点处，小虫的起始位置A点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查数轴及计算的规律，能根据小虫的爬行方式得出第2025次爬行后点所对应数的表达式是解题的关键． 【规范解答】解：设点所表示的数为， 则第1次爬行后，点所表示的数为：； 第2次爬行后，点所表示的数为：； 第3次爬行后，点所表示的数为：； 第4次爬行后，点所表示的数为：； ， 所以第(为奇数)次爬行后，点所表示的数为：； 当时，， 解得． 所以小虫爬行的起始位置点所表示的数是． 故选：B． 考点05 数轴上动点问题之定义新运算 17．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为4，请判断点是否为，的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点A，B的“关联点”，求此时点所表示的数； ②若点在点的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点所表示的数． 【答案】（1）点是点A，B的“关联点”，见解析；（2）①点所表示的数为0或或；②点所表示的数为8或14或5 【思路引导】本题主要考查了实数和数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出两点之间的距离，分当点在点与点之间时和当点在点的左侧时两种情况进行讨论即可； ②分三种情况进行讨论，即当点分别为“关联点”的时候进行求解． 【规范解答】解：（1）点是点A，B的“关联点” 理由：点与点之间的距离为， 点与点之间的距离为， ∵ ∴点是点A，B的“关联点”； （2）由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． ①当点在点与点之间时： 点与点之间的距离为， 或点与点之间的距离为， 所以此时点表示的数为或； 当点在点的左侧时： 点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍． 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为0或或． ②当点为点A，B的“关联点”时： 因为点在点的右侧， 所以点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍， 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时： 因为点在点的右侧，点在点的左侧， 所以点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍， 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点所表示的数为； 当点为点P，A的“关联点”时： 点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍或， 又因为点在点的右侧， 所以此时点所表示的数为或． 综上可知，点所表示的数为8或14或5． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】的美好点的是______；写出【N，M】的美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)，，3，，9， 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【规范解答】（1）解：根据美好点的定义，，，，，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点， 点N的右侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，由，则到的距离为，进而可以确定符合条件． 点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一种情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，中间，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：，，3，，9，． 19．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【定义新知】：在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点两点间的距离，即．在数轴上互不重合的三个点中，如果，那么点叫做两个点的“伴点”． 例如：如图1，数轴上点分别表示， 因为，， 所以，, 所以，点是点的“3伴点”； 因为，， 所以，， 所以，点是点的“4伴点”． 【初步应用】：如图2，数轴上点分别表示． （1）点是点的“ ____ 伴点”；点 ____ 是点的“6伴点”（只能填写图2中表示的字母）； （2）若点是点的“3伴点”，求点在数轴上表示的数． 【综合应用】： （3）在【初步应用】中的条件下（如图2所示），若点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，是的“7伴点”，请直接写出的值． 【答案】（1）2，D；（2）点在数轴上表示的数为；（3）的值为 【思路引导】本题考查新定义，涉及数轴上点表示有理数、两点之间距离及一元一次方程等知识，读懂题意，理解“伴点”是解决问题的关键． （1）由阅读材料，理解“伴点”定义求解即可得到答案； （2）由阅读材料，理解“伴点”定义，分类讨论，列绝对值方程，化为一元一次方程求解即可得到答案； （3）由阅读材料，理解“伴点”定义，分类讨论，列绝对值方程，化为一元一次方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：（1）由阅读材料中的“伴点”可知， 分别表示， ， ，则点是点的“伴点”； 分别表示， ， ，则点是点的“伴点”； 故答案为：2，D； （2）设点表示的数是， 分别表示， ， 点是点的“3伴点”， 则分两种情况： 当时， ，则或， 解得或； 当时， ，则或， 解得或； 综上所述，点在数轴上表示的数为； （3）点分别表示， 当点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，点表示的数为；点表示的数为； ， 是的“7伴点”， 则分两种情况： 当时， ，则或， 解得或； 当时， ，则或， 解得或； 综上所述，的值为． 考点06 数轴上动点问题之定值问题 20．（21-22七年级上·浙江台州·期中）阅读理解：已知、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是有序点对的好点． (1)如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为2．因为点到点的距离是2，点到点的距离是1，所以点是有序点对的好点，但点不是有序点对的好点． 同理可以判断：点 有序点对的好点，点 有序点对的好点（填“是”或“不是”）； (2)如图2，数轴上点表示的数为，点表示的数为5，若点是有序点对的好点，求点所表示的数，并说明理由？ (3)如图3，数轴上点表示的数为，点表示的数为10．现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动t秒．当点、、中恰有一个点为其余两有序点对的好点，求t的所有可能的值． 【答案】(1)不是；是； (2)3或11；理由见详解； (3)当点、、中恰有一个点为其余两有序点对的好点，可能的值有5、10、22.5、45． 【思路引导】此题属于新定义类题型，解这种类型的题目关键根据材料理解新概念的定义． 解答本题的关键是理解好点的定义，再进行判断，正确进行照猫画虎即可解答． （1）根据好点的定义理解即可，注意找准线段的起点，根据线段长度进行判断． （2）此问题中没有给出点的位置，根据好点的定义可判断出有两种情况：点在点、之间或点在点的右边，再根据线段之间的长度关系进行判断即可． （3）此题考查动点问题，根据题意可知，点在点、之间或点在点左侧，注意要理解“当点、、中恰有一个点为其余两有序点对的好点”的含义，因此每种情况还要分类讨论，且要满足“恰有一个点为其余两有序点对的好点”，需要排除不合题意的情况． 【规范解答】（1）解：，， ， 点不是有序点对的好点； ，， ， 点是有序点对的好点． （2）当点在点、之间，由， ， 所以， ，即点距离点为4个单位，距离点为2个单位， 即点所表示的数为3， 当点在点的右边，由，，所以， ， 即点距离点为12个单位，距离点为6个单位， 即点所表示的数为11； （3）， 当点在点、之间， ①若点为有序点对的好点，即，则，（秒)； ②若点为有序点对的好点，即，则， (秒)； ③若点为有序点对的好点，即，则， (秒)； ④若点为有序点对的好点，即，则， (秒)； 又点、、中恰有一个点为其余两有序点对的好点， ③与④不符合题意， 所以当点在点、之间，可能为5、10． 当点在点左侧， ①若点为有序点对的好点，即，则， (秒)； ②若点为有序点对的好点，即，则， (秒)； ③若点为有序点对的好点，即，则， (秒)； ④若点为有序点对的好点，即，则， (秒)； 又点、、中恰有一个点为其余两有序点对的好点， ③与④不符合题意， 所以当点在点左侧，可能为22.5、45． 综上所述，当点、、中恰有一个点为其余两有序点对的好点，可能的值有5、10、22.5、45． 21．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，c是最大的负整数，且a、b满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合； (3)点B，C开始在数轴上运动，点B与点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，点B与点C之间的距离表示为，则当时，求时间t的值； (4)在（3）的条件下，若点A以每秒1个单位长度的速度同时向左运动，点A与点B之间的距离表示为，则的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，5， (2) (3)4或8 (4)不变， 【思路引导】本题考查了数轴、两点间的距离、绝对值以及偶次方的非负性，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键． （1）根据c为最大的负整数可得出c的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、b的值； （2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点C重合的数； （3）根据运动的方向和速度结合b、c的值，即可找出t秒后点B、C分别表示的数，由得到关于t的绝对值方程，解方程即可； （4）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用两点间的距离即可求出的值，代入中，可得出为定值26，此题得解． 【规范解答】（1）解：是最大的负整数，且a、b满足， ，，， ，， 故答案为：；5；． （2）解：， 故答案为： （3）解：秒钟过后，点B表示的数为，点C表示的数为， ， ， 解得或， 时间t的值为4或8； （4）解：的值不随着时间t的变化而变化， t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ，， ． 的值为定值． 22．（24-25七年级上·全国·期末）在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【答案】(1) (2)或0 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查了数轴以及两点间的距离，线段的和差，解题的关键是正确理解题意，根据两点之间的距离等于差的绝对值求解． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）分点在线段上和点在线段上时两种情况讨论即可； （3）根据线段中点的定义以及线段的和差关系解答即可． 【规范解答】（1）解：从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，则点表示的数为， 再向左平移4个单位长度到达点B，则点表示的数为， 最后向右平移10个单位长度到达点C，则点表示的数为． （2）解：可分为以下两种情况讨论： ①当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为． ②当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为0． 综上所述，点表示的数为或0． （3）解：设点表示的数为，则，． 是的中点，是的中点， ． ． 是一个定值． 23．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在数轴上点A表示，点B表示b，点C表示c，并且是多项式的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当时，分别求的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1)，1，8； (2)①，；②变化，理由见详解． 【思路引导】本题考查了数轴，有理数的运算，线段的和差，整式的加减运算； （1）根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，再结合数轴可得答案； （2）①根据题意得，，再代入即可求解； ②根据，，表示出，再根据整式加减求解即可． 【规范解答】（1）解：多项式的二次项系数是，则， 数轴上最小的正整数是1，则， 单项式的次数为8，则， 故答案为：，1，8； （2）解：①∵，， ∴当时，，； ②不改变，∵，， ∴． ∴的值随着时间的变化而改变． 24．（21-22七年级上·湖北十堰·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②，； (2)1或3； (3)不变，5． 【思路引导】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动进行求解即可得到结果； （2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段的长度． 【规范解答】（1）解：①由题意得：，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． 考点07 数轴上动点相遇问题 25．（20-21七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知如图，在数轴上有，两点，所表示的数分别为，，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为秒，解答下列问题： (1)运动前线段的长为______；运动1秒后线段的长为______； (2)运动秒后，点，点运动的距离分别为______和______； (3)求为何值时，点与点恰好重合； (4)在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段的长为5，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6；4 (2)； (3)的值为3时，点与点恰好重合 (4)t的值为或，理由见解析 【思路引导】本题考查数轴、一元一次方程等知识，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式，学会构建方程解决问题． （1）根据两点间距离公式计算即可； （2）根据题意计算即可； （3）由（2）可得，点A表示的数为，点B表示的数为，令点A和点B表示的数相等构建方程，即可解决问题； （4）分点A在点B左侧和点A在点B右侧两种情形构建方程，即可解决问题． 【规范解答】（1）解： ， 由题意得，运动1秒后，A表示，B表示， ∴ ， 故答案为：6，4； （2）解：由题意得，运动秒后，点运动的距离为，点运动的距离， 故答案为：，； （3）解：由（2）可得运动秒后，点的位置为，点B的位置为， 当点A与点B恰好重合时，， ， ， ， 故t的值为3时，点A与点B恰好重合； （4）解：存在，理由如下： 由（3）可知，t秒时点A表示的数为：，点B表示的数为：， 当点A在点B左侧时：， ， ， ， 解得， 当点A在点B右侧时：， ， ， ， 解得， ∴存在某一时刻t，使得线段的长为5，t的值为或． 26．（24-25七年级上·吉林通化·期末）如图，已知数轴上原点为0，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点A表示的数为___________，点B表示的数为___________； (2)点P表示的数为___________（用含x的式子表示）；点Q表示的数为___________（用含x的式子表示）； (3)运动过程中，当x为多少秒时，点P和点Q重合？ (4)假如点P、Q的速度保持不变，直接写出x为何值时线段是4个单位长度． 【答案】(1)16， (2)， (3) (4)或8 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、列代数式、偶次方的非负性以及绝对值的非负性． （1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可求出a，b的值； （2）根据点P，Q的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，即可用含x的代数式表示出点P，Q表示的数； （3）根据点P和点Q重合，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）根据线段是4个单位长度，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴数轴上点A表示的数为16，点B表示的数为， 故答案为：16，； （2）解：∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动， ∴当运动时间为秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，； （3）解：根据题意得：， 解得：， 答：当x为秒时，点P和点Q重合； （4）解：根据题意得：， 即或， 解得：或， 答：x为或8时，线段是4个单位长度． 27．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图，数轴上有、、、四点，点是原点， ， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 【答案】(1) (2)①，；②当秒时，恰为线段的中点；③点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度 【思路引导】此题主要考查了数轴，以及线段的计算，一元一次方程的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解． （1）根据已知条件求得的长度，即可写出点表示的数； （2）①根据题意画出图形，表示出，，再根据线段的中点定义可得，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据可得，根据线段的和差关系可得到点表示的数； ②当在原点的左侧，根据题意得方程即可得到结论；当在原点的右侧，根据题意得方程即可得到结论； ③根据，，求得，于是得到点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴， ∵在左侧， ∴∴点A表示的数为：． 故答案为：． （2）①由题意得：，， 如图所示： 为中点， ， 在数轴上点表示的数是， 点在上，，， 在数轴上点表示的数是． ②原点恰为线段的中点时，点表示的数与点表示的数互为相反数， 即，解得： 当秒时，恰为线段的中点． ③，， ， 点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 答：点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度． 考点08 数轴上动点问题与绝对值的非负性综合 28．（24-25七年级上·北京·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路引导】（1）由图可知点和点表示的数，根据数轴上点的平移即可求出点表示的数，进而可求出、两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离建立绝对值方程，解方程即可求出的值； （3）根据和的含义，画出数轴，利用数形结合思想即可解决问题． 【规范解答】（1）解：由图可知，点表示的数为， 把点A向左移动1.5个单位，得到点C， 点表示的数为：， 由图可知，点表示的数为， 、两点间的距离是：， 故答案为：，； （2）解：由题意可知： ， 解得：或， 故答案为：或； （3）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示： 当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，用数轴上的点表示有理数等知识点，熟知数轴上两点之间距离的计算方法并运用数形结合思想是解题的关键． 29．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 【答案】(1)3 (2)3，7 (3)1 【思路引导】（1）根据题意，得A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离，设与点B的距离为2，得，结合距离为，解答即可． （2）利用分类思想，分相同数，，3三种情况解答即可． （3）根据它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，得到或，分类计算即可． 【规范解答】（1）解：∵数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3， ∴A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离， 设与点B的距离为2， 则， 解得， 故当点C平移到原点时，符合题意， 此时距离为， 故需将点向左移动向左平移3个单位长度， 故答案为：3． （2）解：有三种方法： ①相同数为A表示的数时，移动B，C，把点B向左移动2个单位长度，把点C向左平移7个单位长度，移动距离之和为； ②相同数为B表示的数时，移动A，C，把点A向右平移2个单位长度，把点C向左平移5个单位长度，移动距离之和为； ③相同数为C表示的数时，移动A，B，把点A向右平移7个单位长度，把点B向左平移5个单位长度，移动距离之和为. ∴移动所走的距离和最小是7个单位长度， 故答案为3，7． （3）解：∵两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且， ∴， ∴或， 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 故两只青蛙，之间的最小距离为1． 【考点剖析】本题考查了数轴表示有理数，数轴上的平移，数轴上的两点间距离，绝对值的求解，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 30．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）数轴上，把点表示的数记为，点表示的数记为，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点，之间的距离记作或，例如：当，时，点，之间的距离；当，时，点，之间的距离；当，时，点，之间的距离；由此我们知道，一般情况下，点，之间的距离或，如图，数轴上点，分别表示数，． (1)填空： ； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为秒． ①移动中，点表示的数是 ，点表示的数是 ，点，之间的距离 （用含有的代数式表示）； ②移动中，若点，之间相距个单位长度，求的值． 【答案】(1)8 (2)①，，；②2或6 【思路引导】本题考查数轴的知识，解题的关键是掌握数轴的几何意义，根据动点运动的轨迹进行解答，即可． （1）根据题意，则，即可； （2）根据题意，则点表示的数为：；点表示的数为：，即可；根据，求出，即可． 【规范解答】（1）解：∵点，之间的距离或， ∴当点，分别表示数，时，． 故答案为：8． （2）∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动， ∴点表示的数为：；点表示的数为：， ∴， 故答案为：，，； ∵点，之间相距个单位长度， ∴， ∴， 解得：或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $