3.3.1 抛物线的标准方程（九大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

3.3.1 抛物线的标准方程 题型一：抛物线定义的理解 1．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线的标准方程可得，解得， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为,上一点到轴的距离为6，且，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．12 【答案】A 【详解】由题设及抛物线的定义，有. 故选：A 3．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】由题意得，，抛物线中， 所以，所以所求距离为. 故选：B 4．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为， 点在上，由到直线的距离为8· 所以到准线的距离为7， 由抛物线的定义可知：到准线的距离等于到焦点的距离， 所以， 故选：A. 题型二：根据抛物线方程求焦点或准线 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的方程为：， 则其焦点坐标为：，准线方程为：． 故选：D 6．（24-25高二上·江苏连云港·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于抛物线，，则，所以，抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线方程可知：，即， 所以焦点到准线的距离是. 故选：C. 8．（24-25高二上·江苏盐城·期末）抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线可得， 可得焦点坐标为. 故选：D. 9．（24-25高二上·江苏徐州·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线知，，故其准线方程为， 故选：A 10．（24-25高二上·江苏泰州·期中）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，， 所以抛物线的准线方程为. 题型三：根据抛物线的方程求参数 11．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点坐标代入抛物线的方程得，解得. 故选：A 12．（22-23高二下·江苏盐城·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（    ）. A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由抛物线方程知：，即， 根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是. 故选：B 13．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离为 ． 【答案】1 【详解】由题意可得，抛物线标准方程为，所以， 所以，焦点到准线的距离为1. 故答案为：1. 题型四：求实际问题中的抛物线方程 14．（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 15．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线方程为，将点代入抛物线方程， 可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程， 可得，所以限度为. 故选：B 16．（24-25高二上·江苏盐城·期中）如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m） 【答案】4.3 【详解】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 将点代入得， 故， 今，得， 故限高为， 故答案为：4.3. 17．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为 . 【答案】 【详解】如图，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由已知得且， 所以，解得， 所以，即暴雨后的水面离桥拱顶的距离为 故答案为： 题型五：利用抛物线定义求动点轨迹 18．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】将化为， 动点到点的距离比它到直线的距离大1， 则动点到点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线， 该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右， 设， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 故答案为：. 19．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 题型六：抛物线上的点到定点的距离及最值 20．（22-23高二上·江苏连云港·期末）若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为 设，根据抛物线定义有有，∴， ∴点到原点的距离为. 故选：D. 21．（22-23高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可得出如下图形： 抛物线的方程为， 抛物线的焦点为，，准线方程为， 设点在轴上的射影为点，延长交准线于点，连结， 则长即为点到轴的距离，可得， 根据抛物线的定义，得， ， 根据平面几何知识，可得，得. 当且仅当､､三点共线时等号成立， ， 当､､三点共线时，的最小值为， 即到轴的距离与到点的距离之和的最小值为. 故选：D. 22．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【详解】抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1， 过点作于，设点，，， ， 当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立， ， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4，AB不可能，CD可能. 故选：CD 23．（22-23高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为 . 【答案】 【详解】解：设，则，， 所以，即， 即动点的轨迹方程为，， 所以， 所以当时. 故答案为： 24．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知动点在抛物线上，过点引圆：的切线，切点分别为，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 则四边形的面积为， 所以， 在直角中，可得， 所以， 设，则， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：.    25．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则 ；若为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 5 【分析】根据题意可得圆的方程为，结合两点间距离公式运算求解即可得；由结合几何性质可得，再结合抛物线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，圆，即为， 则； 因为，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 设点到准线的距离为， 则，当且仅当为坐标原点时，等号成立， 综上所述：， 当且仅当为坐标原点，为时，等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：；5. 题型七：抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 26．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 27．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，所以点在抛物线的内部， 设点在准线上的射影为，由抛物线的定义可知， 要求的取最小值，即求的最小值， 只有当三点共线时最小， 令，，得，所以取最小值时点的坐标为. 故选：A. 28．（24-25高二上·江苏南京·期中）抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，抛物线的焦点为, 根据抛物线的定义可知，点到的距离等于, 所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和， 由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离， 所以即为所求， 故选: D. 29．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】 设圆的圆心为，半径为， 过点作垂直抛物线的准线于， 由抛物线的定义知，， 所以，当且仅当四点共线时，等号成立， 而， 所以，即的最小值为4． 故选：B 故选：B. 30．（24-25高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【详解】抛物线的焦点为， ， 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离， 即的最小值是， 所以周长的最小值为. 故答案为： 31．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】抛物线的准线为， 如图，过点作垂直准线于点， 则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型八：抛物线的焦半径公式 32．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 33．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知点P在抛物线上．若点P到抛物线焦点的距离为4，则点P的坐标是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】对于抛物线  ，准线方程为 ， 设点，根据抛物线得定义得： 点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离为，所以， 则，，所以点P的坐标为或； 故选：C． 34．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上一点，若，则点的横坐标为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】因为抛物线，则，焦点在轴的正半轴， 又，设， 则由焦半径公式得，即，解得. 故选：B. 35．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为点到的距离为， 则，得到， 故选：A. 36．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，，得， 所以点到轴的距离为. 故选：B. 37．（23-24高二上·河北邢台·期中）已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上的两点，，则线段AB的中点到x轴的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】抛物线C：的准线方程为，设， 由抛物线定义，得，由，得， 解得，因此线段AB的中点纵坐标为， 所以线段AB的中点到x轴的距离为4. 故选：B 38．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，.则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题得，准线方程为，设， 根据对称性，不妨假设点位于第一象限，过点作轴， 因为，则， 则，又因为是抛物线上一点， 则，代入上式有，解得或3， 显然由图知，则，则. 故选：A 39．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 【分析】（1）根据题意分析可知直线的斜率，根据抛物线方程以及斜率公式列式求解； （2）利用待定系数法，列方程即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，直线的倾斜角为，斜率， 设，且， 则，解得或（舍去）， 所以， （2）设的外接圆方程为, 由于，，, 故,解得, 故圆的方程为 题型九：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 40．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：，则 故选：B 41．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】易知直线与坐标轴的交点分别为， 当焦点为时，可知抛物线方程为：； 当焦点为时，可知抛物线方程为：. 故选：BD 42．（24-25高二上·江苏淮安·期中）准线为的抛物线的标准方程是 【答案】 【详解】由抛物线的准线为，故，则抛物线方程为. 所以抛物线标准方程为. 故答案为： 43．（24-25高二上·江苏常州·期中）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 【答案】 【详解】由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 可知双曲线的右焦点为，即抛物线的焦点为， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 44．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）求下列各曲线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线标准方程． (2)已知椭圆与圆，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的标准方程． 【详解】（1）对双曲线：，其左顶点为. 对抛物线，焦点为，所以抛物线的标准方程为：. （2）椭圆：的焦点坐标为：，. 设双曲线方程为：, 如图： 直线与圆：相切， 设直线的倾斜角为，则. 所以对双曲线焦点在轴上，且. 所以双曲线的标准方程为：. 45．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，双曲线E的渐近线方程为 (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程; (2)过右焦点F且斜率大于0的直线l与双曲线E的右支交于两点，若，求直线l的方程． 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，则， 双曲线E的方程为， 又因为双曲线E的右焦点坐标为， 而抛物线的焦点为， 于是，解得， 所以抛物线C的标准方程为. （2） 设直线l的方程为，，， 因为斜率大于0的直线l与C的右支交于两点， 所以，即，则， 联立， 消去x整理得， ，且，， 则， 解得，则负值舍去， 故直线l的方程为 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期中）若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】设点，由得， 可得或（舍去），即， 所以M到抛物线的准线的距离， 根据抛物线定义得选项C正确． 故选：C 2．（24-25高二上·江苏徐州·期中）抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】对于抛物线，则，根据焦点坐标公式，可得焦点坐标为. 则焦点到圆心的距离. 因为圆的半径，焦点到圆上点的距离的最小值为焦点到圆心的距离减去圆的半径，即. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由题意可知：抛物线的准线为， 则为双曲线的焦点，即， 又因为离心率为，可得， 且，解得， 取渐近线为，即，取顶点为， 所以的顶点到渐近线的距离为. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（    ） A． B． C． D．16 【答案】D 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下： 由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为，又因为点在抛物线上， 所以，所以，所以. 故选：D. 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【详解】设，则，所以， 当时，； 当时，， 当且仅当即时取等号，所以； 由上可知，取最小值时，， 所以， 故选：C. 6．（24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上（不含），此时圆心为，半径. 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，若在曲线上存在一点，使得为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为（      ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设，则， 为钝角，则，因此只要有满足且即有为钝角， 对于A，，则，当时，，A满足， 对于B，，，由于椭圆中，，因此，B不满足， 对于C，以为直径的圆圆心为，半径为1，只有此圆内点满足， 曲线是圆，圆心为，半径为2，而，且，因此两圆相交，即圆上有点在圆内，C满足， 对于D，当时，曲线为，即射线，射线顶点为， 圆心到射线的距离为，因此射线有部分在圆内，即有点满足为钝角，D满足， 故选：ACD． 8．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则点到轴的距离为 C．若延长线交轴于，且是的中点，则 D．当取最小值时， 【答案】ACD 【详解】过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 连接，如图： 对于A，由题知，，所以，，故A正确； 对于B，因为点是的中点，所以是梯形的中位线， 所以， 所以点到轴的距离为，故B错误； 对于C， ，设，， 因为是的中点，则， 所以，故C正确； 对于D，， 所以当最大时，即直线与抛物线相切时，取最小值， 易知直线的斜率不为0，， 设直线：， 则，消去得， 则，解得，， 所以当直线为或时，取最小值， 此时，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】 点在抛物线上，，解得，所以抛物线的方程为， 又直线，是圆的两条切线， 设切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离等于半径，则， 所以，解得，则直线的方程为，直线的方程为， 联立直线和抛物线的方程，得，由， 得，得，直线的方程为. 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 【答案】 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为 ，此抛物线的顶点坐标为 . 【答案】 【详解】由，可得， 所以，所以， 方程表示到点的距离与直线的距离之比为常数， 若方程表示的曲线是抛物线，则，解得， 为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线， 过与直线垂直的直线方程为， 由，解得，所以抛物线的准线与对称轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点是焦点与的中点， 所以抛物线的顶点坐标为. 故答案为：；. 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 【详解】（1）由题知双曲线, 所以，所以，即双曲线的上焦点为， 由抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为：， 则，， 所以抛物线的标准方程为：， 其准线方程为：； （2）设，，线段AB的中点记为， 由，结合抛物线的焦半径公式得：， 即，所以， 即线段AB的中点到轴的距离为2. 13．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知双曲线与椭圆有相同焦点. (1)求值并求椭圆离心率的范围. (2)若双曲线的左顶点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程. (3)A为双曲线C的右顶点，B在第一象限且为双曲线C上的点，若B到x轴的距离为．若直线AB与圆 相切，求双曲线C的离心率. 【详解】（1）由题得，所以， 所以，； （2）抛物线的焦点坐标为，设抛物线方程为， 则，所以抛物线方程为； （3）设直线与圆的切点为，B坐标为， 所以，解的， 过作在轴的垂线交点为N，则与相似， 可得，解的， 则双曲线方程为，所以双曲线离心率为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1 抛物线的标准方程 题型一：抛物线定义的理解 1．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为,上一点到轴的距离为6，且，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．12 3．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．1 4．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 题型二：根据抛物线方程求焦点或准线 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏连云港·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 8．（24-25高二上·江苏盐城·期末）抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江苏徐州·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏泰州·期中）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 题型三：根据抛物线的方程求参数 11．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 12．（22-23高二下·江苏盐城·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（    ）. A． B． C．2 D．4 13．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离为 ． 题型四：求实际问题中的抛物线方程 14．（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·江苏盐城·期中）如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m） 17．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为 . 题型五：利用抛物线定义求动点轨迹 18．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 19．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 题型六：抛物线上的点到定点的距离及最值 20．（22-23高二上·江苏连云港·期末）若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（    ） A． B．1 C． D． 21．（22-23高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 23．（22-23高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为 . 24．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知动点在抛物线上，过点引圆：的切线，切点分别为，则的最小值为 . 25．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则 ；若为上的动点，则的最小值为 . 题型七：抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 26．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 27．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·江苏南京·期中）抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 30．（24-25高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 31．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 题型八：抛物线的焦半径公式 32．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 33．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知点P在抛物线上．若点P到抛物线焦点的距离为4，则点P的坐标是（    ） A． B． C．或 D． 34．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上一点，若，则点的横坐标为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 35．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 36．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·河北邢台·期中）已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上的两点，，则线段AB的中点到x轴的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 38．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，.则（    ） A． B． C．3 D．4 39．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 题型九：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 40．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 41．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 42．（24-25高二上·江苏淮安·期中）准线为的抛物线的标准方程是 43．（24-25高二上·江苏常州·期中）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 44．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）求下列各曲线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线标准方程． (2)已知椭圆与圆，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的标准方程． 45．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，双曲线E的渐近线方程为 (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程; (2)过右焦点F且斜率大于0的直线l与双曲线E的右支交于两点，若，求直线l的方程． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期中）若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高二上·江苏徐州·期中）抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（   ） A． B． C． D．3 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（    ） A． B． C． D．16 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．8 6．（24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，若在曲线上存在一点，使得为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为（      ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则点到轴的距离为 C．若延长线交轴于，且是的中点，则 D．当取最小值时， 三、填空题 9．（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为 . 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 11．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若方程表示的曲线是抛物线，则实数的值为 ，此抛物线的顶点坐标为 . 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 13．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知双曲线与椭圆有相同焦点. (1)求值并求椭圆离心率的范围. (2)若双曲线的左顶点为抛物线的焦点，求抛物线的标准方程. (3)A为双曲线C的右顶点，B在第一象限且为双曲线C上的点，若B到x轴的距离为．若直线AB与圆 相切，求双曲线C的离心率. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $