专题训练 圆的轨迹问题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性第一册

专题研究 圆的轨迹问题（解析版） 解题通法： （1）直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程. （2）代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程. 专题训练： 一、单选题 1．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 2．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B 3．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 4．已知圆C：，P为y轴上的一个动点（异于原点），过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且A，B的中点为M，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由题意可知，从而得到点的轨迹为是以为直径的圆（去掉A，C两点），再根据圆外一点到圆上距离最大值即为圆外一点与圆心距离加上半径即可求解. 【详解】如图，圆的圆心为，半径为，则圆与y轴相切，切点为原点O，即为A， 又M为的中点，则，所以点M的轨迹是以为直径的圆（去掉A，C两点）， 其中圆心为，半径为1， 又，所以. 故选：C. 5．如图，半径为1的与半径为2的内切于点A，沿的圆弧无滑动的滚动一周.若上一定点P从A点出发随着的滚动而运动，设点P的轨迹为C，则（   ） A．C是半径为的圆 B．C是半径为1的圆 C．C是长度为2的线段 D．C是长度为4的线段 【答案】D 【分析】作圆运动后的某圆，设此时与圆相切于点，点从运动到，通过题设运动中的等量关系结合弧长公式得到即可得到的轨迹求解. 【详解】圆运动到，设此时与圆相切于点，点从运动到， 易知，所以， 所以， 所以的轨迹为圆中过，的直径，长度为4． 故选：D 6．已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 点在直线上， 可得圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：A    7．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以， 即，解得. 故选：B. 8．已知是圆上的两个相异的动点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出点的坐标，根据向量关系得到、坐标与坐标的关系，然后结合已知条件以及、在圆上的条件，进而求出动点的轨迹方程. 【详解】设，因为，，，所以. 根据向量相等的性质，可得，进一步整理得到. 将展开可得. 因为，在圆上，所以，， 又已知，即. 将上述值代入可得：. 由可得. 又因为，所以，可得. 动点的轨迹方程为， 故选：C. 二、多选题 9．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【分析】不妨设，，根据图形关系求出点的轨迹方程，利用坐标法计算的取值范围. 【详解】如图，圆的方程为，由于圆的对称性，不妨设， 因，则，则， 因，则点的轨迹为以为直径的圆，且位于圆内部， 中点为，，则以为直径的圆方程为， 设，则，则， 又与的交点坐标为， 则，则， 故AD正确，BC错误. 故选：AD 10．平面内由满足的点形成曲线（   ） A．上的点与原点的最近距离为 B．上的点与原点的最远距离为 C．的周长为 D．围成区域的面积为 【答案】BD 【分析】根据曲线的对称性，即可根据，时得曲线为以为圆心，以为半径的圆在第一象限和轴轴上部分，即可作出函数的图象，即可结合选项逐一求解. 【详解】由在曲线：上，故均在曲线上，故曲线关于坐标原点以及轴对称， 由对称性，当，时，知曲线为，故为以为圆心，以为半径的圆在第一象限和轴轴上部分． 由于经过坐标原点，所以最远距离为， 因此，上的点与原点的最近距离为1，最远距离为，故A错，B正确， 满足的点组成如图，可求得围成的图形的周长为四个半圆的周长，故长度为，围成区域面积为，故C错误，D正确， 故选：BD． 11．已知两定点，若动点满足，则（    ） A．动点的轨迹为不经过点的圆 B．动点的轨迹为以线段为直径的圆 C．动点的轨迹关于点中心对称 D．动点的轨迹关于直线轴对称 【答案】ACD 【分析】根据题意，由两点间距离公式代入计算，即可得到动点的轨迹，即可判断AB，再由圆心坐标即可判断C，由直线过定点即可判断D. 【详解】设，由题可得点不与点重合且， 化简可得，即，故动点的轨迹为不经过点的圆，A正确； 由A项知，动点的轨迹方程为，其半径为2，直径为，B错误； 因为动点是以为圆心的圆，故动点的轨迹关于中心对称，C正确； 直线恒过定点，即恒过圆心， 故动点的轨迹关于直线轴对称，D正确． 故选：ACD 三、填空题 12．已知两定点，，若直线上的一点满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据两点距离公式列出等式，然后化简，确定点的轨迹方程，进而根据直线与圆的位置关系求出的取值范围. 【详解】设，因为，所以， 化简得，此即为点的轨迹方程． 由于点在直线上，也在圆上，因此直线与圆至少有一个公共点． 所以圆心到直线的距离，解得，所以或． 故答案为： . 13．设为圆上两个动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，设圆的圆心为，则有，由得，在中得，进而得点在以为圆心，半径为2的圆上，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】设，设圆的圆心为，连接， 则，又，所以， 在中有：， 所以点在以为圆心，半径为2的圆上， 所以点的轨迹方程为， 故答案为：. 14．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，，的中点为，则点的轨迹所包围的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】设点，根据题意先求出点的轨迹方程，再根据知点为的中点，求出点的轨迹方程即可求出面积. 【详解】设点，因为，，， 所以， 化简得， 由构成三角形，故， 所以点的轨迹方程为：， 设，由为的中点， 则， 代入中化简得：即为点的轨迹方程， 即点的轨迹为圆心是，半径为去掉与轴交点的圆， 所以点的轨迹所包围的图形的面积为：. 故答案为：. 四、解答题 15．已知在中，内角所对的边分别为，若，求面积的取值范围． 【答案】 【分析】设边上的中线的长为，高的长为，利用勾股定理得，进而得顶点的轨迹，根据圆上的点到直线的距离范围即可求解． 【详解】如图，设边上的中线的长为，高的长为．    因为，所以，解得， 所以顶点的轨迹是以的中点为圆心、1为半径的圆． 因为， 所以． 16．已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程，并求的值． 【答案】顶点的轨迹方程，． 【分析】根据可得以及中可求点M的轨迹，再根据为中点即可求解. 【详解】如图，设的中点为，坐标为， 在中，． 又因为是弦的中点，依垂径定理， 在中，， 又， 所以，即， 因此点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动， 设，因为是的中点，所以， 所以， 整理得即为所求的顶点的轨迹方程； 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题研究 与圆有关的最值问题（解析版） 解题通法： （1）借助几何性质求最值：求形如，，的式子的最值. （2）建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. （3）求解形如（其中，均为动点）且与圆有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两条线段之和，一般要通过对称性解决. 专题训练： 一、单选题 1．设，直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先求出圆心坐标，然后根据已知条件得到，然后根据基本不等式中1的妙用求出结果即可. 【详解】将圆化简为. 所以圆心坐标为. 因为直线经过该圆的圆心，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 此时的最小值为4. 故选：B. 2．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 3.已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转换成直线与半圆的交点个数，即可求解. 【详解】不妨令， 则由得， 直线经过定点， 如图，当直线与半圆相切时， ， 当直线与半圆恰有两个公共点时符合题意， 数形结合可知，的取值范围为．    故选：A 4．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 5．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 6.“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分析曲线的图形，再结合直线与该曲线的位置关系，再判断 “” 与 “直线与曲线恰有1个公共点” 之间的条件关系. 【详解】曲线表示圆心，半径为的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 直线的斜率为1，在轴上的截距为， 当直线与曲线恰有1个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点， 如图所示： 相切时，圆心到直线距离等于2，则， 即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）. 由图象可知，有一个交点时，. 综上可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，或. 于是，当“”时，直线“与曲线恰有1个公共点”，则充分性成立； 当直线与曲线恰有1个公共点时，或，则必要性不成立. 所以， “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 7．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】设点，则直线的方程为， （注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是）， 化简可得：， 所以圆心到直线的距离为： 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C. 8．已知点，，点P是圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出相应图形，可知当运动到与圆E相切时，取得最小值，分别求出，即可求解． 【详解】 如图，当与圆相切于点时，取得最小值，连接. 由题意得，，圆半径为，则， 所以，故. 过点E作x轴的垂线，垂足为N，则，所以， 所以，即的最小值为． 故选：B． 二、多选题 9．已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D错误. 故选：BC 10.已知实数,满足曲线的方程,则下列说法正确的是（ ）. A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线,则切线方程为 【答案】BD 【详解】显然曲线 为圆，且方程可化为,可得圆心,半径. 对于,表示圆 上的点到定点 的距离的平方,所以它的最大值为,所以 错误; 对于,表示圆 上的点与点 的连线的斜率,设,即,圆心 到直线 的距离,解得,所以 的最大值为,所以 正确; 对于,表示圆上任意一点到直线 的距离的 倍,圆心到直线 的距离,所以 的最小值为,所以 错误; 对于,因为点 满足圆 的方程,即点 在圆 上,则该点与圆心连线的斜率,根据圆的性质,可得过点 作圆 的切线的斜率,所以切线方程为,即,所以 正确. 故选. 11.已知实数,满足方程,则下列说法正确的是（ ）. A. 的最大值为 B. 的最小值为0 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【详解】由实数,满足方程,可得点 在圆 上,如图.因为 表示点 与坐标原点连线的斜率,所以设过坐标原点的圆的切线方程为,则,解得 或,则,,所以,,故,正确. 表示圆上的点 到坐标原点的距离的平方,圆上的点 到坐标原点的距离的最大值为,所以 的最大值为.又,所以 的最大值为,故 错误. 因为 可化为,所以可设 , , 为参数,所以,所以当,即,时,取得最大值,最大值为,故 正确.故选. 三、填空题 12．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为 【答案】2 【分析】根据题意可得Q在以为圆心，1为半径的圆上，求的最小值，转化为求的最小值即可. 【详解】由题意，圆可化为, ∴圆C是以为圆心，半径的圆， ∵，点Q为线段中点， ∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上， ∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离， ∴， ∴， 故答案为：2. 13.已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为_  _  _  _  _  _  _  _  . 【答案】 【详解】 是 轴上任意一点，则 的最小值为，同理，的最小值为，则 的最小值为.作 关于 轴的对称点（图略），则，即，所以 的最小值为. 故答案为：. 14．设是圆上的动点，定点，，则的最大值为_  _  _  _  _  _  _  _   【答案】 【详解】】由题意，得，，所以， 由于点 是圆上的点，故其坐标满足方程，故， 所以.因为，所以当 时，取得最大值，最大值为. 故答案为： 四、解答题 15．已知圆C的圆心在第四象限，与x轴相切于，且截y轴所得的弦长等于， (1)求圆C的方程； (2)设点P是圆C上一动点，求点P到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据圆的切线性质设出圆心的坐标，结合圆的弦长求解即得. （2）求出圆心到直线距离，利用几何性质求出取值范围即得. 【详解】（1）由圆C的圆心在第四象限，与x轴相切于，设点，显然圆的半径为， 由圆截y轴所得的弦长等于，得，解得， 所以圆C的方程为. （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 点到的距离， 显然直线与圆相离，因此圆上点到该直线距离最小值为3，最大值为7， 所以点P到直线的距离的取值范围是.    16．若，求下列各式的取值范围 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1），由几何意义得表示圆弧上的点到距离的平方减1，利用图象求最值即可求解； （2）令，易得与圆弧边界相交时取得最小值，相切时取得最大值，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可； （3）由得几何意义，表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象求解即可； （4）由，而表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象得到的范围即可求解. 【详解】（1）根据题意，表示以为圆心，半径为1的圆弧， ，表示圆弧上的点到距离的平方减1， 又，， 所以的最大值为，最小值为， 故的取值范围为. （2）令， 当直线与圆弧交于点时取得最小值； 当直线与圆弧相切，即圆心到直线距离， 解得或（舍），此时， 所以的取值范围为. （3）表示圆弧上的点与点的斜率， 根据图像可知斜率最小为，最大为， 所以的取值范围为. （4）， 而表示圆弧上的点与点的斜率， 根据图像可知斜率最小值为， 当直线与圆弧相切时取得最大值，设， 圆心到直线的距离，解得或（舍）， 所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题研究 与圆有关的最值问题（学生版） 解题通法： （1）借助几何性质求最值：求形如，，的式子的最值. （2）建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. （3）求解形如（其中，均为动点）且与圆有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两条线段之和，一般要通过对称性解决. 专题训练： 一、单选题 1．设，直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知点，，点P是圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 10.已知实数,满足曲线的方程,则下列说法正确的是（ ）. A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线,则切线方程为 11.已知实数,满足方程,则下列说法正确的是（ ）. A. 的最大值为 B. 的最小值为0 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题 12．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为 13.已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为_  _  _  _  _  _  _  _  . 14．设是圆上的动点，定点，，则的最大值为_  _  _  _  _  _  _  _   四、解答题 15．已知圆C的圆心在第四象限，与x轴相切于，且截y轴所得的弦长等于， (1)求圆C的方程； (2)设点P是圆C上一动点，求点P到直线的距离的取值范围． 16．若，求下列各式的取值范围 (1)； (2)； (3)； (4)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题研究 圆的轨迹问题（学生版） 解题通法： （1）直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程. （2）代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程. 专题训练： 一、单选题 1．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 3．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆C：，P为y轴上的一个动点（异于原点），过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且A，B的中点为M，点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，半径为1的与半径为2的内切于点A，沿的圆弧无滑动的滚动一周.若上一定点P从A点出发随着的滚动而运动，设点P的轨迹为C，则（   ） A．C是半径为的圆 B．C是半径为1的圆 C．C是长度为2的线段 D．C是长度为4的线段 6．已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．   7．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是圆上的两个相异的动点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（   ） A． B． C． D．1 10．平面内由满足的点形成曲线（   ） A．上的点与原点的最近距离为 B．上的点与原点的最远距离为 C．的周长为 D．围成区域的面积为 11．已知两定点，若动点满足，则（    ） A．动点的轨迹为不经过点的圆 B．动点的轨迹为以线段为直径的圆 C．动点的轨迹关于点中心对称 D．动点的轨迹关于直线轴对称 三、填空题 12．已知两定点，，若直线上的一点满足，则实数的取值范围是 ． 13．设为圆上两个动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，，的中点为，则点的轨迹所包围的图形的面积为 ． 四、解答题 15．已知在中，内角所对的边分别为，若，求面积的取值范围． 16．已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程，并求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $