3.3幂函数课时作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3幂函数 课时作业 (满分:100分) 基础练 1.若幂函数f(x)的图象经过(1,1),(2,-4),(-,2)这三个点中的两个点,则f(4)等于(　　) [A]64 [B]16 [C]4 [D]2 2.设α∈{-1,-,,3},则使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　) [A]3 [B]-1 [C]-,3 [D],3 3.已知幂函数f(x)的图象过点(2,32),若f(a+1)+f(-1)>0,则a的取值范围为(　　) [A](2,+∞) [B](1,+∞) [C](0,+∞) [D](-1,+∞) 4.若幂函数y=(a2-2a-2)xa的图象与一次函数y=x的图象有三个交点,则a的值为(　　) [A]0 [B]-1或3 [C]-1 [D]3 5.(多选)下列比较大小中正确的是(　　) [A]< [B]< [C]-2.13<(-2.2)-3 [D]< 6.已知函数f(x)=则y=-f(x)的图象大致为(　　) [A] [B] [C] [D] 7.(5分)已知幂函数y=x-1的图象及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示).那么幂函数y=的图象经过的“卦限”是　　　　.  8.(5分)已知函数f(x)=2x3+3x,若关于x的不等式f(kx2)+f(1-kx)>0恒成立,则实数k的取值范围为　　　　.  9.(14分)已知幂函数f(x)=(3m2-m+1)x9m-2的图象不经过原点. (1)求m的值; (2)若a≠0,试比较f(a)与f(a2+1)的大小. 10.(14分)已知幂函数f(x)=(-2m2)xm的图象过点(-,n). (1)求实数n的值; (2)设函数g(x)=f(x)+[f(x)]-2,用单调性的定义证明:g(x)在(1,+∞)上单调递增. 强化练 11.在同一平面直角坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是(　　) [A] [B] 　 [C] [D] 12.已知幂函数y=f(x)过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)是其图象上任意两点(x1<x2),则下列结论错误的是(　　) [A]x1f(x1)<x2f(x2) [B]> [C]f()> [D]f()< 13.(16分)已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0,+∞)上单调递减. (1)求m的值; (2)若(2a+1)-m<(a+3)-m,求a的取值范围; (3)设h(x)=,求h(x-3)+h(5-x)的最大值. 拓展练 14.已知幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|,那么αβ等于(　　) [A] [B] [C]1 [D]3 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3幂函数 课时作业 (满分:100分) 基础练 1.若幂函数f(x)的图象经过(1,1),(2,-4),(-,2)这三个点中的两个点,则f(4)等于(　　) [A]64 [B]16 [C]4 [D]2 【答案】 B 【解析】 设f(x)=xα,易知f(x)的图象必经过点(1,1).当f(x)的图象经过点(2,-4)时,f(2)=2α=-4不成立;当f(x)的图象经过点(-,2)时,f(-)==2,得α=2.故f(x)=x2,得f(4)=16. 故选B. 2.设α∈{-1,-,,3},则使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　) [A]3 [B]-1 [C]-,3 [D],3 【答案】 A 【解析】 当α=-1时,f(x)=x-1=的定义域为{x|x≠0},不符合题意;当α=-时,f(x)==的定义域为{x|x>0},不符合题意;当α=时,f(x)==的定义域为{x|x≥0},不符合题意;当α=3时, f(x)=x3的定义域为R,f(-x)=(-x)3=-x3,即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,符合题意.所以α=3符合题意.故选A. 3.已知幂函数f(x)的图象过点(2,32),若f(a+1)+f(-1)>0,则a的取值范围为(　　) [A](2,+∞) [B](1,+∞) [C](0,+∞) [D](-1,+∞) 【答案】 C 【解析】 设幂函数y=f(x)=xα,其图象过点(2,32),所以2α=32,解得α=5,所以f(x)=x5. 因为f(-x)=(-x)5=-f(x),所以f(x)=x5为奇函数,且在R上是增函数,所以f(a+1)+f(-1)>0可化为f(a+1)>-f(-1)=f(1),可得a+1>1,解得a>0.故选C. 4.若幂函数y=(a2-2a-2)xa的图象与一次函数y=x的图象有三个交点,则a的值为(　　) [A]0 [B]-1或3 [C]-1 [D]3 【答案】 D 【解析】 因为y=(a2-2a-2)xa为幂函数,则a2-2a-2=1,解得a=3或a=-1, 如图,若a=3,则y=x3的图象与一次函数y=x的图象有三个交点,符合题意; 若a=-1,则y=x-1=的图象与一次函数y=x的图象有两个交点,不符合题意. 综上可得,a=3.故选D. 5.(多选)下列比较大小中正确的是(　　) [A]< [B]< [C]-2.13<(-2.2)-3 [D]< 【答案】 CD 【解析】 由函数y=x0.5在(0,+∞)上单调递增,>,得>,A错误;由函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,-<-,得>,B错误;-2.13=(-2.1)3,(-2.2)-3=,因为函数y=x3在R上单调递增,-2.1<-,所以(-2.1)3<,即-2.13<(-2.2)-3,C正确;因为<0, >0,所以<,D正确.故选CD. 6.已知函数f(x)=则y=-f(x)的图象大致为(　　) [A] [B] [C] [D] 【答案】 C 【解析】当x<0时,易知f(x)=x-2=在(-∞,0)上单调递增; 当x≥0时,易知f(x)==在[0,+∞)上单调递增.故函数f(x)的图象如图所示. 又y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以C项满足题意.故选C. 7.(5分)已知幂函数y=x-1的图象及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示).那么幂函数y=的图象经过的“卦限”是　　　　.  【答案】 ①⑤ 【解析】 对于函数y==,当x>1时,1<<x,故其图象在(1,+∞)的部分位于直线y=1与y=x之间,即图象经过①“卦限”;当0≤x<1时,x<<1,故其图象在[0,1)的部分位于直线y=x与y=1之间,即图象经过⑤“卦限”. 8.(5分)已知函数f(x)=2x3+3x,若关于x的不等式f(kx2)+f(1-kx)>0恒成立,则实数k的取值范围为　　　　.  【答案】 [0,4) 【解析】 易知f(x)+f(-x)=2x3+3x+2(-x)3+3(-x)=0,即f(x)为奇函数,由幂函数的单调性知f(x)在R上是增函数,所以f(kx2)+f(1-kx)>0等价于f(kx2)>-f(1-kx)=f(kx-1),则得kx2-kx+1>0在R上恒成立. 若k<0,显然不成立;若k=0,显然恒成立;若k>0,则当且仅当Δ=k2-4k<0,即0<k<4时成立. 综上,实数k的取值范围为[0,4). 9.(14分)已知幂函数f(x)=(3m2-m+1)x9m-2的图象不经过原点. (1)求m的值; (2)若a≠0,试比较f(a)与f(a2+1)的大小. 【解】 (1)因为f(x)是幂函数,所以3m2-m+1=1,解得m=0或m=.当m=0时,f(x)=x-2的图象不经过原点,符合题意;当m=时,f(x)=x的图象经过原点,不符合题意,所以m=0. (2)由(1)得f(x)=x-2,易得f(x)在(0,+∞)上单调递减. 当a>0时,由a2+1-a=+>0,可得a2+1>a>0,所以f(a2+1)<f(a); 当a<0时,-a>0,由a2+1-(-a)=+>0,可得a2+1>-a>0.因为f(-a)=(-a)-2=a-2=f(a),所以f(a2+1)<f(-a)=f(a). 综上,f(a2+1)<f(a). 10.(14分)已知幂函数f(x)=(-2m2)xm的图象过点(-,n). (1)求实数n的值; (2)设函数g(x)=f(x)+[f(x)]-2,用单调性的定义证明:g(x)在(1,+∞)上单调递增. (1)【解】 由f(x)=(-2m2)xm是幂函数,得-2m2=1,解得m=±. 当m=时,f(x)=的图象不过点(-2,n),不满足题意; 当m=-时,f(x)=的图象过点(2,n),所以n==. (2)【证明】 由(1)知,f(x)=,则g(x)=+x,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 则g(x1)-g(x2)=+x1-(+x2)=(x1-x2)+=(x1-x2)+= (x1-x2)[1-], 由x2>x1>1,得x1-x2<0,>>1,则+>1,>1,(+)>1, 1->0,(x1-x2)[1-]<0, 因此g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2), 所以g(x)在(1,+∞)上单调递增. 强化练 11.在同一平面直角坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是(　　) [A] [B] 　 [C] [D] 【答案】 C 【解析】 对于A,幂的指数a<0,则y=ax-应为减函数,A错误;对于B,幂的指数a>1,则y=ax-应为增函数,B错误;对于D,幂的指数a<0,则->0,即直线y=ax-与y轴的交点应在x轴上方,D错误;易知C正确.故选C. 12.已知幂函数y=f(x)过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)是其图象上任意两点(x1<x2),则下列结论错误的是(　　) [A]x1f(x1)<x2f(x2) [B]> [C]f()> [D]f()< 【答案】 D 【解析】 因为f(x)是幂函数,可设f(x)=xα,因为幂函数f(x)的图象经过点(,),所以=,即=2-3α,解得α=,所以f(x)=,定义域为[0,+∞). 对于A,设g(x)=xf(x)=x=,定义域为[0,+∞),因为>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,若0≤x1<x2,则g(x1)<g(x2),即x1f(x1)<x2f(x2),故A正确; 对于B,设h(x)====,定义域为(0,+∞),因为-<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,若0<x1<x2,则h(x1)>h(x2),即>,故B正确; 对于C,D,f()=,=, [f()]2=, =, 而=>(x1≠x2,等号不成立),所以[f()]2>[]2,又f()>0,>0,所以>,故C正确,D错误.故选D. 13.(16分)已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0,+∞)上单调递减. (1)求m的值; (2)若(2a+1)-m<(a+3)-m,求a的取值范围; (3)设h(x)=,求h(x-3)+h(5-x)的最大值. 【解】 (1)由f(x)=(m2+4m+4)xm+2是幂函数,得m2+4m+4=1,解得m=-1或m=-3. 当m=-1时,f(x)=x在(0,+∞)上单调递增,不符合题意; 当m=-3时,f(x)=x-1在(0,+∞)上单调递减,符合题意,所以m=-3. (2)若(2a+1)-m<(a+3)-m,即(2a+1)3<(a+3)3,因为函数y=x3在R上是增函数,所以2a+1<a+3,解得a<2.所以a的取值范围是(-∞,2). (3)h(x)==,则h(x-3)+h(5-x)=+,3≤x≤5, 因为≤=1, 所以+≤2,当且仅当x=4时,等号成立,所以h(x-3)+h(5-x)的最大值为2. 拓展练 14.已知幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|,那么αβ等于(　　) [A] [B] [C]1 [D]3 【答案】 C 【解析】 由题意得,点A(1,0),B(0,1),|BM|=|MN|=|NA|,所以M(,),N(,),分别代入y=xα,y=xβ,得=,=,所以=[()α]β==,所以αβ=1.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $