第十五章 轴对称（复习讲义）数学人教版2024八年级上册

第十五章 轴对称（复习讲义） 1. 了解轴对称、轴对称图形、线段垂直平分线、等腰三角形等相关概念的意义，体会它们之间的整体联系。 2. 能用坐标表示轴对称，会画轴对称图形。 3. 理解并利用线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形及等边三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质解决问题，能运用轴对称知识解决最短路问题。 【知识点01】轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 4．轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 【注意】 （1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 5．画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 6．用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）． 已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 【知识点02】线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识点03】等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 3．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 4．等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 5．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【知识点04】最短路问题 （1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． （2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 题型一 轴对称图形的识别 【例1】下列图形中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图案中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】青花瓷是我国四大名瓷之首，又称白地青花瓷，简称青花，代表着中国人纯粹、淡泊、通透、富有水墨意味的东方审美．下图中是四个青花瓷图案，其中不是轴对称图形的是（     ） A．B． C． D． 【变式1-3】王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 【例2】如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【变式2-1】如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式2-2】如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【变式2-3】如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①是等边三角形；    ②； ③的周长等于线段的长；    ④； 正确的个数为： A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 坐标与图形变化--轴对称 【例3】点P关于y轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则 ． 【变式3-2】若点与关于x轴对称，则代数式的值为 ． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为． (1)画出关于y轴对称的； (2)直接写出点A关于x轴的对称点的坐标为_______； (3)在x轴上找到一点P，使的和最小（标出点P即可，不用求点P的坐标） 题型四 利用垂直平分线的性质求解 【例4】如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为，的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【变式4-1】如图所示：线段的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，的周长是18，求的长； (2)若的周长为18，，，求的长． 【变式4-2】如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【变式4-3】如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，点是线段上一点，且满足，连接交于点O．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 题型五 垂直平分线与角平分线的综合问题 【例5】在中，是的平分线，是线段的垂直平分线． (1)求的大小； (2)求证：． 【变式5-1】已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式5-2】如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式5-3】如图，在中，是高，，是角平分线，交于点，，．    (1)______°； (2)若，，求的面积； (3)作图：在线段上求作一点，使得最小（保留作图痕迹）． 题型六 利用等腰（等边）三角形的性质求解 【例6】如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 【变式6-1】如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为 ． 【变式6-2】如图，在四边形中，，交于点，交于点，，，则 ． 【变式6-3】如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 题型七 含30°的直角三角形性质的应用 【例7】如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 【变式7-1】如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 【变式7-2】如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为 ． 【变式7-3】在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ． 题型八 等腰三角形性质和判定的综合问题 【例8】如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 【变式8-1】如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【变式8-2】（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 题型九 等边三角形性质和判定的综合问题 【例9】已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 【变式9-1】已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【变式9-2】如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 基础巩固通关测 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．下列图案为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图， 在中， 为角平分线， 若， ， 则的长度为 （    ） A．1 B． C．2 D．4 4．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，，，则的周长为（   ） A．5 B．11 C．16 D．17 5．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，点与点关于y轴对称，则的值为 ． 7．如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，则 ． 8．如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长是 ．    9．如图，点在的平分线上，于点，点在上，若，，则 ． 10．如图，，定长为的线段的端点A，B分别在射线，上运动（点A，B不与点重合），，作关于直线对称的，交于点，当三角形是等腰三角形时的度数为 ． 三、解答题 11．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若四边形的面积为，，求点到边的距离． 12．已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴的对称图形；若点是线段上的一点，则点在线段上的对应点的坐标为______； (2)借助图中网格，请只用直尺（不含刻度）在轴上找一点，使得的周长最短． 13．【问题背景】 如图，，连接，点E，F在上，且，连接，，． 【问题探究】 (1)试说明：； (2)若， ①试判断的形状，并说明理由； ②若，求的度数． 14．如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是线段的中点； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 15．如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 能力提升进阶练 一、单选题 1．地铁是城市生活中重要的交通工具，下列文字上方的西安地铁站名标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 3．如图，在中，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，，，点，分别在，的延长线上，平分，平分，连接，若，则的长度为（   ） A．4 B．3 C．5 D． 5．如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．如图，在，垂直平分，分别交于点D，E，若，则 ． 7．如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为 ． 8．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是 ． 9．已知是等腰三角形，，点D在腰上，如果将分割成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 10．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为射线CB上一点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE，交直线AC于M，若2AC=9CM，记△ADB的面积为S1，△AEM的面积为S2，则的值为 ． 三、解答题 11．如图，所在直线是的垂直平分线，垂足是点P，与的平分线相交于点D， (1)如果，，，那么______ (2)若，求度数． 12．平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、 ．   (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)求的面积． (3)画出关于轴对称的 (4)在轴上画出点，使的周长最小． 13．如图，已知中，，是的垂直平分线，E为线段上一点，延长至点F，使得，连接，延长交于点 (1)与全等吗？为什么？ (2)垂直于吗？为什么？ 14．如图1，是射线上的一动点． (1)若，，则是__________三角形． (2)若为直角三角形，且，则的度数为__________． (3)如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 15．如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． （1）当______时，； （2）请添加一个条件：______，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：； ②如图，当点运动到线段之外（即点在线段的延长线上时），其它条件不变（仍为等边三角形），请写出此时线段、、满足的数量关系，并证明． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称（复习讲义） 1. 了解轴对称、轴对称图形、线段垂直平分线、等腰三角形等相关概念的意义，体会它们之间的整体联系。 2. 能用坐标表示轴对称，会画轴对称图形。 3. 理解并利用线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形及等边三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质解决问题，能运用轴对称知识解决最短路问题。 【知识点01】轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 4．轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 【注意】 （1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 5．画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 6．用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）． 已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 【知识点02】线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识点03】等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 3．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 4．等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 5．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【知识点04】最短路问题 （1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． （2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 题型一 轴对称图形的识别 【例1】下列图形中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】下列图案中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形． 故选B． 【变式1-2】青花瓷是我国四大名瓷之首，又称白地青花瓷，简称青花，代表着中国人纯粹、淡泊、通透、富有水墨意味的东方审美．下图中是四个青花瓷图案，其中不是轴对称图形的是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的相关知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； B、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； C、符合轴对称图形定义，故此项符合题意； D、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； 故选：C． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 【例2】如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可； 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 【变式2-1】如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 【变式2-2】如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2-3】如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①是等边三角形；    ②； ③的周长等于线段的长；    ④； 正确的个数为： A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．由题意得从而得出可判断②，由且的大小没有确定，可得出的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，从而得出从而得出的周长，可判断③，由题意得，可得，从而得出，即得出所以，再求解即可判断④． 【详解】解：关于，的对称点分别是点，点， 故②正确， ，的大小没有确定， 的大小没有确定， 不一定是等边三角形， 故①错误， 关于，的对称点分别是点，点， 为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线， 的周长， 故③正确， 如图，设与交于点E，与交于点F， 由题意得， ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故选：C． 题型三 坐标与图形变化--轴对称 【例3】点P关于y轴对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 利用平面直角坐标系内两点关于y轴对称时：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解． 【详解】解：点P关于y轴对称点的坐标是， 故选：A． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】若点与关于x轴对称，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵点与关于x轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为． (1)画出关于y轴对称的； (2)直接写出点A关于x轴的对称点的坐标为_______； (3)在x轴上找到一点P，使的和最小（标出点P即可，不用求点P的坐标） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、最短路径问题 【分析】本题考查了图形的轴对称变换等知识，得出变换后对应点坐标位置及是解题关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特点得出各对应点坐标，顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点求解即可； （3）根据关于x轴对称的点的坐标特点得出点B关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，即可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：点关于x轴的对称点坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，点P即为所求， ． 题型四 利用垂直平分线的性质求解 【例4】如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为，的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的性质和判定是解本题的关键． （1）先证明，，结合的周长为，的周长为，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用三角形全等的性质可得答案； 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ； （2），， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式4-1】如图所示：线段的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，的周长是18，求的长； (2)若的周长为18，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了垂直平分线的性质， （1）首先根据垂直平分线的性质得到，然后结合题意得到，求出，进而求解即可； （2）根据的周长为18，得到，然后由垂直平分求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵垂直平分 ∴ ∵的周长是18， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵的周长为18， ∴ ∵， ∴，即 ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴． 【变式4-2】如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 【变式4-3】如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，点是线段上一点，且满足，连接交于点O．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)10 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、同位角相等两直线平行、三角形内角和定理的应用 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形面积的计算，角平分线的性质，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，得到，根据平行线的判定定理得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到； （3）由（2）知，，根据线段垂直平分线的性质得到CG⊥BE，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的长为10． 题型五 垂直平分线与角平分线的综合问题 【例5】在中，是的平分线，是线段的垂直平分线． (1)求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）由角平分线的意义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，可得，再由互余关系即可求得结果； （2）由角平分线的性质定理得，在中，由含角直角三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， 平分， ， 是垂直平分线， ， ， ， 的度数为； （2）证明：在中，， ， 平分，，， ， ， ． 【变式5-1】已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 【变式5-3】如图，在中，是高，，是角平分线，交于点，，．    (1)______°； (2)若，，求的面积； (3)作图：在线段上求作一点，使得最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)； (2)的面积； (3)见解析图． 【知识点】线段垂直平分线的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（）根据角平分线的定义得出和，进而利用三角形内角和定理解答即可； （）根据三角形外角性质和等腰三角形的三线合一解答即可； （）连接，交于点即可； 此题考查了三角形的角平分线，三角形的高，等腰三角形的性质和轴对称性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵，是角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴, ∵是高， ∴， ∴， ∴的面积； （3）如图，连接，交于点，连接，    由（）得， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则， ∴点即为所求． 题型六 利用等腰（等边）三角形的性质求解 【例6】如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质．利用等腰三角形的两个底角相等的性质、已知条件“，”，根据全等三角形的判定定理推知；由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求得；然后根据全等三角形对应角相等得、三角形的外角性质、等量代换求得． 【详解】解：， ， 在与中， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 【变式6-1】如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得到结论． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点E为边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式6-2】如图，在四边形中，，交于点，交于点，，，则 ． 【答案】/45度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、两直线平行同位角相等、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练运用相关知识是解题关键．首先根据平行线的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得，即为等腰三角形，然后计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）等边三角形三线合一，得到，等边对等角结合三角形的外角，推出，进而得到，即可； （2）易得是含30度角的直角三角形，进而得到，中线得到，求出的长，即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴ ∴在中，． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形．熟练掌握三线合一，等边对等角，等角对等边，以及30度的角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 题型七 含30°的直角三角形性质的应用 【例7】如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质可得到，进而得到，再根据直角三角形的性质可得，从推出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式7-1】如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性质求出的值 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故答案为3 【变式7-2】如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由，可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得，即得，最后根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、轴对称中的光线反射问题、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，三角形的面积公式，等式的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键． 作关于的对称点，连接，，，由，可得，，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得，根据垂线段最短可知，于是可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，， ，， ，， 是关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， 为的中点， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， 垂线段最短， ， 即：， 的最小值是， 故答案为：． 题型八 等腰三角形性质和判定的综合问题 【例8】如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由得到， ，即可得到答案； （3）由得到，，则，再求出，根据三角形外角性质得到，则，即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ， ∴； （3）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2) (3)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； （3）解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 【变式8-2】（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等； （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型九 等边三角形性质和判定的综合问题 【例9】已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 【答案】(1)证明详见解析 (2)12 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到平分，求出的度数，再利用三角形内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求解． （2）由等边三角形的性质易得，过点作交于点，进而得到是等边三角形，然后利用证明，进而得到，最后利用线段的和差来求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． 是的中点， 平分， ． ，点与点重合， ， ， ． （2）解：是等边三角形， ． 是的中点， ． 如图3，过点作交于点． ， 是等边三角形， ， ． ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【点晴】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，线段的和差．理解等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答关键． 【变式9-1】已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质、多边形内角和问题 【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明即可； （2）先说明为等边三角形，即，设，则，然后根据四边形的内角和用x表示出，进而表示出，最后根据三角形内角和即可解答； （3）如图：作，根据题意说明，进而说明，根据，得到，，利用直角三角形的特征，设，则，然后根据线段的和差列方程解答即可． 【详解】（1）证明：在中有， ∵， ， ， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ， 设，则， 在四边形中有：， ， ， ∵的平分线交于点E， ， ，即， ， 故答案为：； （3）如图，作， ， ， ，平分， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ∴，，， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键． 【变式9-2】如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)当点D在中点时，，理由见详解． (3)或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据即可证明； （2）D运动到中点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明； （3）分D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：若， 又∵， ∴平分， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， ∴当点D在中点时，； （3）解：由（1）可知， ∴， 当时，则，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ①如图1：D在线段上时，若， 则． ②如图2，点D在的延长线上，， ③如图3，点D在的延长线上，此时，． ④如图4，． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 基础巩固通关测 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟记规律的变化特点． 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是． 故选：C． 2．下列图案为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．如图， 在中， 为角平分线， 若， ， 则的长度为 （    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定及三线合一，熟练掌握该知识点是关键．根据等边三角形的判定解答即可． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 为角平分线，， ． 故选：C． 4．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，，，则的周长为（   ） A．5 B．11 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查尺规作垂线、线段垂直平分线的性质，根据作图痕迹可得垂直平分，进而求解三角形的周长即可． 【详解】解：由作图得垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故选：D． 5．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连接的线段．根据轴对称的性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， A．，则此项正确，不符合题意； B．，则此项正确，不符合题意； C．，则此项正确，不符合题意； D．不一定正确，则此项符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．已知，点与点关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，有理数的乘方； 根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等求出，，再根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，，由此计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 8．如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长是 ．    【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形，进而将三角形的周长进行转化． 因为平分，所以；又因为，所以，从而可得，故．同理可得，．由此的周长，代入数值即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得，． ∵的周长． ∵， ∴的周长． 故答案为：． 9．如图，点在的平分线上，于点，点在上，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形的性质，从而完成求解．根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，过点作，交于点 点在的平分线上，， ， 故答案为：． 10．如图，，定长为的线段的端点A，B分别在射线，上运动（点A，B不与点重合），，作关于直线对称的，交于点，当三角形是等腰三角形时的度数为 ． 【答案】或， 【分析】由结合折叠的性质可得，设，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出，，，，从而利用分类讨论思想解题． 本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关性质并注意分类讨论思想解题是关键． 【详解】解：，， ∴，， 又由折叠性质可得， ∴， 设， 则，，，， ①当时，， ， 解得， ； ②当时，， ∴， 方程无解，此情况不存在； ③当时，， ， 解得：， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若四边形的面积为，，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，关键是证明三角形全等． （1）根据可知，再根据点为的中点，可证得，根据全等三角形的性质即可得证； （2）结合全等三角形的性质可知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证得，再由线段的和差以及等量代换即可得证； （3）根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质，可得，，，再根据，即可求得，据此即可求得． 【详解】（1）证明：， ， 又点为的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ，， 又， 是线段的垂直平分线， ； （3）解：， ， 是线段的垂直平分线， ，， ， 即， 设点到边的距离为， 则， 解得，即点到边的距离为． 12．已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴的对称图形；若点是线段上的一点，则点在线段上的对应点的坐标为______； (2)借助图中网格，请只用直尺（不含刻度）在轴上找一点，使得的周长最短． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用轴对称求线段的最值，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先根据轴对称的性质找到对应点位置，再顺次连接，根据关于轴对称的点的坐标特点可得其对称点的坐标； （2）根据轴对称找最短路径，在网格中找到A点关于y轴的对称点，再连接，与y轴交于P，此时最小，则最小，即的周长最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ∵点是线段上的一点， ∴点在线段上的对应点的坐标为． （2）解：如图，点即为所求； 13．【问题背景】 如图，，连接，点E，F在上，且，连接，，． 【问题探究】 (1)试说明：； (2)若， ①试判断的形状，并说明理由； ②若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①是等腰三角形，见解析；② 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理； （1）求出，证明即可得出结论； （2）①等量代换求出，可得是等腰三角形； ②先求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据平角的概念计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）①是等腰三角形． 理由：∵，， ∴， 即是等腰三角形； ②∵，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． 14．如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是线段的中点； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）先证明，，进一步证明，再结合等腰三角形的性质可得结论； （2）先证明，可得，结合，可得，进一步可得结论； （3）先证明，结合，可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ∴，即E是线段的中点． （2）证明：由（1）可得． ，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． （3）解： 为等腰三角形． 理由：如图，连接， ∵E是线段的中点，， ， 由（2），得， ， ， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 15．如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②相等；理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形性质构造全等三角形，通过全等关系推导边或角的等量关系． （1）利用等边三角形的性质，得到，．由为中点，结合等边三角形三线合一，推出，．因为，等量代换得，进而得出．通过，利用等角对等边证明． （2）①依据和是等边三角形，根据平行线的性质，得出，，再结合，根据等边三角形判定，证得是等边三角形．②先由和是等边三角形，得到边和角的等量关系，推出，．结合及是等边三角形得．利用证明，由全等三角形对应边相等，得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 为的中点， ，． ， ， ． ， ， ， ． （2）证明：，是等边三角形， ，，， 是等边三角形． ②解：相等． 理由：，是等边三角形， ，，． ，， ，，， ，． ， ， ， ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．地铁是城市生活中重要的交通工具，下列文字上方的西安地铁站名标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：选项A：原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 选项B：原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 选项C：原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 选项D：原图是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，求出、的值，再代入计算的值． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，． ∴． ∴． 故选：C． 3．如图，在中，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含角的直角三角形的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 4．如图，在中，，，点，分别在，的延长线上，平分，平分，连接，若，则的长度为（   ） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和及角平分线性质，求出相关角的度数，再推导角之间的关系，判断三角形的形状，进而得出的长度．本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ． ． 平分，平分， ，． ∵， ． ， ． 故选： ． 5．如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键． 由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故③正确；根据，即可判断，故④错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即是等腰三角形，故①正确； ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∵垂直平分，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误． 综上可知正确的结论为①②③，共3个． 故选∶C． 二、填空题 6．如图，在，垂直平分，分别交于点D，E，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，本题先证明，，求解，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 7．如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键． 先证明，得到，由等角对等边判定，则易求，即可解答． 【详解】解：如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案是：2． 8．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是 ． 【答案】/27度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．已知是等腰三角形，，点D在腰上，如果将分割成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质的应用，关键是能根据等腰三角形的性质进行推理．分为两种情况：当时，根据等腰三角形的性质得出，推出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；当时，设，则，，，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：当时， ， ， 和是等腰三角形， ， ， ，即， ， ， ； 当时， 设，则，，， 在中，， 解得：， ， 故答案为：或． 10．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为射线CB上一点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE，交直线AC于M，若2AC=9CM，记△ADB的面积为S1，△AEM的面积为S2，则的值为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：点D在线段上，点D在的延长线上，结合全等三角形的判定和性质解答，即可． 【详解】解：如图，点D在线段上，作交于点G，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图，点D在的延长线上，作交的延长线于点G，则， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、有关三角形的面积问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题 11．如图，所在直线是的垂直平分线，垂足是点P，与的平分线相交于点D， (1)如果，，，那么______ (2)若，求度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质； （1）过作交延长线于，交于，根据角平分线得到，再根据得到； （2）证明得到，再根据四边形内角和求度数． 【详解】（1）解：过作交延长线于，交于， ∵的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵所在直线是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ． 12．平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、 ．   (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)求的面积． (3)画出关于轴对称的 (4)在轴上画出点，使的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了轴对称变换，三角形的面积，轴对称的性质求线段和最小值问题； （1）根据的三个顶点坐标分别为、、 ，描点连线，即可求解； （2）根据长方形的面积减去3个三角形的面积，即可求解； （3）根据轴对称的性质，找到的对应点，顺次连接，即可求解； （4）作关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：的面积为：； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：如图，点即为所求 13．如图，已知中，，是的垂直平分线，E为线段上一点，延长至点F，使得，连接，延长交于点 (1)与全等吗？为什么？ (2)垂直于吗？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理得到，求得，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 是的垂直平分线， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ， ， ， ． 14．如图1，是射线上的一动点． (1)若，，则是__________三角形． (2)若为直角三角形，且，则的度数为__________． (3)如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】(1)等腰 (2)或 (3)真命题 【分析】本题考线段垂直平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理和外角性质，关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，分两种情况讨论． （1）由三角形的外角性质求出，由邻补角的性质得到，因此，推出，得到是等腰三角形； （2）或都有可能是，再求的度数； （3）由等腰三角形的性质推出，即可证明问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． （2）解：若， ∴； 若， ∴， ∴的度数为或． 故答案为：或． （3）解：命题“当时，为线段的垂直平分线”是真命题，理由如下： ∵，为的中点， ∴， ∴为线段的垂直平分线． 故答案为：真命题． 15．如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． （1）当______时，； （2）请添加一个条件：______，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：； ②如图，当点运动到线段之外（即点在线段的延长线上时），其它条件不变（仍为等边三角形），请写出此时线段、、满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2），①见解析；②，证明见解析． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答，属于中考常考题型． （1）根据含角的直角三角形的性质解答即可； （2）利用等边三角形的判定解答； 利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； 利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可． 【详解】解：（1）当时， ， ； 故答案为：； （2）添加一个条件，可得为等边三角形；理由： ∵，， ∴为等边三角形； 故答案为：； 如图中， 与是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， ． 结论：． 理由：如图中， 与是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$