专题训练 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题研究 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题(学生版) 解题通法： 1.圆上到直线的距离为定值的点的个数 设圆的半径为,圆心到直线的距离为,则 （1）当时,圆上没有点到直线的距离等于; （2）当时,圆上有且只有1个点到直线的距离等于; （3）当或时,圆上有且只有2个点到直线的距离等于; （4）当时,圆上有且只有3个点到直线的距离等于; （5）当时,圆上有且只有4个点到直线的距离等于. 专题训练： 一、单选题 1．直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 2．若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点，点满足到直线的距离为1，且，则符合要求的点的个数有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知点和直线，圆，圆上到点A的距离等于到直线l的距离的点恰有两个，则r的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 10．已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（    ） A．2 B． C． D．3 11．在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（     ） A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为 C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为 三、填空题 12．已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为 . 13．已知直线与圆，则圆C上到直线l距离为1的点的个数为 .. 14．若圆上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，求的值. 16．设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点有几个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题研究 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题(解析版) 解题通法： 1.圆上到直线的距离为定值的点的个数 设圆的半径为,圆心到直线的距离为,则 （1）当时,圆上没有点到直线的距离等于; （2）当时,圆上有且只有1个点到直线的距离等于; （3）当或时,圆上有且只有2个点到直线的距离等于; （4）当时,圆上有且只有3个点到直线的距离等于; （5）当时,圆上有且只有4个点到直线的距离等于. 专题训练： 一、单选题 1．直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 2．若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，分别与圆相交、相离即可得的取值范围． 【详解】作与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为， 较近的一条到原点的距离为， 又圆上有2个点到直线的距离为1， 两条平行线中与圆心较近的与圆有2个公共点， 与圆心较远的直线与圆无交点即可，如图，    由此可得圆的半径， 故选：B 3．在平面直角坐标系中，点，点满足到直线的距离为1，且，则符合要求的点的个数有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点所在的两个轨迹，再确定两个图形公共点个数即可. 【详解】由点满足到直线的距离为1，得， 即或，此时点在直线或上， 由，得，则，此时点在以为圆心，2为半径的圆上， 点到直线距离为0，该直线与圆有2个公共点； 点到直线的距离，该直线与圆有1个公共点， 所以符合要求的点的个数有3个. 故选：C 4．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即r的取值范围是. 故选：B. 5．已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得圆心到直线的距离应小于等于，列出不等式即可求解, 【详解】由题意：圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， 所以 ， ，解得 故选：A 6．已知点和直线，圆，圆上到点A的距离等于到直线l的距离的点恰有两个，则r的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆上点，根据题意得到方程，化简得，，代入圆方程，解得，由解得，当时，对应的点只有1个，不合题意，当时，对应的点有2个，满足要求. 【详解】设圆上点，则有，化简得， 因为，所以，代入圆方程得，解得， 其中舍去，故， 又，即，解得， 当时，，此时，解得，即对应的点只有1个，不合题意， 当时，，此时，故对应的点有2个，满足要求. 故选：B 7．“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出与直线平行且到直线的距离为1的直线方程，再求出圆心到这两条直线距离，进而利用直线与圆的位置关系确定范围，最后利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】如图所示： 设与直线平行且到直线的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离，则， 所以“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为”的必要不充分条件，B正确. 故选：B 8．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 二、多选题 9．能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】首先根据圆的方程求出圆心坐标和半径大小，然后根据条件判断圆心到直线的距离条件，列出不等式，求出的取值范围，得出答案选项. 【详解】因为圆的方程为：， 所以圆心，半径. 若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 圆心到直线的距离等于. 即，解得. 显然0和1在该区间内. 故选：AB. 10．已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】AB 【分析】作出图形，利用代数式的几何意义可求答案. 【详解】由曲线，得，则， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 设直线：，因为，所以， 所以表示点到直线的距离为，即只有2个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：AB 11．在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（     ） A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为 C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为 【答案】AD 【分析】依题意可得圆心，半径为，圆心到直线的距离为，结合选项逐一判断即可． 【详解】圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为； 又圆的半径为，得圆上有两个点到直线的距离为， 圆上有个点到直线的距离为，所以AD成立 故选：AD． 三、填空题 12．已知圆 ，在圆上至少存在三个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，分析可得圆心到直线的距离小于等于，故可求参数的取值范围. 【详解】由题，当圆心到直线的距离为时，圆上恰好有三个点到直线的距离为， 则，所以． 故答案为：. 13．已知直线与圆，则圆C上到直线l距离为1的点的个数为 .. 【答案】2 【分析】 写出圆的圆心和半径，应用点线距离公式判断直线与圆相交，再通过判断劣弧一侧是否存在到直线l距离为1的点，即可得答案. 【详解】由题设，圆的圆心，半径为2， 而到的距离为，故直线与圆相交， 又，即劣弧一侧不存在到直线距离为1的点，所以圆C上到直线l距离为1的点有2个. 故答案为：2 14．若圆上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出圆心和半径，根据条件得到圆心到直线的距离，从而得到不等式，求出答案. 【详解】圆， 故圆心为，半径为6， 因为圆上有四个不同的点到直线的距离为3，为半径的一半， 设圆心到直线的距离为，则， 即，解得. 故答案为： 四、解答题 15．若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，求的值. 【答案】 【分析】先求出圆的圆心坐标和半径，以及圆心到的距离，结合题意可得圆的半径为，进而建立方程求解即可. 【详解】由圆，即，则， 圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到的距离为， 因为圆上恰有三个不同的点到的距离为1，所以圆的半径为， 则，解得. 故答案为：. 16．设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点有几个？ 【答案】2个. 【分析】应用点线距离公式求圆心到直线的距离，并与半径比较大小，即可确定直线与圆的位置关系，进而可知满足题设的点的个数. 【详解】由(x－2)2＋(y＋1)2＝9，则圆心坐标为(2,－1)，半径r＝3， 圆心到直线l的距离d＝，故直线与圆相交且不过圆心. ∴要使曲线上的点到直线l的距离为，此时对应的点在直径端点上，故有两个点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $