第十五章 轴对称（举一反三讲义）数学人教版2024八年级上册

第十五章 轴对称（举一反三讲义）全章题型归纳 【人教版2024】 【培优篇】 5 【题型1 图形的轴对称】 5 【题型2 等腰（边）三角形性质的应用】 6 【题型3 证明是等腰（边）三角形】 7 【题型4 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 9 【题型5 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 10 【拔尖篇】 11 【题型6 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 11 【题型7 格点与等腰三角形】 12 【题型8 确定构成等腰三角形个数的点】 13 【题型9 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 14 【题型10 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 15 知识点1 轴对称图形与对称轴 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于这条直线对称． 知识点2 两个图形成轴对称 1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 2. 两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 至少有一条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称 3. 轴对称的性质 （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 知识点3 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下： 步骤 理论依据 ①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点 对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线 ②连接这对对应点 ③作对应点所连线段的垂直平分线 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 知识点4 轴对称变换 1. 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换，轴对称变换的实质就是图形的翻折，由翻折得到的图形是全等形． 2. 一个图形与其关于直线l对称的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 知识点5 作轴对称图形 1. 几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 2. 作轴对称图形的方法 （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连——按原图形依次连接各对称点． 知识点6 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1. 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）． 2. 在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出对称点的坐标； （2）根据对称点的坐标描点； （3）按原图形对应连接所描各点得到所求的图形． 知识点7 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 知识点8 线段垂直平分线性质定理的逆定理 1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 知识点9 互逆命题和互逆定理 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题． 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理． 知识点10 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点11 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点12 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点13 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点14 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【培优篇】 【题型1 图形的轴对称】 【例1】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    【变式1-1】（24-25八年级下·重庆渝北·期末）下列汉字中属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点，连接交OA于M，交OB于N，，则△PMN的周长是 ． 【变式1-3】（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（   ） A． B． C． D． 【题型2 等腰（边）三角形性质的应用】 【例2】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【题型3 证明是等腰（边）三角形】 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【变式3-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【题型4 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 【例4】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 【变式4-1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在Rt中，平分，过点作，垂足为，连接，若，则的面积为 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【题型5 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 【例5】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式5-1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【拔尖篇】 【题型6 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 【例6】如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【变式6-2】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【变式6-3】如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 【题型7 格点与等腰三角形】 【例7】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式7-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【变式7-2】（24-25七年级下·河南·期中）如图，点A、M、C、N、F都在格点上，与相交于点P，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 个． 【题型8 确定构成等腰三角形个数的点】 【例8】（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-1】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【变式8-2】点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式8-3】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【题型9 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 【例9】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 【变式9-1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    【变式9-3】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ． 【题型10 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 【例10】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【变式10-2】（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 【变式10-3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称（举一反三讲义）全章题型归纳 【人教版2024】 【培优篇】 5 【题型1 图形的轴对称】 5 【题型2 等腰（边）三角形性质的应用】 8 【题型3 证明是等腰（边）三角形】 11 【题型4 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 15 【题型5 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 19 【拔尖篇】 25 【题型6 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 25 【题型7 格点与等腰三角形】 29 【题型8 确定构成等腰三角形个数的点】 32 【题型9 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 35 【题型10 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 39 知识点1 轴对称图形与对称轴 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于这条直线对称． 知识点2 两个图形成轴对称 1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 2. 两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 至少有一条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称 3. 轴对称的性质 （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 知识点3 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下： 步骤 理论依据 ①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点 对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线 ②连接这对对应点 ③作对应点所连线段的垂直平分线 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 知识点4 轴对称变换 1. 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换，轴对称变换的实质就是图形的翻折，由翻折得到的图形是全等形． 2. 一个图形与其关于直线l对称的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 知识点5 作轴对称图形 1. 几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 2. 作轴对称图形的方法 （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连——按原图形依次连接各对称点． 知识点6 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1. 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）． 2. 在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出对称点的坐标； （2）根据对称点的坐标描点； （3）按原图形对应连接所描各点得到所求的图形． 知识点7 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 知识点8 线段垂直平分线性质定理的逆定理 1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 知识点9 互逆命题和互逆定理 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题． 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理． 知识点10 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点11 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点12 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点13 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点14 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【培优篇】 【题型1 图形的轴对称】 【例1】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    【答案】图见解析 【分析】本题考查了利用轴对称图形的定义设计图案，熟知概念是解题的关键．根据网格结构分别确定不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可． 【详解】解：如图，即为所求作：    【变式1-1】（24-25八年级下·重庆渝北·期末）下列汉字中属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，即可解答． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选A． 【变式1-2】如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点，连接交OA于M，交OB于N，，则△PMN的周长是 ． 【答案】24 【分析】根据轴对称图形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵P点关于OA、OB的对称点为， ∴， ∴△PMN的周长＝PM+PN+MN＝＝24． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键． 【变式1-3】（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键．根据轴对称的性质，观察选项中右下角的图是否符合图3最右边的图即可得出答案． 【详解】 解：A、中右下角的图符合图3最右边的图，符合题意； B、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； C、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； D、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； 故选：A． 【题型2 等腰（边）三角形性质的应用】 【例2】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式2-1】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，由正方形性质得，，由是等边三角形性质得，，进而得，则，再根据三角形内角和定理求出，继而根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 【答案】/度 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查等边三角形性质和等腰三角形性质，三角形内角和．熟练掌握是解题的关键． 根据等边三角形性质，得．，可得，由等腰三角形性质得，由三角形内角和得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ∴．， ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【题型3 证明是等腰（边）三角形】 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线及等腰三角形的判定， （1）过点B作的垂线即可； （2）先证明，进而证明，即可证明结论； 【详解】（1）解：下图即为所求作． （2）解：为等腰三角形． 理由：在中，， ∴． ∵分别为边上的高线， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． 【变式3-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 【题型4 利用等腰（边）三角形的判定与性质进行求解】 【例4】（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，由等边三角形的性质得到，再求出，根据平行线的性质得到，再判定为等边三角形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形的边长为7， ∴， ∵点E，F是边的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是：， 故选：C． 【变式4-1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．由平行线的性质、角平分线的性质推知，则，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， . 故答案为：14． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在Rt中，平分，过点作，垂足为，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算；延长交于点，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②相等；理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形性质构造全等三角形，通过全等关系推导边或角的等量关系． （1）利用等边三角形的性质，得到，．由为中点，结合等边三角形三线合一，推出，．因为，等量代换得，进而得出．通过，利用等角对等边证明． （2）①依据和是等边三角形，根据平行线的性质，得出，，再结合，根据等边三角形判定，证得是等边三角形．②先由和是等边三角形，得到边和角的等量关系，推出，．结合及是等边三角形得．利用证明，由全等三角形对应边相等，得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 为的中点， ，． ， ， ． ， ， ， ． （2）证明： ，是等边三角形， ，，， 是等边三角形． ②解：相等． 理由：，是等边三角形， ，，． ，， ，，， ，． ， ， ， ． 【题型5 利用等腰（边）三角形的判定与性质证明】 【例5】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定； （1）由等边三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案； （2）在线段上截取，连接，证明是等边三角形，可得，结合，可得结论. 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵是等边三角形 ∴，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式5-1】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用； （1）求解，，，从而可得结论； （2）证明，，结合与的周长比的周长大9，进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，而， ∵的周长比的周长大9， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式5-3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，即可得证； ②证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为； （2）解：设 当时， ∵ ∴ ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，即 解得：，即； 当时，， 同理可得， ∴， 解得：，即； 当时，， 如图， 在中， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴此情形不存在， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 【拔尖篇】 【题型6 与等腰（边）三角形有关的动点问题】 【例6】如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示，连接， ∵中，，，点是斜边的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； 当点在的延长线上时，如图所示 同理可得， 则 ∴ 故答案为：或． 【变式6-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【答案】4秒 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等边三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．设运动的时间为，则，，，由是等边三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒， ，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动， ，，， ∵是等边三角形， ∴，即， 解得：． 答：运动的时间是4秒． 【变式6-3】如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析； (2)的大小不发生变化，； (3)当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质解答； （3）分三种情况分别讨论即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点P、Q的速度相同， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：的大小不发生变化， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，如图， 当时，， 故时，为等腰三角形； 综上，当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 【题型7 格点与等腰三角形】 【例7】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 【变式7-1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义；由等腰三角形的定义作图即可． （1）按等腰三角形的定义作图即可； （2）按等腰三角形的定义作图即可； （3）按等腰三角形的定义作图即可； 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解：如图， 为所求作． 【变式7-2】（24-25七年级下·河南·期中）如图，点A、M、C、N、F都在格点上，与相交于点P，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，过点作，连接，平行线的性质，得到，证明，证明为等腰直角三角形，进而求出的度数即可． 【详解】解：过点作，连接，则：， 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式7-3】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 个． 【答案】4 【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果． 【详解】解：分三种情况：如图所示： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个； ②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个； ③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个； 综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 【题型8 确定构成等腰三角形个数的点】 【例8】（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，的中垂线交y轴于点，即可求得答案． 【详解】解：如图，①以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，此时， ②以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，此时， ③的中垂线交y轴于点，此时， 综上所述，符合要求的点的位置共有5个， 故选：D． 【变式8-1】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    【变式8-2】点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 【变式8-3】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 【题型9 与等腰（边）三角形有关的折叠问题】 【例9】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，点D在边上，把沿着边翻折得到，平分，连接，若是等腰三角形，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得到，得，得到，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，从而求得的长． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 即， 又 ， ， 故答案为：4． 【变式9-1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等边三角形的判定及其性质，折叠的性质，由折叠可知，，则，然后证明为等边三角形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：． 【变式9-2】（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    【答案】 【分析】此题重点考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，利用翻折性质及线段和差将转换为线段相等是解题的关键．由翻折得，，，结合，得出，所以，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：由翻折得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠性质，角平分线的性质，等面积法的灵活运用，同角的补角相等，先过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，结合折叠且，得出，然后结合折叠以及角平分线的性质得，最后结合等面积法进行列式化简，即可作答． 【详解】解：过点A作延长线于点，过点分别作于点，作延长线于点，连接，如图所示： ∵在中，，， 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为， ∴， ， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，，且 ∴， 则， ∵，， 则， ∴， 故， ∵， ∴， ∵边上的高，边上的高，且边上的高边上的高， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型10 等腰（边）三角形有关的分类讨论问题】 【例10】如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】100°或55°或70° 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式10-2】（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等角对等边．分两种情况讨论，当点D与点A的左侧时，证明，推出，利用三角形内角和定理求解即可；当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点，同理即可求解． 【详解】解：当点D与点A的左侧时，如图， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【变式10-3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和和外角定理，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 分为顶角或底角进行分类讨论，结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：对于，当为顶角，则， ∵点D在的边上， ∴对于，只能为， ①时，如图： ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②时，如图： 设， 此时， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； 对于，当为底角，时， 时，如图： 则此时， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 当时，则此时， ∴， ∵ ∴； 对于，当为底角，时,,如图： ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或， 故答案为：或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $