第十五章 轴对称（高效培优单元测试·强化卷）数学人教版2024八年级上册

第十五章 轴对称（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．点A（﹣1，3）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣3，1） 【答案】C 【解答】解：点P（﹣1，3）关于y轴对称的点的坐标是（1，3）， 故选：C． 2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 3．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．13或14 C．17 D．13或17 【答案】C 【解答】解：∵， ∴，解得：， 当a为等腰三角形的腰长时，b为底，该等腰三角形三边为3、3、7， ∵3+3＝6＜7， ∴不能构成三角形； 当b为等腰三角形的腰长时，a为底，该等腰三角形三边为3、7、7， ∵3+7＝10＞7， ∴此等腰三角形的周长3+7+7＝17， 综上：此等腰三角形的周长为17， 故选：C． 4．如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长为（　　） A．30 B．36 C．42 D．18 【答案】A 【解答】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB， ∴∠NBO＝∠OBC，∠OCM＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠NOB＝∠OBC，∠MOC＝∠OCB， ∴∠NBO＝∠NOB，∠MOC＝∠MCO， ∴MO＝MC，NO＝NB， ∵AB＝12，AC＝18， ∴△AMN的周长 ＝AM+MN+AN ＝AM+OM+ON+AN ＝AM+MC+NB+AN ＝AB+AC ＝12+18 ＝30， 故选：A． 5．如图，一张台球桌的桌面长为2.84m，宽为1.42m，一个台球在桌面的一个角落，将该球按如图所示的45°角击出，球持续直线运动（球碰到桌面边界会以相同角度反弹），最终落入台球桌角落的一个球袋．则该球（入球袋前，在桌面边缘反弹的次数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以该球在桌面边缘反弹的次数为1． 故选：A． 6．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角．小意同学的方法如图2：在射线OA，OB上分别取点C，D，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E．若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°．小意同学判断的依据是（　　） A．等角对等边 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】B 【解答】解：∵CD＝CE，OE＝OD， ∴C、O都在DE的垂直平分线上， 即OC垂直平分DE， ∴∠AOB＝90°． 故答案为：B． 7．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠OAB＝50°，则∠OPB的度数为（　　） A．35° B．55° C．45° D．25° 【答案】D 【解答】解：由作图过程可知，BE为∠ABN的平分线， ∴． ∵∠ABN＝∠AOB+∠OAB＝∠AOB+50°， ∴． ∵OG平分∠MON， ∴． ∵∠OPB＝∠PBN﹣∠BOP， ∴． 故选：D． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 【答案】C 【解答】解：由条件可知∠BMN+∠BNM＝180°﹣54°＝126°， ∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上， ∴MA＝MP，NP＝NC， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP， ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP+∠NPC＝2∠NPC， ∴∠MPA+∠NPC∠BMN∠BNM126°＝63°， ∴∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC）＝180°﹣63°＝117°． 故选：C． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【解答】解：如图，连接AD，AG， ∵AB＝AC，点D为边BC的中点，BC＝6， ∴AD⊥BC，BDBC6＝3， ∵S△ABC＝27， ∴， 解得AD＝9， ∵直线EF垂直平分线段AB， ∴AG＝BG， ∴△BDG的周长为BD+BG+DG＝3+AG+DG， 由两点之间线段最短可知，当点A，G，D共线时，AG+DG的值最小，最小值为AD的长， ∴3+AD＝3+9＝12，即△BDG周长的最小值为12， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝8，则CF的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解答】解：如下图所示，连接AC交BD于点G， ∵AB＝AD＝12，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝BD＝12，∠A＝∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵AB＝AD＝12，BC＝DC， ∴AG⊥BD，BG＝DG， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°÷2＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠DAC＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵EF∥AB， ∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴△DEF是等边三角形， ∴EF＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4， 即CF的长为4． 故选：C． 11．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠A1B1O＝∠MON， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1， 同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， … ∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n， ∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64， 故选：C． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边△BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（　　） A．4 B．26 C．3 D．6 【答案】A 【解答】解：如图1，连接AE， ∵△BDE是等边三角形， ∴BD＝BE，∠EBD＝60°， ∴当D在线段BC边上运动时，点E在射线BE上运动，且∠EBD＝60°， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABD＝30°， ∴∠ABE＝∠ABD＝30°， ∴AB是DE的垂直平分线， ∴AE＝AD， ∴AD+CE＝AE+CE， 作点A关于BE的对称点A′，连接BA′，AE，CA′．则∠CBA′＝90°，CA′＝2BA′＝4． ∵EA＝EA′， ∴AE+EC＝EA′+EC≥CA′， ∴AE+EC≥4， AD+CE的最小值为4． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　45°或135°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①如图， 等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝45°， ∴∠A＝45°， 即顶角的度数为45°． ②如图， 等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴∠BAC＝135°． 故答案为45°或135°． 14．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BA的延长线于点E，连接CE，若，CE＝4，则BE的长为 　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：由题意可知，ED是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∵CE＝4， ∴AE＝CE＝4， ∵点D是AC的中点， ∴AC＝2CD＝3， ∵AB＝AC， ∴AB＝3， ∴BE＝AB+AE＝7． 故答案为：7． 15．如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝　44　 °． 【答案】44． 【解答】解：如图，连接OA、OC， ∵OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SSS）， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵∠ABD＝116°，∠CDB＝28°， ∴∠ABO+∠OBD＝116°，∠CDO﹣∠ODB＝28°， ∴∠ABO＝72°，∠OBD＝44°， 故答案为：44． 16．如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝52cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，那么两机箱之间的距离CD为　62　 cm． 【答案】62． 【解答】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC＝BD＝52cm，∠PCA＝∠BDQ＝30°， ∴AEAC26（cm），BFBD26（cm）， ∴两机箱之间的最大宽度为 AE+AB+BF＝26+10+26＝62（cm）． 故答案为：62． 17．如图，点P是等边三角形ABC边BC上一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，若BM＝1，CN＝2，则AN＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵PM⊥AB，PN⊥AC， ∴∠PMB＝∠PNC＝90°， ∴∠MPB＝90°﹣∠B＝30°，∠NPC＝90°﹣∠C＝30°， ∵BM＝1，CN＝2， ∴BP＝2BM＝2，CP＝2CN＝4， ∴AC＝BC＝BP+CP＝2+4＝6， ∴AN＝AC﹣CN＝6﹣2＝4， 故答案为：4． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 　150°或105°或60°　 ． 【答案】150°或105°或60°． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， 分三种情况讨论： ①当B'A＝B'E时，如图： ∴∠B'EA＝∠A＝30°， ∴∠BEB'＝180°﹣∠B'EA＝150°； ②当AB'＝AE时，如图： ∴∠AEB'＝∠AB'E75°， ∴∠BEB'＝180°﹣∠AEB'＝105°； ③当EA＝EB'时，如图： ∴∠A＝∠EB'A＝30°， ∴∠BEB'＝∠A+∠EB'A＝60°； 综上所述，∠BEB'为150°或105°或60°， 故答案为：150°或105°或60°． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设底边长为x cm， ∵腰长是底边的2倍， ∴腰长为2x cm， ∴2x+2x+x＝18，解得，xcm， ∴2x＝2cm， ∴各边长为：cm，cm，cm． （2）①当4cm为底时，腰长7cm； ②当4cm为腰时，底边＝18﹣4﹣4＝10cm， ∵4+4＜10， ∴不能构成三角形，故舍去； ∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm． 20．（8分）如图，在每个小正方形均为1的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上． （1）以直线l为对称轴，作△A1B1C1与△ABC成轴对称； （2）求△A1B1C1的面积． 【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）△A1B1C1的面积＝2×52×31×21×5＝3.5． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）△A1B1C1的面积＝2×52×31×21×5＝3.5． 21．（8分）已知点A（3a﹣b，5+a），B（3b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求（14a+7b）2024的值． 【答案】（1）； （2）1． 【解答】解：（1）∵点A，B关于x轴对称， ∴， 解得； （2）∵A，B关于y轴对称， ∴， 解得a，b． 所以，（14a+7b）2024＝[14×（）+7]2024＝（﹣1）2024＝1． 22．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC． （1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线DE，分别交AC，BC于点D，E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，若AE＝AB，求∠C的度数． 【答案】（1）见解答． （2）36°． 【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求． （2）∵直线DE为线段AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴∠C＝∠CAE， ∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C． ∵AE＝AB， ∴∠B＝∠AEB＝2∠C． ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠BAC＝2∠C． ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C+2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝36°． 23．（10分）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，且AE∥BC，点F为AC的中点，连接EF并延长，交BC于点G． （1）求证：AE平分∠DAC； （2）若AE＝6，AB＝8，GC＝2BG，求△ABC的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）25． 【解答】（1）证明：AE∥BC， ∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠DAE＝∠CAE， ∴AE平分∠DAC； （2）解：点F是AC的中点， ∴AF＝CF， ∵AE∥BC， ∴∠EAF＝∠BCA， 在△AFE和△CFG 中， ∴△AFE≌△CFG（ASA）， ∴CG＝AE＝6， ∵GC＝2BG， ∴BG＝3， ∴BC＝BG+CG＝9． ∵AC＝AB＝8， ∴△ABC 的周长＝AB+AC+BC＝8+8+9＝25． 25．（10分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E． （1）依题意补全图形； （2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数； （3）连接CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图象如图所示； （2）在等边△ABC中， AC＝AB，∠BAC＝60°， 由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠D， ∵∠PAC＝20°， ∴∠PAD＝20°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC+∠PAD＝100°， ∴， ∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°． （3）结论：CE+AE＝BE． 理由：在BE上取点M使ME＝AE， 在等边△ABC中， AC＝AB，∠BAC＝60° 由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD， 设∠EAC＝∠DAE＝x． ∵AD＝AC＝AB， ∴， ∴∠AEB＝60﹣x+x＝60°． ∴△AME为等边三角形， 易证：△AEC≌△AMB， ∴CE＝BM， ∴CE+AE＝BE． 26．（10分）如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数． （2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度． ①请用含x的代数式表示y，则y＝　180°﹣2x　 ． ②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值． 【答案】（1）100°； （2）①180°﹣2x；②108°． 【解答】解：（1）由题意可知AD∥BC， ∴∠AMN+∠MNB＝180°， 又∵∠AMN＝110°， ∴∠MNB＝70°， 由折叠的性质得：∠MNB＝∠MNE＝70°， ∴∠ENQ＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 由折痕角∠AMN＝∠DPQ可知：EN＝EQ， 在△NEQ中，∠NEQ＝180°﹣40°﹣40°＝100°； （2）①由题意可知AD∥BC，MG∥NE， ∴∠DMN+∠MNE+∠ENQ＝180°，∠GMD+∠DMN+∠MNE＝180°， ∴∠GMD＝∠ENQ， 设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度，则∠ENQ＝x度， 在△NEQ中，2x+y＝180°， ∴y＝180°﹣2x， 故答案为：y＝180°﹣2x； ②由①知，∠GMD＝∠ENQ， ∵∠MNE＝2∠GMD，∠MNE＝∠MNB， 由∠MNB+∠MNE+∠ENQ＝180°， ∴2∠GMD+2∠GMD+∠GMD＝180°， ∴∠GMD＝36°， 即x＝36°， 由①知，y＝180°﹣2x ∴y＝180°﹣2×36°＝108°． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．点A（﹣1，3）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣3，1） 2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．13或14 C．17 D．13或17 4．如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长为（　　） A．30 B．36 C．42 D．18 5．如图，一张台球桌的桌面长为2.84m，宽为1.42m，一个台球在桌面的一个角落，将该球按如图所示的45°角击出，球持续直线运动（球碰到桌面边界会以相同角度反弹），最终落入台球桌角落的一个球袋．则该球（入球袋前，在桌面边缘反弹的次数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角．小意同学的方法如图2：在射线OA，OB上分别取点C，D，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E．若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°．小意同学判断的依据是（　　） A．等角对等边 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 7．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠OAB＝50°，则∠OPB的度数为（　　） A．35° B．55° C．45° D．25° 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝8，则CF的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 11．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边△BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（　　） A．4 B．26 C．3 D．6 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　 ． 14．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BA的延长线于点E，连接CE，若，CE＝4，则BE的长为 　 　 ． 15．如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝　 　 °． 16．如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝52cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，那么两机箱之间的距离CD为　 　 cm． 17．如图，点P是等边三角形ABC边BC上一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，若BM＝1，CN＝2，则AN＝　 　 ． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ 20．（8分）如图，在每个小正方形均为1的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上． （1）以直线l为对称轴，作△A1B1C1与△ABC成轴对称； （2）求△A1B1C1的面积． 21．（8分）已知点A（3a﹣b，5+a），B（3b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求（14a+7b）2024的值． 22．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC． （1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线DE，分别交AC，BC于点D，E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，若AE＝AB，求∠C的度数． 23．（10分）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，且AE∥BC，点F为AC的中点，连接EF并延长，交BC于点G． （1）求证：AE平分∠DAC； （2）若AE＝6，AB＝8，GC＝2BG，求△ABC的周长． 25．（8分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E． （1）依题意补全图形； （2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数； （3）连接CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论． 26．（10分）如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数． （2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度． ①请用含x的代数式表示y，则y＝　 　 ． ②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $