圆锥曲线：以双曲线为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线：以双曲线为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 圆锥曲线：以双曲线为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 以双曲线为背景的定点问题 以双曲线为背景的定值问题 以双曲线为背景的定直线问题 考点一 以双曲线为背景的定点问题 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 3．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； (3)设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）依题意，点，设，由，得， 解得，而，因此，双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）由（1）知，，直线的方程为， 由消去得，解得， 则， 的面积最小，当且仅当点到直线的距离最小， 平移直线与双曲线的右支相切的切点到直线的距离最小， 设切线方程为，由消去得， ，解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意，因此， 因此点到直线的距离为点到直线的距离， 所以求的面积的最小值为. （3）依题意，直线斜率存在，设其方程为，， 由为双曲线的左支上与不重合的点，得， 设点关于直线对称点为，则， 解得，由直线平分，得在直线上， 而，则， 即，整理得， 由消去得，， ，因此， 整理得，而，解得，直线：过定点， 所以直线MN恒过定点. 4．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦距为4. (1)求的方程； (2)过的左焦点且斜率为的直线与的左支交于两点. （i）求的取值范围； （ii）记点，直线与的右支分别交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即，所以.① 因为的焦距，所以，则.② 由①②解得，，所以的方程为. （2） 设，，由题得， 则直线的方程为，，联立. 得. （i）因为直线与的左支交于两点，所以，. 所以 解得或，所以的取值范围为. （ii）由题意得直线的方程为. 代入，得. 则，所以，则， 所以.同理得. 所以. 所以直线的方程为，即. 所以直线过定点. 5．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【详解】（1）由题知，，且，，得，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设，，则由，得， 即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在， 设直线AB：，代入双曲线方程， 化简得， 设，则，，，， 则， 整理得， 所以， 整理得，即，所以或． 当时，直线AB的方程为，经过y轴上的定点； 当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意． 综上，直线AB与y轴的交点为定点，且定点坐标为． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)直线过定点． 【详解】（1）由已知，，则． 因为，则，所以，从而． 所以双曲线的方程是． （2） 设直线，代入，得， 即． 设点，则． 如果直线过定点，因为点与及的左支关于轴对称， 猜想：定点在轴上． 设点，由题设，点，则． 因为向量与共线，则， 即， 即．所以，即． 因为为可变量，则，所以直线过定点． 7．（24-25高二下·重庆·期中）已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【详解】（1）由题意可得，解得，因此，双曲线的标准方程为. （2）若直线与轴重合，则该直线与双曲线交于两个顶点，不合乎题意. 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得， 由韦达定理可得，， 易知点，由对称性知直线过轴上的定点， ，， 由题意可知，即， 可得，解得， 因此，直线过定点，且定点坐标为. 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）如图， 分别为双曲线的左、右顶点，，双曲线的两条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)点在直线上运动，直线 交双曲线左支于点，直线交双曲线右支于点 与 不重合). ①求直线与的斜率之积； ②问直线是否过定点? 如果过定点，请求出定点坐标; 如果不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)①3，②过定点. 【详解】（1）由，则，所以， 又渐近线为，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）①设，则，又， 所以. ②设，，由对称性知，则直线的斜率不为0，设直线， 联立，消去整理得， 则，，， 因为三点共线，则（i）， 又三点共线，则（ii）， 由（i），（ii）消去得，由①知， 所以，即， 消去得，， 整理得， 将，代入整理得， ，化简得， 又当时，点与重合，故舍去，则，满足， 所以直线的方程为，故直线过定点. 考点二 以双曲线为背景的定值问题 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线的上下焦点分别为、，离心率为，点到渐近线的距离为，过点且斜率为的直线在第一象限交双曲线于点，过点且斜率为的直线在第四象限交双曲线于点，与交于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的值； (3)证明：是定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离为， 又因为双曲线的离心率，，所以，， 则双曲线的方程为. （2）设、，关于原点的对称点记为，则，. 因为，，，所以， 又因为，即，故、、三点共线， 又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故， 所以， 设的直线方程为， 代入双曲线方程整理得：， 所以，可得， 故，， 直线与双曲线只有两个交点，所以，解得. 由弦长公式得：， 则，即， 且由题意可知，可得，解得. （3）因为直线与直线斜率相等，所以，则， 所以，故，同理可得， 所以 因为. 所以，故为定值. 2．（2025·湖南长沙·三模）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）双曲线经过点，且渐近线方程为． (1)求a，b的值； (2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，的外接圆经过原点O，若设直线的AB方程为． ①求外接圆的方程（用k，m表示）； ②求证：原点O到直线AB的距离为定值． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【详解】（1）因为双曲线C渐近线方程为，所以． 又双曲线C经过点，所以．解得． （2）AB方程为，设，中点， 则． 由，消去x，得， 所以，，则，， 则AB的中垂线方程为，当时，， 因为B、D两点关于y轴对称，则的外接圆圆心在y轴上， 记圆心为点F，则，又的外接圆经过原点O， 所以外接圆的方程为或． ②因为的外接圆经过原点，则，即． 又＝1，所以， 同理，由得， 所以是方程的两个根，所以， 则，即， 所以，化简得， 所以原点O到直线AB距离. 4．（2025·广西柳州·模拟预测）已知双曲线的方程为，虚轴长为，点在曲线上. (1)求双曲线的离心率； (2)过原点的直线与双曲线交于两点，已知直线和的斜率存在.证明：直线和的斜率之积为定值. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意， 从而， 所以双曲线方程，离心率. （2）证明：由题意知点关于原点对称， 不妨设，则， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 因为， 所以（*） 又点，在曲线上，即， 代入（*）得， 所以直线的斜率和直线的斜率之积为定值3. 5．（2025·山西·一模）已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； (3)在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）因为，所以， 因为双曲线E渐近线的方程为，所以， 解得，，则双曲线的标准方程为． （2）易知，， 如图，设，，直线l的方程为， 联立，得， 则，，，， 得到，故， . （3）由题可知：， ：，下面我们给出示意图， 联立可得：，所以， 即，同理． 假设在x轴上存在定点满足条件，则， 即， 则， 得到， ， ， 即，解得， 则在x轴上存在定点满足条件． 6．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C： 的右焦点为，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点.当轴时，. (1)若A点坐标为，B点坐标为，证明：. (2)在x轴上是否存在定点M，使得为定值?若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在定点，使得为定值. 【详解】（1）由已知可得，且 ， 又 ，解得， 所以双曲线C的方程为. 当轴时，直线l的方程为，则， 成立； 当直线l的斜率存在时，， 整理得. 综上所述，成立. （2）如图所示： 设点M的坐标为，， 当轴时，直线l的方程为，不妨设，， 则. 当轴时，直线l的方程为，代入，得， 不妨设，则， 令，得，. 当l不与坐标轴垂直时，设直线l的方程为， 代入，得， A点坐标为，B点坐标为， 由韦达定理得， 对于，则， ， ， 综上：对于定点，使得为定值. 7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，双曲线的一条渐近线的斜率为，且的一个焦点到其渐近线距离为2. (1)求的方程； (2)若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得， ， 的焦点到渐近线的距离为， ， 双曲线方程为. （2）令，由题意， 在上，，得， 即， 则过与其中一条斜率为2的渐近线平行的直线， 联立，可得， 即，解得， 即，同理可得， ，证毕. 8．（24-25高二上·福建三明·期末）已知中心在原点的双曲线与椭圆有相同的焦点，，且的长半轴长是的实半轴长的3倍． (1)求双曲线的方程； (2)若P为两条曲线的交点，求的面积； (3)若过点的直线交双曲线的左支于A，B两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）依题意设双曲线的标准方程为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点、， 即、， 所以． 又因为椭圆的长半轴长为3，且为双曲线实半轴长的3倍， 所以，． 得． 故双曲线的标准方程为． （2）不妨设P是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 在中，由余弦定理得， 所以， 故． （3）法一：依题意可知，直线的斜率不为0， 设直线方程为，，， 联立，消去x得， 依题意知且， 由韦达定理得，， 于是 ， 因为A、、B三点共线，所以， 又因为 ， 即， 所以， 综上，为定值，且定值为． 法二：依题意可知，当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时，， 则，，， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，， 联立，消去y得， 依题意知且， 由韦达定理得，， 于是， 因为A、、B三点共线，所以， 又因为， 即， 所以， 综上，为定值，且定值为． 法三：依题意可知，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，， 则，，， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，， 联立，消去y得， 依题意知且， 由韦达定理得，， ， ， 于是 ， ， 同理可得， 即， 所以， 综上，为定值，且定值为． 考点三 以双曲线为背景的定直线问题 1．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，，，， 联立解得， 双曲线的标准方程为． （2）因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行， 设直线方程为，设，， 由消去可得， 因,，， 则有（*） 由题知，，，设， 则直线，直线， 将代入两式，可得，， 两式相除得,将（*）代入，可得 , 即，解得， 所以点在定直线上． 2．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【详解】（1）因为圆与恰有两个交点， 由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点， 所以， 又，所以，故， 所以双曲线的方程为. （2）（i）由（1）知，, 设过的直线方程为，，如图， 由，可得， ，其中， ， ， ，为圆的一条直径， 三点共线. （ii）不妨设直线，其中， 由（i）可知， 由，可得，解得, 故可得，即， ， 直线， 由，可解得， 点在定直线上. 3．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）根据题意可得，则， 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的方程为； （2）由（1）得，则， 则直线的方程为，设， 由，得， ，， 所以； （3）设， 则，两式相减得， 设，则，所以， 即，所以，即， 所以在直线上. 4．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【详解】（1）由双曲线焦距为4可得，，即①. 故右焦点为，由， 令，得，则②， 联立①②解得，. 故双曲线的标准方程为； （2）由题意知，过右焦点的动直线若与左、右两支都相交，故直线斜率存在， 可设方程为， 联立，消得， 则由题意，且， 设， 由韦达定理知，， 由直线与左、右两支都相交，则，得. 又， 直线的方程为③， 直线的方程为④， ④③得，， 由 ， 故，解得， 当时，不论取何值，点横坐标为常数， 即直线和的交点为在定直线上. 5．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，定直线 【详解】（1）根据对称性，到的一条渐近线的距离，则． 由，知，得，则， 故的方程为． （2）点在定直线上． 依题可设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，必有， 则，，则． 直线的方程为，直线的方程为， 整理得，解得． 故点在定直线上． 6．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； (3)在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，点，所以， 所以，即，所以，即， 所以，即，解得（舍去. （2）由（1）可得，，所以可设，计算可得，点， 该双曲线的一条渐近线的方程为，即， 利用点到直线的距离公式可得， 又，所以，可得，所以 因此，可得该双曲线的方程为. （3）证明：由（2）可知，，设， 则直线，直线， 联立 两式相除可得，所以， 当直线的斜率为0时，不满足题意，所以设直线， 则， 代入可得， 联立整理得，所以 所以， 则 ，注意到， 所以，解得， 所以点在直线上. 7．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设双曲线方程为， 由左焦点坐标可知， 则，可得，， 双曲线方程为. （2）由（1）知，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即， 即，即， 所以三角形的面积为. （3）证明：由（1）可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 联立，可得， 且，， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，消去可得： ， 由，可得，即， 据此可得点在定直线上运动.    8．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，，动点满足， (1)求动点的轨迹的方程； (2)设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，， （i）证明：点在定直线上，并求出定直线方程； （ii）是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析； （ii）存在点使成立，点横坐标为，理由见解析 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线中靠近点的一支， 且，解得，所以， 所以双曲线的方程为； （2）（i）联立方程组，消去，得， 整理可得①， 因为直线与曲线相切，所以， 所以，所以， 将，代入①可得：， 解得，代入直线可得，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以直线的方程为， 联立方程组，所以， 所以，解得； 所以点在定直线上，该定直线方程为； （ii）由（i）可知，， 因为，所以，， 所以 ， 解得或，又因为不符合题意，所以（舍去）， 所以点横坐标为， 存在点使成立，此时点横坐标为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：以双曲线为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 圆锥曲线：以双曲线为背景的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 以双曲线为背景的定点问题 以双曲线为背景的定值问题 以双曲线为背景的定直线问题 考点一 以双曲线为背景的定点问题 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 3．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； (3)设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 4．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦距为4. (1)求的方程； (2)过的左焦点且斜率为的直线与的左支交于两点. （i）求的取值范围； （ii）记点，直线与的右支分别交于点，证明：直线过定点. 5．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 7．（24-25高二下·重庆·期中）已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）如图， 分别为双曲线的左、右顶点，，双曲线的两条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)点在直线上运动，直线 交双曲线左支于点，直线交双曲线右支于点 与 不重合). ①求直线与的斜率之积； ②问直线是否过定点? 如果过定点，请求出定点坐标; 如果不过定点，请说明理由. 考点二 以双曲线为背景的定值问题 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线的上下焦点分别为、，离心率为，点到渐近线的距离为，过点且斜率为的直线在第一象限交双曲线于点，过点且斜率为的直线在第四象限交双曲线于点，与交于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的值； (3)证明：是定值. 2．（2025·湖南长沙·三模）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）双曲线经过点，且渐近线方程为． (1)求a，b的值； (2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，的外接圆经过原点O，若设直线的AB方程为． ①求外接圆的方程（用k，m表示）； ②求证：原点O到直线AB的距离为定值． 4．（2025·广西柳州·模拟预测）已知双曲线的方程为，虚轴长为，点在曲线上. (1)求双曲线的离心率； (2)过原点的直线与双曲线交于两点，已知直线和的斜率存在.证明：直线和的斜率之积为定值. 5．（2025·山西·一模）已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； (3)在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 6．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C： 的右焦点为，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点.当轴时，. (1)若A点坐标为，B点坐标为，证明：. (2)在x轴上是否存在定点M，使得为定值?若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由. 7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，双曲线的一条渐近线的斜率为，且的一个焦点到其渐近线距离为2. (1)求的方程； (2)若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值. 8．（24-25高二上·福建三明·期末）已知中心在原点的双曲线与椭圆有相同的焦点，，且的长半轴长是的实半轴长的3倍． (1)求双曲线的方程； (2)若P为两条曲线的交点，求的面积； (3)若过点的直线交双曲线的左支于A，B两点，证明：为定值． 考点三 以双曲线为背景的定直线问题 1．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 2．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 3．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 4．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 5．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 6．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； (3)在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 7．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 8．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，，动点满足， (1)求动点的轨迹的方程； (2)设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，， （i）证明：点在定直线上，并求出定直线方程； （ii）是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $