3.3 幂函数 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3.3 幂函数 【基础巩固】 1．下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象经过点，则的值为（ ） A． B． C．3 D．9 3．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（ ） A． B． C． D． 4．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 6．若幂函数在上是单调递增，则实数________． 7．已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为________． 8．已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【能力拓展】 9．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 10．记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（ ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 11．安徽省六安第二中学始建于1923年，悠悠历史翻开新篇：2023年，六安二中迎来百年校庆——百年二中，桃李芬芳；海峰传人，扬帆起航.2023年12月29日在海峰堂举行了盛大的百年校庆庆典活动，若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“海峰函数”，则满足“海峰函数”的的取值范围是________. 【素养提升】 12．已知幂函数，满足． (1)求函数的解析式； (2)设，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.3 幂函数 【基础巩固】 1．下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确. 故选：D. 2．已知幂函数的图象经过点，则的值为（ ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【解析】设，则，即， 故选：B． 3．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 4．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知幂函数在上单调递减，则 解不等式得：，所以 此时幂函数为，其图象关于轴对称，满足条件，所以 将代入不等式，得： 因为幂函数在上单调递增，所以由 可得： 解不等式，得： 满足不等式的的取值范围是 故选：D. 5．（多选）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 【答案】B,C 【解析】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的； 对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的； 对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的； 对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的； 故选：BC. 6．若幂函数在上是单调递增，则实数________． 【答案】4 【解析】由幂函数在上是单调递增，得， 所以. 故答案为：4 7．已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 故答案为：. 8．已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在上都单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. (2)函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. (3)由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 【能力拓展】 9．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数，故，即， ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 10．记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（ ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 【答案】D 【解析】根据题意，可得表示轴，直线及函数的图象所成围成区域的整点的个数， 设函数和，可得函数和互为反函数， 两个函数的图象关于对称，如图所示. 由函数对称性，可得轴，直线，与函数的图象围成的区域， 与轴，直线及函数的图象围成的区域所包含的整数点一样多， 则表示边长为的正方形内整点的个数之和， 其中有两个，所以整点的个数为， 即. 故选：D. 11．安徽省六安第二中学始建于1923年，悠悠历史翻开新篇：2023年，六安二中迎来百年校庆——百年二中，桃李芬芳；海峰传人，扬帆起航.2023年12月29日在海峰堂举行了盛大的百年校庆庆典活动，若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“海峰函数”，则满足“海峰函数”的的取值范围是________. 【答案】 【解析】因为函数在上单调递增，， 则，即， 由，得，即， 又因为函数在上单调递增，因此， 所以函数在上单调递减， 而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且， 由及，得， 因此或， 对于，可得： 当时，，，此时不等式组无解； 当时，，，不等式组的解为； 当时，，，则有，解得，即； 因此不等式组的解为； 对于，由，得，则，不等式组无解； 所以“海峰函数”的x的取值范围是. 故答案为：. 【素养提升】 12．已知幂函数，满足． (1)求函数的解析式； (2)设，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)由是幂函数， 可得，解得或； 当时，在上单调递减，不满足； 当时，在上单调递增，满足， 故． (2)由题意知，则在定义域上单调递减， 若实数，（），使函数在上的值域为， 则，两式相减，得， 故， 而，所以，即， 将该式代入， 得， 令，由，知，即， 故，所以， 由于在上单调递减，所以， 故存在实数，（），使函数在上的值域为， 此时实数的取值范围为. 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $